廣西壯族自治區(qū)桂林市首師大附中2021年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

廣西壯族自治區(qū)桂林市首師大附中2021年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，∠C=120°，，則tanAtanB的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】根據(jù)A+B=180°﹣C=60°，先求出tan（A+B）的值，再求tanAtanB．【解答】解：，故，即．故選B．【點(diǎn)評】本題主要考查兩角和與差的正切公式．屬基礎(chǔ)題．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）=2﹣|x﹣2|，則（）A． B．C． D．【答案】 B【解析】【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和對稱軸，即可得到結(jié)論．【解答】解：由f（x）=f（x+2），∴函數(shù)f（x）的周期為2．當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）=2﹣|x﹣2|，則函數(shù)f（x）關(guān)于x=2對稱．A．f（sin）=f（），f（sin）=f（），此時．f（sin）＜f（sin），A錯誤．B．f（sin）=f（），f（cos）=f（﹣）=f（），此時f（sin）＜f（cos），∴B正確．C．f（cos）=f（），f（cos）=f（），∴f（cos）＞f（cos），∴C錯誤．D．f（tan）=f（），f（tan）=f（1），∴f（tan）＞f（tan）∴D錯誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)的單調(diào)性和對稱性是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握常見三角函數(shù)的三角值．2.已知點(diǎn)在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是A．相離

B．相交

C．相切

D．不確定參考答案：B3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是（）A、圓柱B、圓臺C、棱柱D、棱臺參考答案：B試題分析：由俯視圖可知該幾何體底面為兩個圓，因此該幾何體為圓臺考點(diǎn)：幾何體三視圖4.已知直線恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為A.2

B.

C.4

D.參考答案：C5.已知集合，若集合有且僅有一個元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．

．

．

．參考答案：A略6.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是()A.－ B.－2 C.－ D.－1參考答案：A【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，得出關(guān)于的表達(dá)式，配方即可得出答案?！驹斀狻恳詾檩S，以邊上的高為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則，設(shè)，則所以當(dāng)時，取得最小值故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)，得出關(guān)于的表達(dá)式，屬于一般題。7.已知函數(shù)，則的值是

（

）A．2

B．3

C．5

D．7參考答案：D8.已知函數(shù)（且）在區(qū)間[0,1]上是x的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（▲）A．(0,1)B．(1,2]

C．(0,2)D．(2,+∞)參考答案：B9.如圖，四棱錐S—ABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（A）AC⊥SB（B）AB∥平面SCD（C）SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角（D）AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角參考答案：D10.cos20°cos40°﹣sin20°sin40°的值等于（）A． B．C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】院士利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：cos20°cos40°﹣sin20°sin40°=cos（20°+40°）=cos60°=．故選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集為

．參考答案：（﹣∞，2）∪[3，+∞）【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【分析】首先將不等式化為整式不等式，然后求解集．【解答】解：原不等式等價(jià)于（x﹣3）（x﹣2）≥0且x﹣2≠0，所以不等式的解集為（﹣∞，2）∪[3，+∞）；故答案為：（﹣∞，2）∪[3，+∞）12.已知集合A={x|x﹣a=0}，B={x|ax﹣1=0}，且A∩B=B，則實(shí)數(shù)a等于．參考答案：1或﹣1或0【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】利用A∩B=B?B?A，先化簡集合A，再分類討論化簡集合B，求出滿足B?A的a的值．【解答】解：∵A∩B=B∴B?AA={x|x﹣a=0}={a}對于集合B當(dāng)a=0時，B=?滿足B?A當(dāng)a≠0時，B={}要使B?A需解得a=±1故答案為1或﹣1或0【點(diǎn)評】本題考查A∩B=B?B?A、一元一次方程的解法、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．13.已知三棱錐P﹣ABC的體積為10，其三視圖如圖所示，則這個三棱錐最長的一條側(cè)棱長等于．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由已知中的三視圖，畫出幾何體的直觀圖，數(shù)形結(jié)合求出各棱的長，可得答案【解答】解：由三棱錐的三視圖可得幾何體的直觀圖如下圖所示：O是頂點(diǎn)V在底面上的射影，棱錐的底面面積S=×4×5=10，∵三棱錐P﹣ABC的體積為10，故棱錐的高VO=3，則VA=，VC=3，AC=5，BC=4，AB=，VB=，故最長的側(cè)棱為，故答案為：14..設(shè)方程的根為，方程的根為，則參考答案：4略15.某商人將彩電先按原價(jià)提高，然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果是每臺彩電比原價(jià)多賺了元，則每臺彩電原價(jià)是_____元.參考答案：225016.若x，y滿足約束條件，則的取值范圍為___________．參考答案：畫出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示）．表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率．由，解得，故得；由，解得，故得.因此可得，結(jié)合圖形可得的取值范圍為．

17.在等比數(shù)列{an}中，已知公比q=，S5=﹣，則a1=

．參考答案：﹣4【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解．【解答】解：∵在等比數(shù)列{an}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案為：﹣4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)c．參考答案：（1）為等差數(shù)列，∵，又，∴，是方程的兩個根又公差，∴，∴，∴

∴

∴,（2）由(1)知，,∴∴，，,∵是等差數(shù)列，∴，∴,∴（舍去）,再驗(yàn)證成立略19.學(xué)校對同時從高一，高二，高三三個不同年級的某些學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，從各年級抽出人數(shù)如表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些學(xué)生中共抽取6人進(jìn)行調(diào)查年級高一高二高三數(shù)量50150100（1）求這6位學(xué)生來自高一，高二，高三各年級的數(shù)量；（2）若從這6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2人再做進(jìn)一步的調(diào)查，求這2人來自同一年級的概率．參考答案：【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖；CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】（1）求出樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是=，即可求這6位學(xué)生來自高一，高二，高三各年級的數(shù)量；（2）利用枚舉法列出從這6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2人的不同結(jié)果，求出2人來自同一年級的情況數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式得答案．【解答】解：（1）因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個體數(shù)的比是=，所以樣本中包含三個年級的個體數(shù)量分別是50×=1，150×=3，100×=2．所以高一，高二，高三三個年級的學(xué)生被選取的人數(shù)分別為1，3，2．（2）設(shè)6件來自高一，高二，高三三個地區(qū)的學(xué)生分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2．則抽取的這2人構(gòu)成的所有基本事件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個．每個人被抽到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．記事件D：“抽取的這2人來自相同年級”，則事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個．所以P（D）=，即這2人來自相同年級的概率為．20.海南沿海某次超強(qiáng)臺風(fēng)過后，當(dāng)?shù)厝嗣穹e極恢復(fù)生產(chǎn)，焊接工王師傅每天都很忙碌．一天他遇到了一個難題：如圖所示，有一塊扇形鋼板，半徑為1米，圓心角，施工要求按圖中所畫的那樣，在鋼板OPQ上裁下一塊平行四邊形鋼板ABOC，要求使裁下的鋼板面積最大．請你幫助王師傅解決此問題．連接OA，設(shè)，過A作，垂足為H.（1）求線段BH的長度（用來表示）；（2）求平行四邊形ABOC面積的表達(dá)式（用來表示）；（3）為使平行四邊形ABOC面積最大，等于何值？最大面積是多少？參考答案：（1）（2）（3）當(dāng)時，所裁鋼板面積最大，最大面積為平方米．【分析】（1）先根據(jù)題意在中表示，再在中表示即可.（2）由（1）知和，由可知，表示平行四邊形面積，結(jié)合二倍角公式，逆用兩角和的正弦公式表示即可.（3）由（2）結(jié)合，求出函數(shù)最值即可.【詳解】解：（1）在中，，，四邊形為平行四邊形∥即在中所以；（2），設(shè)平行四邊形的面積為，則＝＝＝＝＝；（3）由于，所以，當(dāng)，即時，，所以當(dāng)時，所裁鋼板的面積最大，最大面積為平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式，兩角和的正弦公式逆用，以及利用三角函數(shù)性質(zhì)求最值，屬于基礎(chǔ)題.21.（13分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．（1）求證：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大?。唬?）在（2）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．參考答案：考點(diǎn)： 直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．專題： 計(jì)算題；證明題；壓軸題．分析： （1）連BD，設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系O﹣xyz，設(shè)底面邊長為a，求出高SO，從而得到點(diǎn)S與點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，求出向量與，計(jì)算它們的數(shù)量積，從而證明出OC⊥SD，則AC⊥SD；（2）根據(jù)題意先求出平面PAC的一個法向量和平面DAC的一個法向量，設(shè)所求二面角為θ，則，從而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC，根據(jù)（Ⅱ）知是平面PAC的一個法向量，設(shè)，求出，根據(jù)可求出t的值，從而即當(dāng)SE：EC=2：1時，，而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC解答： 證明：（1）連BD，設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系O﹣xyz如圖．設(shè)底面邊長為a，則高．于是，，，，故OC⊥SD從而AC⊥SD（2）由題設(shè)知，平面PAC的一個法向量，平面DAC的一個法向量．設(shè)所求二面角為θ，則，所求二面角的大小為30°．（3）在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC．由（Ⅱ）知是平面PAC的一個法向量，且設(shè)，則而即當(dāng)SE：EC=2：1時，而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC點(diǎn)評： 本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關(guān)系的判定和二面角的求法，涉及到的知識點(diǎn)比較多，知識性技巧性都很強(qiáng)．22.已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）在區(qū)間[﹣1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）用待定系數(shù)法先設(shè)函數(shù)f（x）的解析式，再由已知條件求解未知量即可（2）只需保證對稱軸落在區(qū)間內(nèi)部即可（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問