角平分線（1）【備課精講精研】 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高效課堂（北師大版）

新課標(biāo)北師大版八年級(jí)下冊(cè)1.4.1角平分線（1）第一章三角形的證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠證明角平分線的性質(zhì)定理、判定定理及其相關(guān)結(jié)論.2.角的平分線相關(guān)定理的推理證明及對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用.情境導(dǎo)入1.線段垂直平分線的性質(zhì)？2.線段垂直平分線的判定定理？

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。情境導(dǎo)入3、什么是角平分線的定義？AOBP從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相等的角，這條射線就叫這個(gè)角的角平分線.

4、角平分線的性質(zhì)是什么？角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等探究新知核心知識(shí)點(diǎn)一：角平分線的性質(zhì)觀察視頻中角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎？探究新知猜想：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。點(diǎn)與點(diǎn)—兩點(diǎn)之間的距離點(diǎn)與線—垂線段注意：請(qǐng)你嘗試證明這一性質(zhì)，并與同伴交流.探究新知已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD丄OA,PE丄OB,垂足分別為D，E.求證：PD＝PE.證明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分別為D，E，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.∵∠1＝∠2,OP＝OP∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD＝PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).探究新知?dú)w納總結(jié)幾何語言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E,∴PD＝PE.

角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。探究新知?dú)w納總結(jié)BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件：(1)角的平分線；(2)點(diǎn)在該平分線上；(3)垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.探究新知例：如圖,在△ABC中，∠BAC＝60°，點(diǎn)D在BC上，

AD＝10，DE丄AB，

DF丄AC，垂足分別為E，F(xiàn)，DE＝DF，求DE的長(zhǎng).探究新知解：∵DE丄AB,DF丄AC，垂足分分別為E，F(xiàn),且DE＝DF，∴AD平分∠BAC(在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，∴DE＝AD＝×10＝5(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°.那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).探究新知核心知識(shí)點(diǎn)二：角平分線的判定想一想：你能寫出這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？如果有一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)必在這個(gè)角的平分線上.這個(gè)命題是真的嗎？如果是假的，怎么修改能成為真的呢？探究新知假命題。在角的外部，也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn)，但是這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上．探究新知角平分線的判定一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。探究新知已知：如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD丄OA，PE丄OB，垂足分別為D，E，且PD＝PE．求證：OP平分∠AOB.證明：∵PD丄OA,PE丄OB,垂足分別為D，E，∴∠ODP＝∠OEP＝90°，∵PD＝PE，OP＝OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1＝∠2(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴OP平分∠AOB.探究新知?dú)w納總結(jié)在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上(或∠AOC＝∠BOC)．角平分線的判定歸納總結(jié)角平分線的判定所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.探究新知例：已知：如圖，已知BE＝CF，DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)D.求證：AD平分∠BAC.探究新知證明：∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.在△BDE和△CDF中，

∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.又∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴AD平分∠BAC.探究新知隨堂練習(xí)1.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD＝3，BC＝10，則△BDC的面積是(

)A．10B．15C．20D．30B隨堂練習(xí)2.如圖，在△ABC中，與∠ABC，∠ACB相鄰的外角的平分線相交于點(diǎn)F，連接AF，則下列結(jié)論正確的是(

)A．AF平分BC

B．AF平分∠BACC．AF⊥BC

D．以上結(jié)論都正確B隨堂練習(xí)3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，且DE＝3cm，BC＝8cm，則BD＝________cm.5隨堂練習(xí)4.如圖，OC是∠AOB的平分線，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E.求證：AC＝BC.證明：∵OC是∠AOB的平分線，AC⊥OB，BC⊥OA∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90°又∠ACE＝∠BCD∴△ACE≌△BCD(ASA)∴AC＝BC隨堂練習(xí)5.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF.求證：AD平分∠BAC.證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴DB＝DC∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°又∵BE＝CF∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)∴DE＝DF又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC隨堂練習(xí)6.如圖，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線．求證：BD＝2CD.證明：如圖，過D作DE⊥AB于E∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°∴DE＝DC在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30°∴BD＝2DE，∴BD＝2CD隨堂練習(xí)7.如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.若△ABC的面積是36cm2，AB＝10cm，AC＝8cm，求DE的長(zhǎng).解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝

AB·DE＋

AC·DF∴36＝

×10·DE＋

×8·DE∴DE＝4(cm)8.如圖，P是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D.求證：(1)OC＝OD；

(2)OP是CD的垂直平分線.隨堂練習(xí)證明：(1)∵OP平分∠AOB，∴∠COP＝∠DOP∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP＝∠ODP＝90°又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)∴OC＝OD隨堂練習(xí)(2)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB∴PC＝PD∴點(diǎn)P落在CD的垂直平分線上∵OC＝OD∴點(diǎn)O落在CD