第16次課-矩估計(jì)幻燈片

不像其他科學(xué)，統(tǒng)計(jì)從來不打算使自己完美無缺，統(tǒng)計(jì)意味著你永遠(yuǎn)不需要確定無疑。

——GudmundR.Iversen【統(tǒng)計(jì)名言】1第七章參數(shù)估計(jì)2在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常要根據(jù)樣本來對(duì)總體的種種統(tǒng)計(jì)特征做出判斷。實(shí)際工作中碰到的問題大致分為兩類：一是總體的分布往往可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來判斷其類型，但確切的形式并不知道，亦即總體的參數(shù)未知；二是在某些情況下，所關(guān)心的并不是總體的分布，而只是總體的某些數(shù)字特征，特別是數(shù)學(xué)期望和方差。因此，要根據(jù)樣本來估計(jì)總體的參數(shù)，這類問題稱為參數(shù)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)的方法：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本方差等【例如】

樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用表示，估計(jì)量用表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值x=80，則80就是的估計(jì)值【參數(shù)估計(jì)的相關(guān)概念】3§7.1點(diǎn)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)的概念4點(diǎn)估計(jì)是指把總體的未知參數(shù)估計(jì)為某個(gè)確定的值或在某個(gè)確定的點(diǎn)上.點(diǎn)估計(jì)的方法有很多，本節(jié)主要介紹:矩法和極大似然估計(jì)法.二、矩法

其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩.

理論依據(jù):它是基于一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來的一種估計(jì)方法.是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的.大數(shù)定律記總體k階原點(diǎn)矩為樣本k階原點(diǎn)矩為記總體k階中心矩為樣本k階中心矩為5這是含待估參數(shù)的聯(lián)立方程組，其解可作為待估參數(shù)的矩估計(jì)量,其觀察值為待估參數(shù)的矩估計(jì)值.7【例1】已知總體X的概率密度為:其中未知，樣本為，求參數(shù)的矩法估計(jì).【解】只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)方程即可.而因此有解得用樣本1階矩“代替”總體1階矩，即■8方程組為【解】估計(jì)兩個(gè)參數(shù)需要兩個(gè)方程，即分別用樣本1、2階矩“代替”總體1、2階矩.【例2】而另外又有因此有方程組9解得參數(shù)的矩估計(jì)量分別為：■10

【練習(xí)】已知總體X的概率密度為:〖解〗因?yàn)榭傮w一階矩其中未知參數(shù)θ>0,求θ的矩估計(jì)量.由11故所求矩估計(jì)量為：即解得:■12【例3】在某班期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)中隨機(jī)抽取9人的成績(jī).結(jié)果如下表所示，試求該班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分?jǐn)?shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值.序號(hào)123598764分?jǐn)?shù)948963657175788555而樣本1、2階矩分別為【解】設(shè)X為該班數(shù)學(xué)成績(jī)，而總體X的1、2階矩為13解得參數(shù)的矩估計(jì)量分別為：■14【練習(xí)】求服從二項(xiàng)分布b(m,p)的總體X未知參數(shù)p的矩估計(jì)量.

〖解〗單參數(shù)，離散型.由即故所求矩估計(jì)量為：■因?yàn)樗钥傮wX的一階矩(期望)為15

矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,并不需要事先知道總體是什么分布。缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有充分利用分布提供的信息。一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性。其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性。16三、極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)法是在總體的分布類型已知的條件下所使用的一種參數(shù)估計(jì)方法.它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出.GaussFisher然而這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇.費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).17

【例子】是誰擊中的野兔,你會(huì)怎樣想?若讓你推測(cè)一下，一只野兔從前方竄過，只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下.某同學(xué)與一位獵人一起外出打獵。忽然，極大似然估計(jì)法是基于極大似然原理提出的。為了說明極大似然原理,

我們先看個(gè)例子。18你會(huì)想：只一槍便擊中,一般情況下獵人擊中的概率比同學(xué)擊中的概率大。故，這一槍極大可能是獵人打的。你的這一想法中就已經(jīng)包含了極大似然估計(jì)法的基本思想.為了進(jìn)一步體會(huì)極大似然估計(jì)法的思想,我們?cè)倏匆粋€(gè)例子.19【例如】有一事件A，我們知道它發(fā)生的概率只可能是:p=0.1，0.3或0.6若在一次觀測(cè)中，事件A竟然發(fā)生了，你自然會(huì)認(rèn)為事件A發(fā)生的概率是0.6，而非其他數(shù)值?！緲O大似然原理】概率大的事件在一次觀測(cè)中更容易發(fā)生。試讓你推想一下應(yīng)取何值?由上述兩例可知，極大似然估計(jì)法是要選取這樣的，當(dāng)它作為估計(jì)值時(shí)，使觀測(cè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性最大，即概率最大.20設(shè)X為離散型總體，其分布律為：對(duì)來自總體X的樣本（X1,X2,…,Xn），若在極大似然估計(jì)法中，關(guān)鍵的問題是求似然函數(shù)。下面分別就離散型總體與連續(xù)型總體介紹似然函數(shù)的求法。1、似然函數(shù)（1）離散型總體似然函數(shù)的定義為其觀測(cè)值，樣本的聯(lián)合分布律為:稱為樣本的似然函數(shù)。21（2）連續(xù)型總體似然函數(shù)的定義設(shè)X為連續(xù)型總體，其概率密度為：對(duì)來自總體的樣本,其觀測(cè)值為,樣本的聯(lián)合概率密度為:其中未知稱為樣本的似然函數(shù)。2223極大似然法求估計(jì)量的步驟：24【解】

θ的似然函數(shù)為：取對(duì)數(shù)【例4】

設(shè)(X1,X2,…Xn)是來自總體X的一個(gè)樣本,求θ的極大似然估計(jì)量．25求導(dǎo)并令其為0:=0從中解得

即為θ的極大似然估計(jì)值。26

【例5】在泊松總體中抽取樣本，其樣本值為

試對(duì)泊松分布的未知參數(shù)作極大似然估計(jì).

【例6】設(shè)總體X服從上的均勻分布，求未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量.27【練習(xí)】設(shè)X1,X2,…,Xn