恒定電流的電場和磁場

恒定電流的電場和磁場第1頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月一、電流分布1、（體）電流密度設(shè)垂直通過ΔS的電流為ΔI，則該點(diǎn)處的電流密度為

第2頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月載流導(dǎo)體內(nèi)每一點(diǎn)都有一個電流密度，構(gòu)成一個矢量場，稱這一矢量場為電流場。電流場的矢量線叫做電流線。通過面積S的電流等于電流密度在S上的通量電流密度與流過任意面積S的電流強(qiáng)度I的關(guān)系：第3頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月2、（面）電流密度設(shè)垂直通過ΔL

的電流為ΔI，則該點(diǎn)處的電流密度為

第4頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月二、電流連續(xù)性方程

在電流場中有一閉合曲面S，由電荷守恒定律電流連續(xù)性方程

第5頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月要該積分對任意的體積V均成立，必須有被積函數(shù)為零

電流連續(xù)性方程微分形式

電流連續(xù)性方程積分形式

第7頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月恒定電場的電流連續(xù)性方程

若電荷分布恒定，即第8頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月三、歐姆定律的微分形式電功率密度一段載流I導(dǎo)體，端電壓為U，電阻為R，由歐姆定律歐姆定律微分形式第9頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

電導(dǎo)率為無限大的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)電體。在理想導(dǎo)電體中，無需電場推動即可形成電流，所以在理想導(dǎo)電體中是不可能存在恒定電場的，否則，將會產(chǎn)生無限大的電流，從而產(chǎn)生無限大的能量。但是，任何能量總是有限的。

電導(dǎo)率為零的媒質(zhì)，不具有導(dǎo)電能力，這種媒質(zhì)稱為理想介質(zhì)。理想介質(zhì)內(nèi)無電流存在。

電導(dǎo)率不為零的媒質(zhì)，具有導(dǎo)電能力，這種媒質(zhì)稱為導(dǎo)電介質(zhì)。第10頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月媒質(zhì)電導(dǎo)率(S/m)媒質(zhì)電導(dǎo)率(S/m)銀海水4紫銅淡水金干土鋁變壓器油黃銅玻璃鐵橡膠表常用材料的電導(dǎo)率

第11頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月按電導(dǎo)率對介質(zhì)的分類理想導(dǎo)體理想介質(zhì)（絕緣介質(zhì)）導(dǎo)電媒質(zhì)

與介質(zhì)的極化特性一樣，媒質(zhì)的導(dǎo)電性能也表現(xiàn)出均勻與非均勻，線性與非線性以及各向同性與各同異性等特點(diǎn)，這些特性的含義與前相同。上述公式僅適用于各向同性的線性媒質(zhì)。第12頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

運(yùn)流電流的電流密度并不與電場強(qiáng)度成正比，而且電流密度的方向與電場強(qiáng)度的方向也可能不同。可以證明運(yùn)流電流的電流密度

與運(yùn)動速度

的關(guān)系為

式中為電荷密度。第13頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

焦耳定律電功率密度

當(dāng)導(dǎo)體兩端的電壓為U，流過的電流為I時，則在單位時間內(nèi)電場力對電荷所作的功——電功率

在導(dǎo)體中，沿電流線方向取一長度為ΔL、截面為ΔS的體積元，該體積元內(nèi)消耗的功率為

第14頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月載流導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度為

焦耳定律不適應(yīng)于運(yùn)流電流。因為對于運(yùn)流電流而言，電場力對電荷所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭幽?，而不是轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。

焦耳定律的微分形式第15頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月四、恒定電流場的基本方程電位方程載流導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場的基本方程（不包括電源）

積分形式

微分形式

本構(gòu)關(guān)系第16頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月電位及電位方程

對于均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)恒定電場的電位滿足拉普拉斯方程

第17頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，其形狀及尺寸如圖示。計算兩個端面之間的電阻。

Uyxtabr0(r,)0解選用圓柱坐標(biāo)系。設(shè)兩個端面之間的電位差為U，且令

當(dāng)角度時，電位。當(dāng)角度時，電位。由于導(dǎo)電媒質(zhì)中的電位

僅與角度

有關(guān)，電位滿足的方程式為此式的通解為

第18頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

利用給定的邊界條件，求得

導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流密度J為由的端面流進(jìn)該導(dǎo)電媒質(zhì)的電流I

為該導(dǎo)電塊的兩個端面之間的電阻R為第19頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月五、恒定電流場的邊界條件

由積分形式

可得恒定電流場中不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面的邊界條件

第20頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月即恒定電流場的邊界條件為

恒定電流場中不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面兩側(cè)的電場強(qiáng)度切向分量連續(xù)，但其法向分量不連續(xù)；而電流密度的法向分量連續(xù)，但其切向分量不連續(xù)。

第21頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月在恒定電場中，分界面處用電位表示的邊界條件為應(yīng)用邊界條件，可得分界面處的折射定理第22頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月討論：兩種導(dǎo)電媒質(zhì)當(dāng)一種導(dǎo)電媒質(zhì)為不良導(dǎo)體，另一種導(dǎo)電媒質(zhì)為良導(dǎo)體，若電導(dǎo)率，如同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體通常由電導(dǎo)率很高(107數(shù)量級)的銅或鋁制成，填充在兩導(dǎo)體間的材料不可能是理想的絕緣電介質(zhì),總有很小的漏電導(dǎo)存在，如聚乙烯的電導(dǎo)率為10-10數(shù)量級，由第23頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)σ1>>σ2，第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體時，第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良導(dǎo)體中，電力線近似地與界面垂直，這時可將良導(dǎo)體的表面近似地看作等位面。

第24頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月2）理想介質(zhì)與良導(dǎo)體第25頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

可知E2不垂直導(dǎo)體表面,導(dǎo)體表面不是等位面,導(dǎo)體也不是等位體,這是由于σ1有限,導(dǎo)體中沿電流方向存在電場。而在靜電場中,導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度為零,介質(zhì)中的場強(qiáng)總是垂直導(dǎo)體表面,導(dǎo)體是等位體,其表面是等位面。在這一點(diǎn),恒定電場與靜電場有根本的區(qū)別。由上知，在均勻?qū)w內(nèi)電流沿平行于導(dǎo)體表面流動。第26頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月4）載恒定電流的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部無（體）電荷存在即，載恒定電流的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部無（體）電荷存在，電荷分布在載流導(dǎo)體的表面。第27頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月4）有電流流過兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面時界面的電荷

當(dāng)恒定電流通過電導(dǎo)率不同的兩導(dǎo)電媒質(zhì)時,其電流密度和電場強(qiáng)度要發(fā)生突變。故分界面上必有電荷分布。第28頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月分界面上的面電荷密度當(dāng)時，分界面上的面電荷密度為零。

可見,在兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上一般有一層自由電荷分布。如果導(dǎo)電媒質(zhì)不均勻,在媒質(zhì)中還會有體電荷的存在。第29頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月六、恒定電流場與靜電場的比擬

第30頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月物理量的對偶關(guān)系

靜電場恒定電場第31頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

因此，當(dāng)恒定電流場與靜電場的邊界條件相同時，電流密度的分布與電場強(qiáng)度的分布特性完全相同。根據(jù)這種類似性，可以利用已經(jīng)獲得的靜電場的結(jié)果直接求解恒定電流場?；蛘哂捎谠谀承┣闆r下，恒定電流場容易實現(xiàn)且便于測量時，可用邊界條件與靜電場相同的電流場來研究靜電場的特性，這種方法稱為靜電比擬法。

靜電比擬法的理論依據(jù)：解的唯一性定理

可利用已經(jīng)獲得的靜電場結(jié)果可以求解恒定電流場。

第32頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

利用兩種場方程，可求兩個電極間的電阻及電導(dǎo)與電容的關(guān)系為若已知兩電極之間的電容，由上述兩式可求得兩電極間的電阻及電導(dǎo)。

例如，已知面積為S，間距為d

的平板電容器的電容，若填充的非理想介質(zhì)的電導(dǎo)率為

，則極板間的漏電導(dǎo)為又如單位長度內(nèi)同軸線的電容；若同軸線填充介質(zhì)具有的電導(dǎo)率為，則單位長度內(nèi)同軸線的漏電導(dǎo)第33頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月1、真空中恒定磁場的基本方程2、矢量磁位3、磁偶極子4、磁介質(zhì)中的基本方程5、不同磁介質(zhì)分界面的邊界條件6、標(biāo)量磁位7、互感和自感8、磁場能量9、虛位移法求磁場力第三章恒定電流的電場和磁場第34頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月§

3.2~§

3.3恒定磁場的基本方程

安培力的實驗定律指出：在真空中載有電流I1的回路C1上任一線元對另一載有電流I2的回路C2上任一線元的作用力為1、電流產(chǎn)生磁場的規(guī)律第35頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月電流元受的作用實際是電流元產(chǎn)生的磁場對它的作用,即電流元在電流元處產(chǎn)生的磁場為上式就是熟知的畢——薩定律第36頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月對于整個線電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為若電流是具有體分布的電流，則為若電流是具有面分布的電流，則為疊加原理積分公式積分公式第37頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

磁感應(yīng)強(qiáng)度可用一系列有向曲線來表示。曲線上某點(diǎn)的切線方向為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的方向，這些曲線稱為磁感線（磁力線）。磁場線的矢量方程為

2、磁場的幾何描述——磁感線第38頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月3、恒定磁場的基本方程

1）磁通連續(xù)性原理（磁場的高斯定理）以線電流的磁場為例，求一閉合曲面的磁通量第39頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月故上式可寫為

由矢量恒定式

第40頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月磁通連續(xù)性原理（磁場的高斯定理）由于上式中積分區(qū)域V是任意的，所以對空間的各點(diǎn)，有

上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感應(yīng)強(qiáng)度是一個無源(指散度源)場。第41頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月2）安培環(huán)路定理其中的電流I為穿過以閉合曲線C為邊界的曲面上電流的代數(shù)和，即電流與閉合曲線相交鏈。第42頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月因上式的積分區(qū)域S是任意的，因而有

上式是安培環(huán)路定理的微分形式，它說明磁場的渦旋源是電流。第43頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月真空中恒定磁場的基本方程

微分形式積分形式第44頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月1、定義§

3.4矢量磁位

定義：

為矢量磁位(簡稱磁矢位)，其單位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韋伯/米)。矢量磁位是一個輔助量。

某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度B等于該點(diǎn)矢量磁位

A的旋度。第45頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于矢量磁位說明：1）對于磁矢位散度的規(guī)定因為僅僅規(guī)定了磁矢位的旋度，由亥姆霍茲定理知：還必須規(guī)定其散度，否則不唯一，如：、具有相同的旋度，說明不唯一，應(yīng)規(guī)定其散度。若有一矢量滿足，另一矢量（是一個任意標(biāo)量函數(shù)），和是兩個不同的矢量函數(shù)。第46頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)定2）磁通的計算可通過矢量磁位計算（庫侖規(guī)定）C是曲面S的邊界線。第47頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月使用矢量恒等式

2、矢量磁位方程由關(guān)于散度的規(guī)定第48頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月磁矢位的泊松方程對于無電流分布的區(qū)域()，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程關(guān)于磁場的求解問題，可歸結(jié)為求解磁矢位的泊松方程或拉普拉斯方程的邊界問題第49頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月其分量方程為每一個分量方程都是一個二階的偏微分方程。對于球坐標(biāo)和圓柱坐標(biāo)，其表達(dá)式不是這樣簡單。在直角坐標(biāo)系中第50頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于磁矢位積分表達(dá)式與靜電場的電位方程比較，可得在直角坐標(biāo)系中對于（體）電流分布，關(guān)于磁矢位的積分表達(dá)式第51頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月將其寫成矢量形式為

若磁場由面電流JS產(chǎn)生，其磁矢位為線電流產(chǎn)生的磁矢位為

第52頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

例1

求長度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位。解:用矢量磁位的疊加計算取一電流元，在場點(diǎn)的矢量磁位為第53頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)l>>z時有

若考慮l>>r,即是無限長的載流導(dǎo)線，則有

第54頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時，一般應(yīng)指定一個磁矢位的參考點(diǎn)，可以使磁矢位不為無窮大。若指定r=r0處為磁矢位的零點(diǎn)時，有第55頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月對上式，用圓柱坐標(biāo)的旋度公式，可求出第56頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2

求一對載相同電流、但流向相反的的載流直導(dǎo)線的磁場。解:第57頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月在圓柱坐標(biāo)中第59頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月例3

用磁矢位重新計算半徑為a、載流為I的長直圓柱導(dǎo)線的磁場。

解：

r≤a

r>a

從電流分布可以知道磁矢位僅有z分量，而且它只是坐標(biāo)r的函數(shù)，即

設(shè)在導(dǎo)線內(nèi)磁位是,導(dǎo)線外磁位是

r≤a

第60頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月r>a

因為，A1必須有限，有C1=0（r>a）

（

r≤a

）第61頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月可求出導(dǎo)線內(nèi)、外的磁場分別為

導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為常數(shù)C3的確定可根據(jù)在圓柱面上的邊界條件計算為第62頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.5磁偶極子載流為I、半徑為a的圓電流位于xy平面，有，可將圓電流稱為磁偶極子，常用磁矩描述它求磁偶極子產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)磁場第63頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月利用矢量磁位的積分公式求解利用矢量公式第64頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月因為求的是磁偶極子產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)磁場，，故有因為上式積分是對圓面積進(jìn)行的，即積分與r無關(guān)，且第65頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月第66頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量磁位位于平行xy平面內(nèi)，將其在球坐標(biāo)中表示，則知僅有分量存在第67頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月磁偶極子產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)磁場與電偶極子產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)電場比較其場在空間的分布相同第69頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

位于外磁場中的磁偶極子，會受到外磁場的作用力及其力矩，其作用力和力矩的公式分別為第70頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月§

3.6磁介質(zhì)中的場方程1）磁化強(qiáng)度定義

式中是體積元ΔV內(nèi)的任一分子磁矩。如在磁化介質(zhì)中的體積元ΔV內(nèi)，每一個分子磁矩的大小和方向全相同(都為)，單位體積內(nèi)分子數(shù)是N，則磁化強(qiáng)度為1、介質(zhì)的磁化第71頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月2）磁化電流設(shè)磁化介質(zhì)的體積為V，表面積是S，磁化強(qiáng)度，計算在介質(zhì)外部任一點(diǎn)的矢量磁位。取體積元dV′，將其中的介質(zhì)當(dāng)成一磁偶極子，其磁矩為

，它在處產(chǎn)生的磁位是第72頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月全部磁介質(zhì)在處產(chǎn)生的磁矢位為

將上式改寫為

第73頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月利用矢量恒等式

將磁矢位的表示式變形為磁化（體）電流密度磁化（面）電流密度左為磁化電流示意圖。磁介質(zhì)磁化后將有磁化電流存在，它是由磁介質(zhì)內(nèi)分子電流的有序取向形成的。磁化電流也要產(chǎn)生磁場，從而影響原外磁場。第74頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月2、磁場強(qiáng)度

在外磁場的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流，磁化電流和外傳導(dǎo)電流都產(chǎn)生磁場，應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修改為：令磁場強(qiáng)度，單位是A/m(安培/米)

第75頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于安培環(huán)路定律與之相應(yīng)的微分形式是

為自由電流密度3、磁導(dǎo)率對于線性的均勻磁介質(zhì)，有關(guān)系為

式中是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率，順磁介質(zhì)的，抗磁介質(zhì)的，且這兩類介質(zhì)的

量級。第76頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月式中是介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率，是一個無量綱數(shù)。而

，是介質(zhì)的磁導(dǎo)率，單位和真空磁導(dǎo)率相同，為H/m(亨/米)。鐵磁材料的和的關(guān)系是非線性的，且不是的單值函數(shù)，會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率的變化范圍很大，可以達(dá)到106量級。第77頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

磁導(dǎo)率為無限大的媒質(zhì)稱為理想導(dǎo)磁體。在理想導(dǎo)磁體中不可能存在磁場強(qiáng)度，因為由式可見，將有無限大的磁感應(yīng)強(qiáng)度。產(chǎn)生無限大的磁感應(yīng)強(qiáng)度需要無限大的電流，因而需要無限大的能量，顯然這是不可能的。

邊界上磁場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，因此，在理想導(dǎo)磁體表面上不可能存在磁場強(qiáng)度的切向分量，即磁場強(qiáng)度必須垂直于理想導(dǎo)磁體表面。H第78頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月例、在具有氣隙的環(huán)形磁芯上緊密繞制N匝線圈，如圖示。當(dāng)線圈中的恒定電流為I時，若忽略散逸在線圈外的漏磁通，試求磁芯及氣隙中的磁感應(yīng)強(qiáng)度及磁場強(qiáng)度。

解

忽略漏磁通，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向沿環(huán)形圓周。由邊界條件知，氣隙中磁感應(yīng)強(qiáng)度Bg等于磁芯中的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bf，即

圍繞半徑為r0的圓周，利用媒質(zhì)中的安培環(huán)路定律，且考慮到r0>>a，可以認(rèn)為線圈中磁場均勻分布，則由安培環(huán)路定理有第79頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月氣隙中的磁場強(qiáng)度Hg

為磁芯中的磁場強(qiáng)度Hf

為第80頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月4、磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程微分形式

積分形式：

各向同性的均勻磁介質(zhì)對于均勻介質(zhì)(為常數(shù))，滿足矢量泊松方程

第81頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

例半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱(如圖所示)，磁化強(qiáng)度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。

解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。第82頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月在界面z=0上，

在界面z=L上，在界面r=a上，第83頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月§

3.5磁場的邊界條件

1、法向分量邊界條件

第84頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件為由有第85頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

2、切向分量邊界條件

第86頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月因為h→0，如果分界面的薄層內(nèi)有自由電流，則為面電流，在回路所圍的面積上

第87頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月如果分界面處沒有自由面電流，則

即第88頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

若兩種介質(zhì)分界面不存在電流，則在分界面處的邊界條件為相應(yīng)的標(biāo)量形式為

分界面處的折射定理

第89頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月折射定理表明，磁力線在分界面上通常要改變方向。若介質(zhì)1為鐵磁材料，介質(zhì)2為空氣，此時μ2

?μ1,有θ2?

θ1，及B2

?B1

假如μ1=1000μ0,μ2=μ0，在這種情況下，當(dāng)θ=87°時，θ2=1.09°，B2/B1=0.052。由此可見，鐵磁材料內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度遠(yuǎn)大于外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度，同時外部的磁力線幾乎與鐵磁材料表面垂直。第90頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.8標(biāo)量磁位

由恒定磁場的基本方程，在無自由電流(J=0)的區(qū)域里有

稱為磁場的標(biāo)量磁位（磁標(biāo)位)，單位為A(安培)。磁場強(qiáng)度是無旋的，磁場強(qiáng)度可表為一個標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度上式中的負(fù)號是為了與靜電位對應(yīng)而人為加入的。標(biāo)量磁位不具有磁場力作功的含義。關(guān)于解決標(biāo)量磁位的多值問題。1、標(biāo)量磁位的定義第91頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月1）、在均勻磁介質(zhì)中2、標(biāo)量磁位滿足的方程在均勻磁介質(zhì)中，若所研究的區(qū)域內(nèi)無傳導(dǎo)電流存在，穩(wěn)恒磁場的求解問題可歸結(jié)為求解標(biāo)量磁位的拉普拉斯方程的邊值問題。第92頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

用微分方程求磁標(biāo)位時，也同靜電位一樣，是求拉普拉斯方程的解。分界面處的邊界條件用磁標(biāo)位表示時，為

磁標(biāo)位在求解永磁體的磁場問題時比較方便(因其內(nèi)無傳導(dǎo)電流)。永磁體的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于空氣的磁導(dǎo)率，因而永磁體表面是一個等位(磁標(biāo)位)面，這時可以用靜電比擬法來計算永磁體的磁場。

第93頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

對于非均勻介質(zhì)，在無源區(qū)(J=0)令，稱其為“磁荷”2）、非均勻磁介質(zhì)引入磁荷的概念后，磁標(biāo)位滿足泊松方程，即第94頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月§

3.9互感和自感

在線性磁介質(zhì)中，任一回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路電流成正比，因而穿過任意的固定回路的磁通量Φ是與電流成正比。如果回路由細(xì)導(dǎo)線繞成N匝，則總磁通量是各匝的磁通之和。稱總磁通為磁鏈，用Ψ表示。對于密繞線圈，可近似認(rèn)為各匝的磁通相等，有Ψ=NΦ。第95頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

一個回路的自感定義為回路的磁鏈與回路電流之比，即自感的單位是H(亨利)。自感的大小僅決定于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率。自感與回路是否載流無關(guān)。1、自感L第96頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣，載流回路C2的磁場在回路C1上產(chǎn)生的磁鏈Ψ12與電流I2的比來定義互感M122、互感M兩相鄰回路，載流回路C1的磁場在回路C2上產(chǎn)生的磁鏈Ψ21與電流I1的比來定義互感M21第97頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月互感的單位與自感相同?？梢宰C明：M12=M21=M?；ジ械拇笮H取決于回路的尺寸、形狀、介質(zhì)的磁導(dǎo)率、回路的匝數(shù)以及相互位置?；ジ信c回路是否載流無關(guān)。第98頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：設(shè)兩個回路均只有一匝。當(dāng)回路C1載有電流I1時，C2上的磁鏈為

以兩線形回路為例（當(dāng)導(dǎo)線的直徑遠(yuǎn)小于回路的尺寸，且也遠(yuǎn)小于兩個回路之間的相互距離時，兩回路都可以用軸線的幾何回路代替，即線形回路），證明M12=M21=M。同理，可得第99頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月因為以上兩積分式與計算次序無關(guān)，得諾伊曼公式第100頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月例、

求無限長平行雙導(dǎo)線(如圖所示)單位長外自感。解：設(shè)導(dǎo)線中電流為I，由無限長導(dǎo)線的磁場公式，兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為第101頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月磁場的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為單位長外自感為第102頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.10磁場能量

對磁場能量，有兩種觀點(diǎn)：載流系統(tǒng)具有的磁能；磁能存在于磁場所在的空間，即磁場具有磁能。本節(jié)的目的要建立磁場能量表達(dá)式。

1、載流系統(tǒng)具有的磁能

載流系統(tǒng)具有的磁能來自在建立電流系統(tǒng)的過程中，外源反抗電路中的感應(yīng)電動勢所作的功。

先以兩個分別載流和的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁場能量為例計算。第103頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月1）計算兩個分別載流I1和I2的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁能假定回路的形狀、相對位置不變，同時忽略焦耳熱損耗。在電流建立的過程中，t時刻兩回路的電流分別為i1(t)和i2(t)，t=0時i1=0、i2=0，電流建立后i1=I1、

i2=I2。在這一過程中，電源反抗電路中的感應(yīng)電動勢所作的功轉(zhuǎn)變成磁場能量。首先求僅出回路1中的電流i1從零增加到I1時，電源作的功A1；再計算當(dāng)回路1中的電流I1不變時，回路2中的電流從零增加到I2時電源作的功A2。在這一過程中，電源對整個回路系統(tǒng)作的總功A=A1+A2。第104頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)回路1中的電流i1在dt時間內(nèi)有一個增量di1,周圍空間的磁場將發(fā)生改變，回路1的磁通有增量dΨ11，在回路1中要產(chǎn)生自感電勢自感電勢的方向總是阻止電流增加。因而，為使回路1中的電流得到增量,外電源必須反抗回路1中的自感電勢作功，在dt時間里，電源作功為當(dāng)回路1的電流從零到I1的過程中，電源作功為第105頁，課件共115頁，創(chuàng)作于2023年2月

計算當(dāng)回路1的電流I1保持不變時，使回路2的電流從