地球的形狀和重力場給學(xué)生

地球的形狀和重力場給學(xué)生第1頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月目錄概述

位論簡述地球的重力場重力校正和重力異常重力異常場異常的劃分與識別重力資料的地質(zhì)解釋及應(yīng)用實(shí)例

固體潮第2頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月基本概念平均海平面在重力作用下是一個(gè)等位面，即是說，這個(gè)面上的重力位各處都是相等的。重力等位面：地球重力位相同的點(diǎn)在空間構(gòu)成的曲面。重力等位面有兩個(gè)重要的性質(zhì)：一是在重力等位面上移動單位質(zhì)量時(shí)，重力不做功；二是兩個(gè)等位面之間的位差是個(gè)常量。

第3頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月基本概念德國的大地測量學(xué)家利斯廷于1873年創(chuàng)立了大地水準(zhǔn)面概念。定義是：假設(shè)海水面處于靜止平衡狀態(tài)下，將其延伸到大陸下面，構(gòu)成一個(gè)遍及全球的閉合曲面，這個(gè)曲面就是大地水準(zhǔn)面。即大地測量學(xué)中所謂的地球形狀。大地測量學(xué)中所謂的地球形狀是指平均海面所定義的一個(gè)封閉理論曲面的形狀。大地水準(zhǔn)面也常被稱為海拔面或大地水準(zhǔn)參考面。第4頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月基本概念地球的形狀就是指大地水準(zhǔn)面的理由是：大地水準(zhǔn)面與占地球面積71％的平均海水面重合，與地球自然表面非常接近；大地水準(zhǔn)面具有水準(zhǔn)面特性，處處與鉛垂線正交，而測量儀器是用水準(zhǔn)器整平，用垂球?qū)χ械?，所以，大地水?zhǔn)面是測量作業(yè)的基準(zhǔn)面；3.海水面是實(shí)際存在的，與世界上沿海國家都發(fā)生聯(lián)系，通過驗(yàn)潮取平均值就可獲得平均海水面的位置。

第5頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月大地水準(zhǔn)面雖然比較平滑，但仍是一個(gè)極不規(guī)則的曲面。要確定這樣的曲面，可以分兩步走：1）首先確定一個(gè)和它同重力位而又最逼近的旋轉(zhuǎn)橢球面——扁球面，又稱作參考扁球面。這個(gè)參考面的形狀簡單、有規(guī)則，便于計(jì)算。2）然后確定大地水準(zhǔn)面與這個(gè)扁球面的偏離。實(shí)測表明，大地水準(zhǔn)面與參考橢球面的最大偏離不超過地球半徑的十萬分之一。即637×0.1≈63.7m。第6頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月基本概念1924年，國際間選定一個(gè)扁球面作為參考面，以后在1967年又修訂了一次。這個(gè)選定的參考橢球面的參數(shù)是：長軸a=6378160m(637萬米)；扁率f=(a-c)/c=1/298.247也許有人認(rèn)為選取一個(gè)三軸橢球面作為參考面更逼近一些，但這樣做對實(shí)際精度的提高改善不大，且計(jì)算上卻復(fù)雜得多了。參考橢球面：與大地水準(zhǔn)面重力位相同且又最逼近的旋轉(zhuǎn)橢球面——扁球面，該球面是一個(gè)重力等位面。按照位論的定理，這個(gè)面上任一點(diǎn)的重力值是可以計(jì)算的。這樣得到的重力表達(dá)式就是所謂的國際重力公式。第7頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月基本概念實(shí)際上，大地水準(zhǔn)面在海洋上與平均海面重合，但在大陸地區(qū)，它的一部分可能切入地下。因此從全球來看，大地水準(zhǔn)面并不是完全包在地球外面，而在某些地方卻覆蓋著少量的地球物質(zhì)。地面上的實(shí)際重力值：是地球引力、自傳離心力、地球天體引力之和。前兩者幾乎是恒定的，強(qiáng)度也比第三者強(qiáng)。前兩者是測量點(diǎn)位置的函數(shù)。第三者主要是日月的引力，這個(gè)引力隨時(shí)間變化，是地面上的重力有一個(gè)微小的時(shí)間變化，因此是測量點(diǎn)位置和時(shí)間的函數(shù)。固體潮：地外天體的引力不但產(chǎn)生重力的時(shí)間變化，而且使地球發(fā)生形變。這種變形在海洋上表現(xiàn)為普通的潮汐現(xiàn)象；在陸地上和海底則稱為固體潮。第8頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月正常重力值：以參考橢球面為模型，建立地球重力的理論表達(dá)式，即所謂的國際重力公式。根據(jù)這個(gè)公式所計(jì)算的重力值，稱為正常重力值，是重力測量的標(biāo)準(zhǔn)。重力異常：實(shí)測的重力值減去正常重力值之間的差異。在小區(qū)域的重力測量中，常選取一個(gè)合適地點(diǎn)的重力值作為標(biāo)準(zhǔn)，不必按重力公式去計(jì)算。重力異常分布與地下物質(zhì)的密度分布有關(guān)系。研究重力異常在各種地球物理現(xiàn)象中的意義是重力學(xué)的任務(wù)。第9頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1位場理論基礎(chǔ)§1.1.1質(zhì)點(diǎn)的引力場及引力位

§1.1.2地球的引力場、引力位和大地位§1.1.3地球的離心力場及離心力位§1.1.4地球的重力場和重力位§1.1.5地球重力等位面和大地水準(zhǔn)面、垂線和正高第10頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量分析復(fù)習(xí)第11頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月一、矢量和標(biāo)量的定義1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、電場等如：溫度T、長度L等第12頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量：.模的計(jì)算：.單位矢量：.方向角與方向余弦：在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算：

第13頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：結(jié)論:兩矢量點(diǎn)積等于對應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。第14頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。第15頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月三、矢量微分元：線元，面元，體元例：其中：和稱為微分元。1.直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第16頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月2.圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第17頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月3.球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第18頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月四、標(biāo)量場的梯度1.標(biāo)量場的等值面可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。以溫度場為例：熱源等溫面第19頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月b.梯度定義：標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)，其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。數(shù)學(xué)表達(dá)式：2.標(biāo)量場的梯度a.方向?qū)?shù)：空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。為最大的方向?qū)?shù)。標(biāo)量場的場函數(shù)為第20頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算：在直角坐標(biāo)系中：所以：梯度也可表示：第21頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：在直角坐標(biāo)系中：第22頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月3.散度：a.定義：矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。b.表達(dá)式：c.散度的計(jì)算：

在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。矢量場表示為：第23頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。第24頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：正交曲線坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式第25頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月六、矢量場的旋度1.環(huán)量：

在矢量場中，任意取一閉合曲線，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量?？梢姡涵h(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。2.旋度:定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán)的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場的旋度。表達(dá)式：第26頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月旋度計(jì)算：以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：場矢量：其中：為x方向的環(huán)量密度。旋度可用符號表示：第27頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月其中：可得：同理：所以：旋度公式：第28頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:類似的，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度計(jì)算公式：

對于柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計(jì)算公式。第29頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月在圓柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在廣義正交曲線坐標(biāo)系中：2.拉普拉斯算子在直角坐標(biāo)系中：第30頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1質(zhì)點(diǎn)的引力場及引力位式中，為質(zhì)點(diǎn)作用于點(diǎn)處單位質(zhì)點(diǎn)上的引力，為方向的單位矢量，為引力常數(shù)，負(fù)號表示吸力方向。p(x,y,z)r′Or0f(r)圖1-1質(zhì)點(diǎn)dm的引力場根據(jù)牛頓萬有引力定律，位于空間任一P′點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)dm作用在P點(diǎn)單位質(zhì)點(diǎn)上的引力指向P′點(diǎn)，它的大小與dm成正比，與兩點(diǎn)間距離的平方成反比，即（1-1）

為直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量。這樣，可以把（1-1）式寫成（1-2）（1-3）（1-4）dm單位質(zhì)點(diǎn)p′(x′,y′,z′)第31頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月三個(gè)分量：（1-5）由于引力場是一個(gè)保守力場，并可以證明位于點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)產(chǎn)生的引力等于標(biāo)量函數(shù)在點(diǎn)的梯度，引入矢量微分算符，即（1-6）引力及引力場推廣到體積分布令

則引入標(biāo)量則第32頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)dm的體積忽略不計(jì)則滿足此方程的解為規(guī)定時(shí)，，所以。

于是有（1-7）標(biāo)量函數(shù)稱為位于P′

點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)dm

在P點(diǎn)產(chǎn)生的引力位。引力位在P點(diǎn)的梯度等于dm在P點(diǎn)產(chǎn)生的引力。引力位標(biāo)量第33頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月質(zhì)點(diǎn)dm在P點(diǎn)的引力位沿某一方向的方向微商等于該質(zhì)點(diǎn)在P點(diǎn)產(chǎn)生的引力在該方向上的投影。用表示引力位在P點(diǎn)沿n方向的微商，則有（1-8）證明令P點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置為(x,y,z),P點(diǎn)的矢徑表示為第34頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月V0V0+dV第35頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2地球的引力場、引力位和大地位如圖1-2所示，選取直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)選在地球的質(zhì)心，Oz沿著地球的旋轉(zhuǎn)軸，在地球的赤道平面內(nèi)，由（1-7）式，地球在空間內(nèi)任一點(diǎn)P(r)產(chǎn)生的引力位為PxyzOr0r′P′圖1-2地球在空間任一點(diǎn)P產(chǎn)生的引力位，

P′為地球內(nèi)部任一點(diǎn)若將地球作為一個(gè)質(zhì)量體，P為空間一點(diǎn)，考慮地球在P點(diǎn)產(chǎn)生的引力及引力位（1-7）（1-9）第36頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

式中，為地球在點(diǎn)的密度函數(shù)；為P′點(diǎn)處積分體積元，積分遍及整個(gè)地球。于是地球在空間P點(diǎn)的引力為地球引力位在該點(diǎn)的梯度，即（1-10）①若P點(diǎn)在物體(或地球)之外，令不能為零。因?yàn)闉橛邢拗?，故積分（1-9）為收斂的，可在積分號下求導(dǎo)數(shù)xOrr′P′r引入拉普拉斯算子第37頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月用分別代替，則有同理,可以證得

稱為拉普拉斯方程,其解稱為調(diào)和函數(shù)或諧函數(shù)第38頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月圍繞P點(diǎn)作一小球面σ，其半徑為。取球面上一點(diǎn)P′。令點(diǎn)P′由小球外物質(zhì)所產(chǎn)生的力位為，則令P′點(diǎn)由小球所產(chǎn)生之力位為，則Pεσr②若P點(diǎn)在物體(或地球)之內(nèi)，則地球在該點(diǎn)產(chǎn)生的力位滿足泊松方程,其解為諧函數(shù)與一特解之和。即證明:因物體是一個(gè)質(zhì)量為ρ的有限體,積分收斂。令該有限體的包裹面為Σ，ΣP′

為P點(diǎn)的密度。第39頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月（1-12）即在物體之內(nèi)，力位V滿足泊松方程。引入因而有

（1-13）有（1-14）當(dāng)，，，故說明地球在其外部空間產(chǎn)生的引力位滿足拉普拉斯方程，在其內(nèi)部滿足泊松方程。地球在其外部空間產(chǎn)生的引力位稱大地位。第40頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月令不變,關(guān)于求微分,得，方向長度為例1：求一均勻球體對其外任一點(diǎn)P產(chǎn)生的引力位。設(shè)球體的半徑為R，密度為，P點(diǎn)與球心O的距離為h（圖1-3）。若利用球極坐標(biāo)（，，），求P點(diǎn)的力位。圖1-3均勻球體引力位示意圖解：設(shè)為球體上任一小長方體，其中為方向的厚度，方向長度為利用余弦定理第41頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月則引力位公式變?yōu)镸是球體的總質(zhì)量。第42頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月若球體不是實(shí)心的而是一個(gè)同心球?qū)樱鋬?nèi)半徑為，外半徑為，則上式改為此時(shí)M是球?qū)拥馁|(zhì)量。以上兩式表明：一均勻球體或均勻球?qū)釉谄渫庖稽c(diǎn)所產(chǎn)生的引力位等于將其全部質(zhì)量集中于球心所產(chǎn)生的引力位。若球體或球?qū)硬⒉痪鶆?，但密度只是r′的函數(shù)，這個(gè)結(jié)論顯然仍是正確的。以上結(jié)論十分重要，因?yàn)樗f明，不同的密度分布可以產(chǎn)生相同的引力位。第43頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：任一有限物體在遠(yuǎn)處的力位。取任一點(diǎn)O為原點(diǎn)，P為體外遠(yuǎn)處的任一點(diǎn)。物體在P點(diǎn)所產(chǎn)生的力位為Srr’Pθ任意球體引力位示意圖第44頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月為物體上任一小個(gè)體與質(zhì)心的距離;S為與P點(diǎn)的距離解:令為P與質(zhì)點(diǎn)O間的距離;令利用泰勒級數(shù)展開第45頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月所以，第46頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月若取O點(diǎn)為物體的質(zhì)心，則易見而誤差降低為。故對一有限物體M為物體的質(zhì)量，A、B均為有限值。當(dāng)r極大時(shí)，其誤差的數(shù)量級為上式是位函數(shù)的主要性質(zhì)。這樣的函數(shù)不僅在重力場的理論中要遇到，而且在許多物理部門中，如電磁學(xué)，流體力學(xué)，彈性力學(xué)，熱傳導(dǎo)等等問題中也是常常遇到的。第47頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)1。一有限物體對其外一點(diǎn)產(chǎn)生的力位滿足拉普拉斯方程，其解為調(diào)和函數(shù)或諧函數(shù)。2。一有限物體對其內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生的力位滿足泊松方程，其解為諧函數(shù)與一特解之和3。一有限物體產(chǎn)生的力位與其自身的質(zhì)量成正比，與點(diǎn)的距離成反比，無窮遠(yuǎn)處為零。距離與力位的乘積為一常數(shù)。第48頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2.3地球的離心力場和離心力位如圖1-4所示。選取直角坐標(biāo)系與地球固定在一起，P（r）為地球上的任一點(diǎn)，由于地球自轉(zhuǎn)，P點(diǎn)處單位質(zhì)點(diǎn)的慣性離心力為（1-20）式中，為地球的自轉(zhuǎn)角速度矢量；r為P點(diǎn)的徑矢，（1-21）xyzOθrqPω圖1-4地球的離心力場為地球在點(diǎn)產(chǎn)生的離心力在重力測量中，矢量常簡稱為地球在P點(diǎn)產(chǎn)生的離心力矢量，其值為：

（1-22）第49頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月（1-23）（1-20）式也可寫成（1-24）引入標(biāo)函數(shù)Q（r），可以證明Q（r）的梯度等于地球在P（r）點(diǎn)產(chǎn)生的離心力q（r），有（1-25）（1-26）Q（r）稱為地球在P點(diǎn)產(chǎn)生的離心力位，同樣可以證明離心力位沿著任意方向的方向微商等于離心力在這個(gè)方向上的投影。有（1-26）式，可以求出離心力的拉普拉斯公式為（1-27）第50頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.4地球的重力場和重力位

地球是一個(gè)具有一定質(zhì)量、兩極半徑略小于赤道半徑且按照一定角速度旋轉(zhuǎn)的橢球體。如果忽略日、月等天體對地面物質(zhì)的微弱吸引作用，則在地球表面及其附近空間的一切物體都要同時(shí)受到兩種力的作用：一是地球所有質(zhì)量對它產(chǎn)生的吸引力；二是地球自轉(zhuǎn)而引起的慣性離心力，此兩力同時(shí)作用在某一物體上的矢量和稱為重力，見圖1-5。圖中z為地球自轉(zhuǎn)，為余緯度。點(diǎn)為地球的質(zhì)心，有矢量場稱為地球的重力場。r-p點(diǎn)的徑矢；g(r)-p點(diǎn)的重力矢量；f(r)-p點(diǎn)的引力矢量；q(r)-p點(diǎn)的慣性離心力矢量；-地球自轉(zhuǎn)角速度矢量圖1-5地球的重力場第51頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月地球的引力場決定于地球內(nèi)部的密度分布，而地球內(nèi)部的密度分布是不規(guī)則的，因而地球的引力矢量不指向地心，其大小隨地面點(diǎn)位置的不同而變化。慣性離心力矢量決定于地球的自轉(zhuǎn)角速度和P點(diǎn)在地球上的位置，一般把地球的自轉(zhuǎn)角速度看成一個(gè)常矢量，所以地球的離心力場是一個(gè)規(guī)則的力場，因而地球的重力場是一個(gè)由地球內(nèi)部密度分布及其繞軸自轉(zhuǎn)角速度決定的力場，它是P點(diǎn)位置的不規(guī)則的矢量函數(shù)。重力矢量的模簡稱為重力，即（1-29）在重力學(xué)中，簡稱重力，重力的量綱與加速度相同，在SI單位中它的測量單位是。由于單位太大，重力測量單位采用g.u.（gravityunit），。在CGS單位中，為了紀(jì)念伽利略（Galileo），重力測量中采用Gal（伽）、mGal（毫伽）等單位，Gal與SI單位的換算關(guān)系是：第52頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

在CGS單位中，為了紀(jì)念伽利略（Galileo），重力測量中采用Gal（伽）、mGal（毫伽）等單位，Gal與SI單位的換算關(guān)系是：

（1-30）地球在P點(diǎn)的引力位V（r）和離心力位Q（r）的和稱為地球在該點(diǎn)的重力位W（r），即（1-31）第53頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月將式（1-7）和（1-26）式代入上式，得

（1-32）由重力位的定義，地球在P點(diǎn)的重力等于地球的重力位在該點(diǎn)的梯度，即（1-33）地球的重力位在P點(diǎn)沿著任一方向的方向微商等于重力在這個(gè)方向上的投影

（1-34）根據(jù)（1-16）和（1-27）式，地球重力位W（r）滿足下列方程：第54頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.2.1等效層定理及解的唯一性問題

一、等效層定理

設(shè)有一物質(zhì)分布，其表面為S，見圖1-10。求面外一點(diǎn)P的力位。設(shè)、為可微分函數(shù)，則滿足格林公式：

（1-39）令，r是由P點(diǎn)到空間任一點(diǎn)的距離，體積分延展到S以外的全部空間。因在P點(diǎn)，r=0，故可取一小球面包圍P，取一大球面包圍S和，積分在之內(nèi)，但在S與之外的空間進(jìn)行，最后則令趨于無限，趨于零。代入（1-39）SPεΣ圖1-10適當(dāng)面積分布存在于物體表面上故物體在其外一點(diǎn)所產(chǎn)生的力位和在其表面上取一適當(dāng)?shù)拿娣e分布所產(chǎn)生的力位等效，稱作等效層定理。第55頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

SPεΣ圖1-10適當(dāng)面積分布存在于物體表面上若V為一位函數(shù)，則當(dāng)無限大時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故化簡后，得

（1-40）n為S的向外法線。若在S以外，無物質(zhì)分布，則，上式化為第56頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

（1-41）PSV=V。圖1-11適當(dāng)面積分布存在于物體表面外以上兩式稱為格林公式。故物體在其外一點(diǎn)所產(chǎn)生的力位和在其表面上取一適當(dāng)?shù)拿娣e分布所產(chǎn)生的力位等效，稱作等效層定理。由這個(gè)定理還可引出一個(gè)有意義的結(jié)果：

設(shè)S是物體之外的一個(gè)等位面：，P點(diǎn)在S之外，圖1-11。由式（1-41）第57頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

利用位場理論公式此式右端第一項(xiàng)等于零。故

（1-42）S是一個(gè)等位面。此式稱為沙斯?fàn)枺–hasles）定理，它表明在計(jì)算力位時(shí)，任一物體可以用它的任一外部等位面上的適當(dāng)單層分布所替代。第58頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、唯一性定理和狄利克雷問題

在物體之外，引力位滿足拉普拉斯方程。在一定條件之下，拉普拉斯方程只有一個(gè)確定的解。因此若用任何一個(gè)方法得到一個(gè)解，而這個(gè)解又滿足所給的條件，則這個(gè)解必然是正確的解。討論諧函數(shù)唯一性的條件是位論的重要課題之一。

設(shè)所有質(zhì)量都位于S曲面之內(nèi)。故在S外，引力位V是一個(gè)諧函數(shù)，即。代入格林公式（1-43）并令，則（1-44）第59頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

現(xiàn)在要證明：若S面上的V值分布為已知，則S面外的V值即完全確定，即V只有一個(gè)解。因?yàn)槿绻皇侨绱耍瑒t可假定V尚有其他一個(gè)解V′。V和V′都滿足拉普拉斯方程并在S上具有同值。令。則在S上，U=0，代入上式則故U=常數(shù)。因在S上,U=0，故U恒等于零，而所以V的解是唯一的，即是說，若V是諧函數(shù)，它在S以外的解可以由它在S上的給定值完全確定。由諧函數(shù)的邊界值來確定這個(gè)函數(shù)稱為狄利克雷（Dirichlet）問題，或稱為第一邊界值問題。同樣道理，若S面上的是給定的，則仍有第60頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

U=C，但未必為零，故，即S外的力位最多相差一常數(shù)。給定邊界上的法向?qū)?shù)來確定一諧函數(shù)，稱為第二邊界值問題，或稱為諾依曼（Neumann） 問題。若在S上，給定V及的線性組合，，h及K為同號，則在S外，值完全確定；不然的話，仍令，則在S上，，仍代入（1-43）中，得上式左端不能為負(fù)，右端不能為正，故。從而。這稱為混合邊界值問題或稱為第三邊界值問題。在地球重力場的研究中，這三種邊界問題都是會遇到的。第61頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.2.2拉普拉斯方程的解

（1-45）用分離變數(shù)法，設(shè)代入（1-45），得第62頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

第一項(xiàng)是r的函數(shù)而后兩項(xiàng)則是的函數(shù)，故只能有

（1-46）（1-47）K是一個(gè)參數(shù)。式（1-46）的解是（1-48）A、B是兩個(gè)任意常數(shù)，。將代入（2b），得（1-49）此式的解可以寫為。故第63頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

（1-50）V稱為球諧函數(shù)，寫成式（1-50）的形式，則稱為立體球諧函數(shù)。是的n次多項(xiàng)式。稱為n次面諧函數(shù)，它只和球面上的坐標(biāo)有關(guān)系，它與r無關(guān)。拉普拉斯方程的一般解可由上式疊加而成，即

（1-51）根據(jù)以上的定義，可以得到以下一條定理：若V是一個(gè)n次的球諧函數(shù)，則也是一個(gè)球諧函數(shù)，它的次數(shù)是。因?yàn)閂可以寫成的形式，所以由式（1-50）可見它也是一個(gè)球諧函數(shù)。根據(jù)這個(gè)定理，若在球內(nèi)某一點(diǎn)的力位為已知，則在同一向徑上的球外一點(diǎn)的力位可以立刻寫出來。第64頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

將一球面函數(shù)展開成面諧函數(shù)的級數(shù)時(shí)，面諧函數(shù)的正交歸一關(guān)系極為重要。求解方程（1-49），給出面諧函數(shù)的具體形式。仍用分離變數(shù)法，代入

（1-52）得，該形式的方程稱為連帶勒讓德方程L是一參數(shù)。令，則上式是簡諧方程，其解是

（1-53）

是任意常數(shù)。代入前式，得第65頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

（1-54）若令，則上式可化為

（1-55）式（1-54）或（1-55）是的二階常微分方程，它有兩個(gè)獨(dú)立的級數(shù)解，都和參數(shù)n，m有關(guān)系。最重要的情況是n，m都是正整數(shù)或零，而且，其中一個(gè)解常用符號或表示，稱為第一類連帶勒讓德函數(shù)；第二類連帶勒讓德函數(shù)則用或表示，但較少應(yīng)用。由式（1-52）得

（1-56）第66頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

（1-57）由式（1-50）得（1-58）

都是任意常數(shù)。這是諧函數(shù)V最一般的解，各常數(shù)可以由邊界條件來確定。當(dāng)然，V也可以用來表示，但此處從略。第67頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月若是力位在一球面上（球面半徑為）的值，顯然當(dāng)P點(diǎn)在球面之外，即當(dāng)時(shí)即當(dāng)時(shí)第68頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.2.6

地球形狀和正常重力場1、地球橢球由于地球內(nèi)部質(zhì)量分布不均勻，使得大地水準(zhǔn)面的形狀也是一個(gè)不規(guī)則的曲面，但是，地球從總體上來說處于流體平衡狀態(tài)。地球的大地水準(zhǔn)面接近旋轉(zhuǎn)橢球面，選擇適當(dāng)參數(shù)的旋轉(zhuǎn)橢球作為真實(shí)地球的模型稱作參考橢球，參考橢球選定后，大地水準(zhǔn)面相對參考橢球面的起伏不超過110m。構(gòu)造地球模型，確定一個(gè)重力場使它滿足以下的條件：

1）它必須等于引力場與離心力場之和。

2）它的一個(gè)等位面必須是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球面，其對稱軸與旋轉(zhuǎn)軸重合。

3）質(zhì)量等于地球總質(zhì)量，且產(chǎn)生引力位的所有質(zhì)量都在橢球面之內(nèi)。

4）引力位必須滿足。這種地球模型（正常場地球模型）在其表面和外部空間產(chǎn)生的重力場稱為地球的正常重力場。而真實(shí)地球（大地水準(zhǔn)面包絡(luò)的地球）與正常場地球模型的密度分布不同在該點(diǎn)產(chǎn)生的重力場的差值稱為地球在該點(diǎn)產(chǎn)生的重力異常場。第69頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月2、正常重力場引入直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)橢球的中心，沿其極半徑，在赤道平面內(nèi)，則旋轉(zhuǎn)橢球面的方程為式中，分別為旋轉(zhuǎn)橢球的赤道半徑和極半徑；為旋轉(zhuǎn)橢球的橢圓率（扁率）。地心至點(diǎn)的徑矢與水平軸之間的夾角稱為點(diǎn)的地心緯度。P第70頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月正常場地球模型的赤道半徑、極半徑、扁率、總質(zhì)量和旋轉(zhuǎn)角速度惟一地決定了旋轉(zhuǎn)橢球在其表面上和外部空間產(chǎn)生的重力場。旋轉(zhuǎn)橢球面是正常場地球模型的一個(gè)重力等位面，對旋轉(zhuǎn)橢球面上的重力位沿其內(nèi)發(fā)現(xiàn)方向求微商，就可以求出正常場地球模型在參考橢球面上的正常重力分布。用和分別表示赤道上和兩極的正常重力，表示正常場地球模型的重力扁率，它等于兩極的重力和赤道上的重力差與赤道上重力的比值，即索米格蘭納（Somigliana）根據(jù)重力位公式直接導(dǎo)出正常重力公式的一般形式為：第71頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，值約為，約等于赤道上的離心力與地球重力的比值，它的量級與旋轉(zhuǎn)橢球的扁率相等，約為。從（3-47）式看出，重力扁率和旋轉(zhuǎn)橢球的扁率有如下關(guān)系稱為克雷繞（Clairant）定理。正常場地球模型有四個(gè)獨(dú)立參數(shù)：地心引力常數(shù)，參考橢球的赤道半徑、扁率和旋轉(zhuǎn)角速度，給定這四個(gè)參數(shù)，可以求出赤道上的正常重力和兩極的正常重力，根據(jù)上述式，可以計(jì)算出地球參考橢球在它表面上的重力分布。國際大地測量和地球物理聯(lián)合會于1979年通過了1980參考系相對應(yīng)的正常重力場地球模型的參數(shù)和導(dǎo)出的物理參數(shù)為第72頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月與1980大地參考系相對應(yīng)的正常重力公式為與1980大地參考系相對應(yīng)的平均重力目前我國勘探部門使用的是1901年赫爾默德正常重力公式為式中，B表示大地緯度，它與地理緯度之間的關(guān)系為，為極半徑；為赤道半徑。

實(shí)際觀測表明，真實(shí)地球的重力場與正常重力場相差甚小，研究這個(gè)差異部分比研究整個(gè)重力場方便得多，研究這個(gè)差異部分也就研究了整個(gè)的地球重力場。第73頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月3、大地水準(zhǔn)面的形狀和垂線偏差地球與正常場地球模型的密度分布上的差異，一方面使得地球在空間任一點(diǎn)的重力位與正常場地球模型在該點(diǎn)產(chǎn)生的重力位有偏差，這個(gè)偏差稱為地球在該點(diǎn)的擾動位，即圖1-15大地水準(zhǔn)面高度示意圖AA2W(A)=W0U(A)=當(dāng)A點(diǎn)恰巧落到大地水準(zhǔn)面上時(shí)T(S)=γ（A2）N第74頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月3、大地水準(zhǔn)面的形狀和垂線偏差另一方面使得大地水準(zhǔn)面相對參考橢球面發(fā)生起伏，地面上某點(diǎn)重力矢量方向與該點(diǎn)正常重力方向之間有一個(gè)夾角，這個(gè)夾角稱為該點(diǎn)的垂線偏差。垂線偏差是一個(gè)矢量，它有偏差方向和大小。用ξ（A1）表示它的南北分量，向南為正；用η（A1）表示它的東西方向分量，向西為正。兩點(diǎn)之間的數(shù)值的差稱為A1點(diǎn)的重力偏差第75頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示，為地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的投影，為在參考橢球面上的投影，為點(diǎn)的大地高程，為點(diǎn)的正高，為點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面的高度（點(diǎn)處大地水準(zhǔn)面與參考橢球面之間的距離），或稱為大地水準(zhǔn)面的起伏。點(diǎn)的大地高程等于點(diǎn)的正高和之和，即3、大地水準(zhǔn)面的形狀和垂線偏差地面大地水準(zhǔn)面參考橢球面大地高程（AA2）；大地水準(zhǔn)面的高度（N）；正高（H）第76頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月大地水準(zhǔn)面上點(diǎn)的擾動位等于（3-53）式中，為地球在點(diǎn)的重力位；為正常場地球模型在點(diǎn)產(chǎn)生的重力位。由于大地水準(zhǔn)面上的重力位等于正常重力位，即，在旋轉(zhuǎn)橢球面上，旋轉(zhuǎn)橢球面上的重力位與大地水準(zhǔn)面的位相等，因而有將上式代入（3-53）式，有（3-54）（3-54）式表明，大地水準(zhǔn)面上A1點(diǎn)的擾動位T(A1)實(shí)際上等于A2、A1兩點(diǎn)的正常重力位的差。圖1-15大地水準(zhǔn)面高度示意圖A1A2第77頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月令大地水準(zhǔn)面上P點(diǎn)的重力與其對應(yīng)于參考面上Q點(diǎn)的正常重力差稱為P點(diǎn)的重力異常。定義第78頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月此式稱為布容斯公式但又有在下列公式中，W以及U都不是諧函數(shù)，因?yàn)樗鼈兌及x心力位，但T是質(zhì)量重新分布引起的，則有第79頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月參考面的扁率是e≈3×10-3。若將它看成球面，則N,T,等量的相對誤差不過3×10-3

。N的值不超過百米，所以它的誤差不超過一米。如果這個(gè)誤差是在允許的范圍之內(nèi)，則在地面上，球面半徑可用橢球面的平均半徑R來替代，即，值可用橢球面上的平均值來替代，于是得(1-129)(1-130)上二式是球面幾近公式第80頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3重力校正和重力異常自由空氣校正和自由空氣重力異常布格校正和布格重力異常地殼均衡模型、均衡校正和均衡重力異常第81頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

重力測量是在地球的自然表面上進(jìn)行的。地面上的重力值隨時(shí)間和地點(diǎn)而變化，其測量值受到兩種因數(shù)的影響，一是觀測點(diǎn)至大地水準(zhǔn)面的距離，二是地形質(zhì)量。為了便于對不同觀測點(diǎn)進(jìn)行比較，需要對地球自然表面上的重力觀測值進(jìn)行必要的校正。在地表某一點(diǎn)的重力異常值（?g）就是重力觀測值（g）通過外部校正（δg）后，與該點(diǎn)正常重力值（γ）的差值，即

（3-56）地面上的重力異常分布是研究地球形狀和地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)的根據(jù)，不同的異常用于不同的研究目的。第82頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3.1自由空氣校正和自由空氣重力異常如圖所示，為地球表面上的任一點(diǎn)，和為與點(diǎn)相對應(yīng)的大地水準(zhǔn)面上和參考橢球面上的點(diǎn)。假若地球的地形表面與大地水準(zhǔn)面之間不存在質(zhì)量，則點(diǎn)的重力觀測值與大地水準(zhǔn)面上相對應(yīng)的重力值之間的關(guān)系為（3-57）

稱做點(diǎn)的自由空氣校正，于是（3-57）式可改寫成式中，為地球在點(diǎn)的重力垂直梯度；為點(diǎn)的正高。令（3-58）

（3-59）第83頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月即與點(diǎn)對應(yīng)的大地水準(zhǔn)面上點(diǎn)的重力值等于點(diǎn)的重力觀測值與自由空氣校正之和。地球在點(diǎn)的重力垂直梯度是未知量，一般用正常場地球模型在A點(diǎn)的重力垂直梯度代替真實(shí)地球的重力垂直梯度，即將1980大地參考系相對應(yīng)的參考橢球面上的重力垂直梯度值代入（3-58）式，得出自由空氣校正，即式中，h以m為單位。若不考慮離心力，分層均勻的球狀地球模型在其外部的重力第84頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，為地球的地心引力常數(shù)，可得出分層均勻的球狀地球模型在其表面上產(chǎn)生的重力垂直梯度，即式中，R為地球的平均半徑；g0為地球的平均重力。將kM和R的數(shù)值代入上式得當(dāng)A點(diǎn)的正高h(yuǎn)較小時(shí)（不超過9km），可以認(rèn)為正常場地球模型在A點(diǎn)的重力垂直梯度與分層均勻的球狀地球模型表面的重力垂直梯度相等，即于是由（3-58）式得第85頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月對A點(diǎn)的重力觀測值作自由空氣校正后，得出與A點(diǎn)相對應(yīng)的大地水準(zhǔn)面上A1的重力值g(A1)，g(A1)與其在參考橢球面相對應(yīng)點(diǎn)A2處的正常場地球模型的正常重力值的差稱為A點(diǎn)的自由空氣重力異常1.3.2布格校正和布格重力異常地面觀測點(diǎn)的重力觀測值包括地形表面和大地水準(zhǔn)面之間的地形質(zhì)量對該點(diǎn)產(chǎn)生的引力的垂直分量。第86頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月為了從重力觀測值提取有關(guān)地球內(nèi)部異常質(zhì)量分布的信息，必須考慮地形質(zhì)量對地面重力觀測值的影響。在研究分析局部地區(qū)重力測量結(jié)果時(shí)，把參考面取為平面，遠(yuǎn)區(qū)地形質(zhì)量對測區(qū)的重力影響視為常量。觀測點(diǎn)A的布格校正包括局部地形校正和中間層校正兩部分，即如圖3-13所示，MAN為過A的水準(zhǔn)面，A點(diǎn)的局部地形校正等于地形表面和水準(zhǔn)面MAN之間的地形質(zhì)量在A點(diǎn)產(chǎn)生的重力影響。Ⅰ區(qū)的多余地形質(zhì)量和Ⅱ區(qū)的空缺地形質(zhì)量都是使A點(diǎn)的重力觀測值減小，因而A點(diǎn)的局部地形校正值總是正值。大地水準(zhǔn)面參考橢球面第87頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算觀測點(diǎn)的局部地形校正時(shí)，需要有測區(qū)的地形圖。將繪有同心圓和半徑的透明紙放在地形圖上（圖3-14），使圓心和測點(diǎn)重合。第88頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月還采用如圖3-15所示的柱坐標(biāo)系，將坐標(biāo)原點(diǎn)置于A點(diǎn)，Az軸反重力方向垂直向上，則地形質(zhì)量元對A點(diǎn)的重力影響（引力的垂直分量）為第89頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月還采用如圖3-15所示的柱坐標(biāo)系，將坐標(biāo)原點(diǎn)置于A點(diǎn)，Az軸反重力方向垂直向上，則地形質(zhì)量元對A點(diǎn)的重力影響（引力的垂直分量）為式中，ρ為地形的密度。對于內(nèi)半徑為ri、外半徑為ri+1，相對中心點(diǎn)A的下底面高度為h1、上底面高度為h的空心柱狀地形，在A點(diǎn)產(chǎn)生的重力為第90頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月用的圓環(huán)和等間距的射線將過點(diǎn)的水平面分割成扇形，用高度等于常數(shù)的空心扇形柱體的組合逼近點(diǎn)周圍的地形，由（3-71）式，高度為的第個(gè)空心扇形圓柱體在點(diǎn)產(chǎn)生的重力影響為當(dāng)時(shí)，有

（3-71）（3-72）

（3-70）第91頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月A點(diǎn)的局部地形校正為

（3-73）式中，P為圓環(huán)個(gè)數(shù)；n等于圓環(huán)內(nèi)的扇形個(gè)數(shù)。計(jì)算局部地形校正需要計(jì)算三重?cái)?shù)值積分，現(xiàn)在都在計(jì)算機(jī)上完成。第92頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

（3-70）根據(jù)根據(jù)（3-70）式，當(dāng)時(shí)，得出厚度等于h的水平板在點(diǎn)產(chǎn)生的重力影響是式中，為地球的平均密度；為地球的平均重力；為地球的平均半徑。第93頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月A點(diǎn)的中間層校正大小等于介于過A的水平面和大地水準(zhǔn)面之間的平面層在A點(diǎn)產(chǎn)生的重力影響。在陸地上中間層校正為負(fù)，在海上為正。在大陸上在海洋上式中，為海水的密度；為點(diǎn)的海水深度。這樣，A點(diǎn)的布格校正為第94頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月A點(diǎn)的重力觀測值經(jīng)自由空氣校正和布格校正后與其在參考橢球面上A2點(diǎn)正常重力的差稱為A點(diǎn)的布格重力異常，即（3-77）若將地表附近巖石的密度取為，地球的平均密度取為，則有（3-78）式中，h單位為m。（3-78）式表明，陸地上的中間層校正的大小約為自由空氣校正的三分之一，但符號與其相反，中間層校正使自由空氣校正的影響減少了三分之一。第95頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3.3地殼均衡模型、均衡校正和均衡重力異常一、均衡模型1740年布格（Bouguer）在南美的基多（Quito）測量擺的周期時(shí)，發(fā)現(xiàn)山脈處測得的引力比起海水面測得的引力要小。后來在一座山旁測量垂線偏差時(shí)，其測量結(jié)果也比預(yù)期的小得多。1854年英國人普拉特（J.H.Pratt）在整理喜馬拉雅山附近的垂線偏差測量記錄時(shí)，發(fā)現(xiàn)比計(jì)算的垂線偏差值小。20世紀(jì)初的大量重力測量結(jié)果表明，山區(qū)的布格重力異常是負(fù)的，山脈越高，其負(fù)值越大，海洋地區(qū)是正的，海洋越深，其正值越大。20世紀(jì)初的地震資料也表明，在地球的表層有一密度間斷面，即莫霍界面，山脈下莫霍界面深，海洋下的莫霍界面淺，可推測，在地球的表層存在著與地形有關(guān)的補(bǔ)償質(zhì)量，為了計(jì)算補(bǔ)償質(zhì)量對觀測點(diǎn)重力的影響，必須對補(bǔ)償質(zhì)量的形式作定量的假設(shè)，常用的均衡校正模型有三個(gè)：普拉特-海福特均衡模型、艾里-海斯卡寧均衡模型和溫寧·梅尼茲均衡模型。第96頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月1.普拉特（J.H.Pratt）-海福特（F.Hayfort）均衡模型

1854年普拉特認(rèn)為，山脈是由于地下物質(zhì)從某個(gè)補(bǔ)償深度起，向上熱膨脹形成的，山脈越高，則山脈下地殼巖石的密度越小。地球表層中存在一個(gè)等壓力深度（又稱補(bǔ)償深度），無論是在山脈下，還是平原、海洋下，這個(gè)深度的壓力處處相等，在這個(gè)深度以上的每一個(gè)截面積相等的巖石柱體的總質(zhì)量相等，補(bǔ)償質(zhì)量分布在大地水準(zhǔn)面與補(bǔ)償深度之間的地球表層。如圖所示，設(shè)任意柱體密度為，地殼平均密度，柱體頂部相對于大地水準(zhǔn)面的高度為，補(bǔ)償深度，則有可以導(dǎo)出補(bǔ)償質(zhì)量的密度表明，補(bǔ)償質(zhì)量的密度與地形高度成正比。第97頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月對于海底柱體，柱體上部有密度的海水，則有式中，為剩余密度；為海水深度。模型表明，高山下地球表層的密度小，海洋下地球表層的密度大，地球表層中存在著補(bǔ)償質(zhì)量，高山下的不足質(zhì)量和海洋下的多余質(zhì)量與地形質(zhì)量相抵消，使地殼達(dá)到平衡。第98頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.艾里（A.Airy）-海斯卡寧（W.A.Heiskanen）均衡模型1855年艾里假設(shè)，山脈浮在地殼上部，地殼在巖漿中飄浮，山脈有“山根”，山脈越高，陷入巖漿的山根越深，海洋地區(qū)有與海洋相對應(yīng)的反山根，山根與反山根在地球表層產(chǎn)生的質(zhì)量不足或過剩形成的補(bǔ)償質(zhì)量與地形質(zhì)量相補(bǔ)償。它也把地殼劃分成截面積相等的許多柱體，并假設(shè)地殼的密度各處是相等的，。固體地殼柱體飄浮在密度較大（）的均勻流體物質(zhì)上，并處于靜力平衡狀態(tài)。如圖3-18所示，h為柱體頂面的海拔高程，T為地殼正常厚度，“t”為山根厚度，“t’”為反山根厚度，為殼下與地殼的密度差。根據(jù)阿基米德原理有第99頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

（3-81）

（3-82）式中，，λ的物理意義是密度比。（3-81）式表明，山根的厚度與地形高度成正比。同理，對于反山根，有

（3-83）式中，為海水的密度，為海水的深度。或?qū)懗?/p>

（3-84）式中，為另一密度比。（3-84）式表明，反山根的厚度與海水深度成正比。第100頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

普拉特和艾里地殼均衡模型的共同處是，在地球的表層有與地形質(zhì)量相等的補(bǔ)償質(zhì)量，在地球表層的某一深度上，盡管地形的存在，由于補(bǔ)償質(zhì)量的抵消作用，地球介質(zhì)所受的流體靜壓力處處相等。第101頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月3.溫寧·曼乃茲（VeningMeinszF.A）均衡模型溫寧·曼乃茲修正了艾里的假設(shè)，將完全、均勻、局部補(bǔ)償調(diào)整為完全、均勻、局部補(bǔ)償。把地殼當(dāng)成彈性薄板，山脈加載在彈性薄板上，山脈的質(zhì)量把地殼向下壓彎，地殼向下彎曲陷入殼下層的流體物質(zhì)上，形成與山脈相對應(yīng)的區(qū)域山根，山根造成的補(bǔ)償質(zhì)量等于山脈的地形質(zhì)量（圖3-19）。計(jì)算表明當(dāng)高山的橫向?qū)挾却笥?5km時(shí)，才能將莫霍面壓彎，這已為實(shí)踐所證明。艾里和溫寧·曼乃茲模型假說的基本特點(diǎn)都是山根陷入巖漿中，不同的是溫寧·曼乃茲引入了大區(qū)域性的補(bǔ)償概念，以彈性理論為基礎(chǔ)，克服了地殼劃分為許多獨(dú)立柱體的困難，從理論上更為合理，但計(jì)算更為復(fù)雜，所以實(shí)際工作中很少采用溫寧·曼乃茲模型。第102頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、均衡校正和均衡異常重力測量和地震資料都表明，在地球的表層存在著與地形相對應(yīng)的補(bǔ)償質(zhì)量，根據(jù)補(bǔ)償質(zhì)量在地球表層的分布可以計(jì)算出補(bǔ)償質(zhì)量對地面觀測點(diǎn)的重力影響?？紤]與全球地形質(zhì)量相對應(yīng)的補(bǔ)償質(zhì)量對觀測點(diǎn)重力的影響的校正稱為均衡校正。全球地形對觀測值影響的重力校正稱為全球地形校正，觀測點(diǎn)的重力觀測值經(jīng)自由空氣校正、全球地形校正和均衡校正后與參考橢球面對應(yīng)點(diǎn)正常重力的差稱為該點(diǎn)的均衡重力異常

（3-85）式中，為點(diǎn)的重力觀測值；為自由空氣校正，等于；為全球地形校正，大小等于全球地形質(zhì)量對觀測點(diǎn)重力的影響，符號與其相反；為均衡校正，大小等于補(bǔ)償質(zhì)量對觀測點(diǎn)重力的影響，符號與其相反；為點(diǎn)的正常重力第103頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月自由空氣校正只考慮測點(diǎn)高度的影響，并沒有改變地球的總質(zhì)量。自由空氣異常中包括全球地形質(zhì)量以及與其對應(yīng)的補(bǔ)償質(zhì)量的影響，它近似等于普拉特-海福特均衡模型中補(bǔ)償深度等于0時(shí)的均衡重力異常。自由空氣校正對大地水準(zhǔn)面的形狀影響很小，因而自由空氣異常常用于物理大地測量及計(jì)算大地水準(zhǔn)面的形狀和垂線偏差。布格校正包括測點(diǎn)周圍的局部地形校正和中間層校正，它消除了測點(diǎn)周圍的地形和大地水準(zhǔn)面之間的地形質(zhì)量對觀測點(diǎn)的重力影響，改變了地球的質(zhì)量，對大地水準(zhǔn)面的形狀有顯著影響。布格重力異常反映了地球內(nèi)部異常質(zhì)量對重力測量結(jié)果的影響，也就是說，布格異常主要是由莫霍界面、康氏界面、沉積基底面的起伏以及沉積巖中的構(gòu)造以及金屬礦等密度不均勻體引起。布格重力異常多用于局部地區(qū)的地殼上地幔結(jié)構(gòu)和淺層地質(zhì)構(gòu)造的研究。均衡校正消除了與地形質(zhì)量相對應(yīng)的補(bǔ)償質(zhì)量對觀測點(diǎn)的重力影響，全球地形校正和均衡校正沒有改變地球的質(zhì)量，只是把地形質(zhì)量做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，把地形質(zhì)量按補(bǔ)償模型以一定的方式移到大地水準(zhǔn)面以下?？梢岳镁庵亓Ξ惓Ｓ?jì)算調(diào)整后的大地水準(zhǔn)面的形狀和垂線偏差，研究地球的均衡狀態(tài)，為研究地球內(nèi)部動力學(xué)過程提供重力根據(jù)。第104頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4重力異常場異常的劃分與識別§1.4.1局部重力異常和區(qū)域重力異?！?.4.2重力場的解析延拓§1.4.3高階導(dǎo)數(shù)法第105頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4.1局部重力異常和區(qū)域重力異常

地面上觀測到的重力異常是分布在地球內(nèi)部不同深度的密度界面和大小不同的孤立異常體在地面上產(chǎn)生的重力異常的相互疊加的結(jié)果。埋藏淺、水平延伸小的密度異常體在地面產(chǎn)生的重力異常的水平梯度大，幅度小，占據(jù)的水平范圍小，異常的波長短，隨著高度的增加衰減速度快，這種異常稱為局部異常；反之，埋藏深或水平延伸廣的密度異常體在地面上產(chǎn)生的重力異常的水平梯度小，占據(jù)的水平范圍大，異常的波長長，隨著高度的增加衰減速度慢的異常較前者而言稱為區(qū)域重力異常。區(qū)域重力異常與局部重力異常的劃分是相對的，利用局部重力異常反演埋藏淺、水平延伸小的密度異常體，而利用區(qū)域重力異常反演埋藏深、水平延伸廣的密度異常體。當(dāng)研究的對象所引起的局部異常和一定區(qū)域異常疊加在一起時(shí)，不僅使局部異常形態(tài)發(fā)生相應(yīng)的變化，而且使異常的中心位置也會發(fā)生偏離。同樣，局部異常往往是區(qū)域異常復(fù)雜化，因此進(jìn)行地質(zhì)解釋時(shí)，尤其是在反演的過程中，必須劃分局部異常和區(qū)域異常。重力預(yù)查與普查中關(guān)注區(qū)域異常，而詳查、細(xì)測中研究對象主要是局部異常。第106頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4.2重力場的解析延拓

從重力異常公式可以看到，重力異常隨著場源深度變化而變化。淺部地質(zhì)體隨著觀測平面高度的變化具有較高的敏感性。在高度越高的觀測平面上的重力異常中，埋藏深、水平延伸范圍小的異常體的重力異常占的比重小。根據(jù)這種性質(zhì)，將地面的實(shí)測異常換算到不同高度來劃分場源深度不同的疊加異常，這種方法稱為重力異常的解析延拓。從地面水平面上的實(shí)測異常向上解析延拓到某一定高度的異常稱為向上延拓，它可以突出埋藏較深、水平延伸范圍較大的場源引起的異常，壓制淺部異常。從地面水平面上的實(shí)測異常向下解析延拓到地下某一深度平面上的異常稱為向下延拓，向下延拓是為了突出埋藏較淺、水平延伸范圍較小的場源異常，壓制深部異常。這樣，可以把一定高度水平面上的重力異?？闯傻孛嫠矫嫔现亓Ξ惓５膮^(qū)域異常，地面上的重力異常與所選定的區(qū)域重力異常的差就是局部重力異常。第107頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4.3高階導(dǎo)數(shù)法將布格重力異常換算成它的各階導(dǎo)數(shù)，如二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)等的方法稱為高階導(dǎo)數(shù)法。這種方法的特點(diǎn)是：①重力異常的導(dǎo)數(shù)在不同形狀地質(zhì)體上有不同的特征，因此它有助于對異常的解釋和分類。②可以突出淺而小的地質(zhì)體異常特征而壓制區(qū)域性深部地質(zhì)因素的影響，在一定程度上可以劃分不同深度和大小異常源產(chǎn)生的疊加異常。且導(dǎo)數(shù)的次數(shù)越高，這種分辨能力就越強(qiáng)（圖3-25）。第108頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月③重力高階導(dǎo)數(shù)可以將幾個(gè)相互靠近、埋深相差不大的相鄰地質(zhì)因素引起的疊加異常劃分開來（圖3-26），這是由于導(dǎo)數(shù)階數(shù)越高，則異常隨中心埋深加大而衰減越快，從水平方向來看，基于同樣的道理，階次越高的異常范圍越小，因而無論從垂向或水平方向看，高階導(dǎo)數(shù)異常的分辨能力都提高了。第109頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.5重力資料的地質(zhì)解釋及應(yīng)用實(shí)例§1.5.1重力資料在研究地殼深部構(gòu)造及地殼均衡中的應(yīng)用§1.5.2重力資料在地震預(yù)報(bào)中的應(yīng)用第110頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月

§1.5.1重力資料在研究地殼深部構(gòu)造及地殼均衡中的應(yīng)用

重力異常的分布與構(gòu)成地球物質(zhì)的密度分布有著密切的關(guān)系，也就是與地質(zhì)構(gòu)造和礦產(chǎn)分布密切相關(guān)。通過對重力異常分析，首先與已知的地質(zhì)和其他物、化探資料的綜合對比來確定引起異常的地質(zhì)原因，然后在上述定性解釋的基礎(chǔ)上作定量解釋，計(jì)算被研究地質(zhì)體的產(chǎn)狀要素，如埋藏深度、大小、傾角、密度等，最終作出合理的地質(zhì)解釋。利用重力資料研究地殼深部構(gòu)造，不僅對地殼上部高山、大陸和海洋的形成及其演化過程有重要意義，而且在對地殼運(yùn)動和地殼結(jié)構(gòu)的研究、確定地殼深部各物質(zhì)層之間的密度界面的起伏變化，提供有關(guān)地殼均衡狀態(tài)的信息與天然地震的活動性，巖漿侵入活動以及礦產(chǎn)的成礦預(yù)測方面都具有重要作用。用于研究地殼深部構(gòu)造及地殼均衡作用的重力資料主要是大區(qū)域范圍的布格重力異常圖和重力均衡異常圖。第111頁，課件共119頁，創(chuàng)作于2023年2月一、均衡異常分布特征與地殼運(yùn)動的關(guān)系

根據(jù)均衡異常的大小分布，可以判斷地殼的均衡狀態(tài)。一般來說，均衡異常較為平靜（即異常值接近于零）的地區(qū)，表明地殼基本上處于均衡狀態(tài)。若均衡