2011學年第一學期線性代數(shù)試題卷答案

0

A*3B

02·3

*=

(-1)

A

3B=

A

2

32=

1

9

1=

9……4B

…………7……………1003

0

2

5一、（10

分）已知

A

=

0

1-

1

0

3，

B

=

42

，求行列式30

A3B

0*的值。解…………5·A-131

A

X

=

2

A

+

AXX

=

2(

I

-

A)-1

A

(

I

-

A)-1=

-2

5-1

21

0-1-10

-1

-2=

-1

-25352

1

……………81

-252

3-51

-6104

1

1-1

0

=

-20

2

0

X

=

2

-1

3

-2

51

-14

2

……10

-4

10

2

3

-5

1二、（10

分）已知矩陣

A

=

1

-1-1

031*0

，矩陣

X

滿足

A

XA

=

2A

+

XA，求

X。3A

·

1

A*

XA

=

2A

+

XAX

=

2

A

+

AX

(

I

-

A)

X

=

2

A

……………3A

=

3解=

(5l

+

4)(l

-1)2

l

-1l

-1

14

5

-5討論5情形1

l

?1,-4

時方程組有唯一解；……………31

2

3

lx

-

x

+

x

=

2三、（10

分）對下列線性方程組

2x1

+lx2-x3=14x1

+5x2

-5x3

=

-1試討論：當l

取何值時，它有唯一解？無解？有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解。（用導出組的基礎解系表示通解）解情形245a

=-時2

fi

0-1

4

00

情形3

a

=

1時

2

1

-1-1

15

-5-1

A

=

1T

TX0

=(1,-1,0)是一特解。導出組基礎解系X1

=(0,1,1)，一般解

X0＋k1

X1………………10方程組有無窮多解.

………6r(

A

)

=

r(

A)

=

2

<

345

21

21

-

4-1-

4

5

9

-15

5

-1

1 2

fi

0

-

33

3

12

25

55

-5

-1

0

0

0

4

1

1

-1

1 2

1

-10

0A

=

-方程組無解

1

0

34

6

排成矩陣:解：將a1

,a

2

,a

3按,a列4秩為3

a1

,a

2

,a

3

為一個極大無關組.

…………6…10a

4

=

a1

+

a

2

+

a

3四、（10

分）已知a1

=(-2,1,0,3),

a2

=

(1,-3,2,4),

a3

=(3,0,2,-1),

a4

=(2,-2,4,6)求向量組a1

,a2

,a3

,a4

的秩和一個極大無關組;用所求的極大無關組線性表出剩余向量。1234TTTT(a

,

a

,a

,a

)

=

-2

1

3 2

1-3

0

-22

24

-1-3

0

-21

10

10

0

02

fi

0

00

1

fi

01

01

1

0

0 1

1

00

1

0

0

0 0

………………10五、（10

分）已知

R3

的一個基:

b1

=

(0,1,1),

b2

=

(1,0,1),

b3

=

(1,1,0)

。(1)

求R3

的自然基e1

,e2

,e3

到基b1

,b2

,b3

的過渡矩陣;1(2)

求向量a

=(2,-1,3)關于基b1

,b2

,b3

的坐標。

0(b1

,

b2

,

b3

)=

(e1

,e2

,e3

)P1 1

P

=

1

0 1

,

10

……5121

1y

-1

1

1

2

2

y1

2

0

…2

2

(2y)

=

P

-1

-1

=

1-

11

-1

=

3

2

22

3

-1

3

3

2-

2

-

2

解(1)k0b

=

0b?0X1，，Xt線性無關

從而

k2

=

0,

k3

=

0,km

=

0

k0

=

0

…………5…10k1

X1

+

+

kt

Xt

=

0X0，X1，，Xt線性無關六、（10

分）設X0

是非齊次線性方程組AX

=b

的一個特解，X1

,X

2

,,Xt是其導出方程組AX

=0

的一個基礎解系，證明：X0

,X1

,X

2

,,Xt

線性無關。解

A

·

k

X

+

k

X

+

+

k

X

=

0

………………20

0

1

1

t

tk0

AX0

+

k1

AX1

+

+

kt

AXt

=

0(

)12211

11bb

,

bb

=

(1,

0,

0)Tb

=

a-

(a2

,

b1

)=

(1,1,

0)T

-

1

(1,

0,

0)T=

(0,1,

0)T…5…10七、（10

分）已知線性方程組AX

=0

的通解為k1

(1,0,0)T

+k2

(1,1,0)T

，其中k1

,k2

為任意常數(shù)，求此方程組的解空間的一個標準正交基。解

02

1

0

0

A

=

0

2

-2

-2lI

-

A

=

l

(l

-1

(l

-

4l1

=

0,

l2

=

1，l3

=

4…31

2

3八、（10

分）已知二次型f

(x1

,x2

,x3

)=x

2

+2x

2

+2x

2

-4

x2

x3

。用正交變換將它化為標準形，并給出所用的正交變換;判斷二次型f

(x1

,x2

,x3

)是否正定。解l

=

0(lI

-

A X

=

0AX

=

0基礎解系X

=

(0，1，1)T

,

X

=

(1，0，0)T

,

X

=

(0,

-1，1)T1

2

3單位化(

)1

2322…6T，0，0

,hh

=

1

(0，1，1)T

,h

=

1

=

1

(0,

-1，1)T100202

0Q

=

1-

1

2

1

1

2

…8f

=

y2

+

4

y22

3(2)

A不是正定的,因為它的特征值不全大于.………………10(

)

(

)TTT

TAa

=

(aa

+

bb

)a

=

a

a

a

+

b

b

a

=

a(2)

|

A

|=

0AX

=0

的非零解X0為其特征向量?！?：九、（10

分）設a

,b

為3

元單位列向量，且a

T

b

=0

，記A

=aa

T

+bbT

。證明(1)

齊次線性方程組AX

=0

有非零解；1

0

0

(2)

A

相似于矩陣0

1 0

。0

0

0解(1)

A為3階方陣r(

A)

=

r(aa

T

+

bb

T

)

￡

r(aa

T

)

+

r(bb

T

)

=

1

+

1

<

3故A

X

=

0有非零解

…………3l1

=

0故X0,a

,b為A的三條線性無關的特征向量令P

=(X0

,a

,b

)則P

-1

AP

=diag(0,1,1)Ab

=

(aa

T

+

bbT

)b

=

a

(a

T

b

)+

b

(bT

b

)=

ba

,

b為A的屬于1特征向量且線性無關

…………7…10l1

,l2

,k1

,k2使得十、（10

分）設a1

,a

2

,b1

,b2

都是3

元向量，且a1

,a

2

線性無關，b1

,b2

線性無關。證明：存在非零向量g

，使得g

既可由a

1

,a

2

線性表出，又可由b1

,b2

線性表出；當a1

=(1,2,1)T

,a

2

=(2,5,3)T

，b1

=(2,3,-1)T

,b2

=(-1,0,3)T

時，求出所有既可由a

1

,a

2

線性表出，又可由b1

,b2

線性表出的向量。解(1)

4個3元向量必線性相關，故存在不全為零的數(shù)l1a1

+

l2a

2

+

k1b1

+

k2b2

=

0