考點(diǎn)02不等式（7種題型11個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）（原卷版）

考點(diǎn)02不等式（7種題型11個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）【課程安排細(xì)目表】真題搶先刷，考向提前知二、考點(diǎn)清單三、題型方法四、易錯(cuò)分析五、刷好題六.刷壓軸一一、真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共4小題）1．（2022?上海）若a＞b＞c＞d，則下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)+d＞b+c B．a(chǎn)+c＞b+d C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)d＞bc2．（2020?上海）下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)2+b2≤2ab B．a(chǎn)2+b2≥﹣2ab C．a(chǎn)+b≥2 D．a(chǎn)2+b2≤﹣2ab3．（2022?上海）若實(shí)數(shù)a、b滿足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a(chǎn)+b＞2 B．a(chǎn)+b＜2 C．+2b＞2 D．+2b＜24．（2021?上海）已知兩兩不相等的x1，y1，x2，y2，x3，y3，同時(shí)滿足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪個(gè)選項(xiàng)恒成立（）A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x22＞x1x3二．填空題（共5小題）5．（2022?上海）不等式＜0的解集為．6．（2021?上海）不等式＜1的解集為．7．（2023?上海）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足a+4b＝1，則ab的最大值為．8．（2021?上海）已知函數(shù)f（x）＝3x+（a＞0）的最小值為5，則a＝．9．（2020?上海）不等式＞3的解集為．三．解答題（共1小題）10．（2022?上海）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線入地工程的建設(shè)．如圖是一處要架空線入地的矩形地塊ABCD，AB＝30m，AD＝15m．為保護(hù)D處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以D為圓心、DA為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)．若空線入線口為AB邊上的點(diǎn)E，出線口為CD邊上的點(diǎn)F，施工要求EF與封閉區(qū)邊界相切，EF右側(cè)的四邊形地塊BCFE將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū)．（計(jì)算長度精確到m，計(jì)算面積精確到m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的長；（2）當(dāng)入線口E在AB上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？二二、考點(diǎn)清單一、等式與不等式的性質(zhì)1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）?a<b（a∈R，b>0）.))2.等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：若a＝b，則b＝a.(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c.(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd.3.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).二、均值不等式及其應(yīng)用1.均值不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)均值不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.兩個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p)(簡記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(s2,4)(簡記：和定積最大).三、從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式1.一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}?{x|b<x<a}4.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(f(x),g(x))>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.三三、題型方法一．等式與不等式的性質(zhì)（共2小題）1．（2022?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知a＜b，c≥0，則下列不等式中恒成立的是（）A．a(chǎn)c＜bc B．a(chǎn)2c≤b2c C．a(chǎn)2+c＜b2+c D．a(chǎn)c2≤bc22．（2022?楊浦區(qū)模擬）設(shè)x1，x2∈R，則“x1+x2＞6且x1x2＞9”是“x1＞3且x2＞3”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二．不等關(guān)系與不等式（共3小題）3．（2023?黃浦區(qū)模擬）已知x∈R，下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．4．（2023?金山區(qū)二模）若實(shí)數(shù)a、b滿足a2＞b2＞0，則下列不等式中成立的是（）A．a(chǎn)＞b B．2a＞2b C．a(chǎn)＞|b| D．log2a2＞log2b25．（2023?嘉定區(qū)模擬）不等式的解集為．三．基本不等式及其應(yīng)用（共9小題）6．（2023?寶山區(qū)二模）已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）＝|x﹣m+1|﹣2，若正實(shí)數(shù)a、b滿足f（a）+f（2b）＝m，則的最小值為（）A． B．9 C． D．87．（2023?黃浦區(qū)模擬）若關(guān)于x的不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集為R，則的最小值為．8．（2023?奉賢區(qū)二模）已知兩個(gè)正數(shù)a，b的幾何平均值為1，則a2+b2的最小值為．9．（2023?金山區(qū)二模）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則2a+b的最小值為．10．（2023?嘉定區(qū)二模）已知函數(shù)y＝2x+，定義域?yàn)椋?，+∞），則該函數(shù)的最小值為．11．（2023?崇明區(qū)二模）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足ab＝1，則a+4b的最小值等于．12．（2023?浦東新區(qū)模擬）對(duì)于正實(shí)數(shù)x，代數(shù)式的最小值為．13．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)三模）若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＝1，則2x2+y2的最小值為．14．（2022?上海模擬）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锳．若D?A，則稱f（x）為“M型函數(shù)”；若A?D，則稱f（x）為“N型函數(shù)”．（1）設(shè)，D＝[1，4]，試判斷f（x）是“M型函數(shù)”還是“N型函數(shù)”；（2）設(shè)，g（x）＝af（2+x）+bf（2﹣x），若g（x）既是“M型函數(shù)”又是“N型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a，b的值；（3）設(shè)f（x）＝x2﹣2ax+b，D＝[1，3]，若f（x）為“N型函數(shù)”，求f（2）的取值范圍．四．其他不等式的解法（共5小題）15．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)二模）下列各組不等式中，解集完全相同的是（）A．與x2＜x+6 B．＜0與（x﹣2）（x+1）＜0 C．＞0與x+2＞0 D．與x﹣3＞2x+116．（2023?嘉定區(qū)二模）已知，B＝{x|x≥1}，則A∩B＝．17．（2023?青浦區(qū)二模）已知函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0的解集是．18．（2023?寶山區(qū)二模）已知函數(shù)（a＞0且a≠1），若關(guān)于x的不等式f（ax2+bx+c）＞0的解集為（1，2），其中b∈（﹣6，1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．19．（2022?長寧區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）滿足：，則不等式的解集為．五．指、對(duì)數(shù)不等式的解法（共3小題）20．（2023?楊浦區(qū)二模）由函數(shù)的觀點(diǎn)，不等式3x+lgx≤3的解集是．21．（2022?閔行區(qū)二模）不等式2x﹣5＜0的解集為．22．（2022?寶山區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝．（1）當(dāng)a＝b＝1時(shí)，求滿足f（x）≥3x的x的取值范圍；（2）若y＝f（x）的定義域?yàn)镽，又是奇函數(shù)，求y＝f（x）的解析式，判斷其在R上的單調(diào)性并加以證明．六．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象（共3小題）23．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)f（x）＝x2﹣6|x|+8的單調(diào)減區(qū)間是．24．（2022?寶山區(qū)校級(jí)二模）“跳臺(tái)滑雪”是冬奧會(huì)中的一個(gè)比賽項(xiàng)目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞性和挑戰(zhàn)性極強(qiáng)．如圖：一個(gè)運(yùn)動(dòng)員從起滑門點(diǎn)A出發(fā)，沿著助滑道曲線滑到臺(tái)端點(diǎn)B起跳，然后在空中沿拋物線g（x）＝ax2﹣20ax﹣b（x＞0）飛行一段時(shí)間后在點(diǎn)C著陸，線段BC的長度稱作運(yùn)動(dòng)員的飛行距離，計(jì)入最終成績．已知g（x）＝ax2﹣20ax﹣b在區(qū)間[0，30]上的最大值為﹣30，最小值為﹣70．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值及助滑道曲線AB的長度．（2）若運(yùn)動(dòng)員某次比賽中著陸點(diǎn)C與起滑門點(diǎn)A的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米）．25．（2022?青浦區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+px+q（p，q∈R），定義集合Df＝{x|f（f（x））＝x，x∈R}，集合Ef＝{x|f（f（x））＝0，x∈R}．（1）若p＝q＝0，寫出相應(yīng)的集合Df和Ef；（2）若集合Df＝{0}，求出所有滿足條件的p，q；（3）若集合Ef只含有一個(gè)元素，求證：p≥0，q≥0．七．一元二次不等式及其應(yīng)用（共1小題）26．（2023?金山區(qū)二模）若實(shí)數(shù)x滿足不等式x2﹣3x+2＜0，則x的取值范圍是．四四、易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)1：忽視字母的取值范圍而致錯(cuò)1．(多選)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，下列四個(gè)命題中，其中真命題的是（）A．若，，則； B．若，則；C．若，則； D．若，，則.易錯(cuò)點(diǎn)2：多次運(yùn)用不等式性質(zhì)而致錯(cuò)2、已知，，求的取值范圍.易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視不等式中高次項(xiàng)的系數(shù)3．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－2,2) B．(2，＋∞)C．(－2,2] D．[－2,2]易錯(cuò)點(diǎn)4：應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，忽略不等式成立的三個(gè)條件，4．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是()A.B.C.D.5.已知遞增等差數(shù)列中，，則的（）A．最大值為B．最小值為4 C．最小值為 D．最大值為4或易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視一元二次不等式中兩根大小而致錯(cuò)6．已知集合，集合，命題：，命題：，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.易錯(cuò)點(diǎn)6：忽視分式不等式中的分母不能為零致錯(cuò)7．不等式eq\f(2,x＋1)≤1的解集是________．易錯(cuò)點(diǎn)7：忽視一元二次不等式中的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零致錯(cuò)8.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－2,2) B．(2，＋∞)C．(－2,2] D．[－2,2]易錯(cuò)點(diǎn)8：忽視口訣：大于取兩邊，小于取中間的使用條件致錯(cuò)．9．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C．{x|x≤eq\f(3,2)或x≥2}． D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))易錯(cuò)點(diǎn)9：一元二次不等式恒成立問題中忽視區(qū)間的開閉致錯(cuò)10．當(dāng)1≤x≤3時(shí)，關(guān)于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－eq\f(1,4)] B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))易錯(cuò)點(diǎn)10：有關(guān)一元二次方程根的分布條件列不全致錯(cuò)11．若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的兩根都大于2，則m的取值范圍是________．易錯(cuò)點(diǎn)11：解一元二次不等式時(shí)忽視兩根大小而致錯(cuò)12．解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．五五、刷好題一．填空題（共9小題）1．（2023?寶山區(qū)二模）不等式＜0的解集為．2．（2022秋?閔行區(qū)期末）已知a是正實(shí)數(shù)，若a3＞aπ，則a的取值范圍是．3．（2022秋?徐匯區(qū)期末）不等式的解集為．4．（2022秋?長寧區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程mx+2ny﹣1＝0（mn＞0），則的最小值．5．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）不等式的解集為．6．（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知方程x2+x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1、x2，則|x1﹣x2|＝．7．（2022秋?浦東新區(qū)期末）已知一元二次方程x2+x﹣3a＝0（a＞0）的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2，則x12x2+x22x1＝．8．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)月考）已知實(shí)數(shù)a＞0，b＜0，則的取值范圍是．9．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)y＝的最小值是．二．解答題（共2小題）10．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．（1）若圍墻AP，AQ總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高米，造價(jià)均為每平方米100元．若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最?。?1．（2022