線性代數(shù)課件4 3向量組秩_第1頁
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文檔簡介

n4.3

a=1,a=1,a=2 2

2a1+0a2-a3=定義.Ta1a2ar滿足a1a2arTr1個向量都線性相關(guān)r向量組T的秩.約定:只含零向量的向量組的秩為0.

T:a=1,a=1,a=2. 2

即選取了所有向量線性相關(guān)1a3a1a2是向量組T的最大無關(guān)組T同理a2a3T的最大無關(guān)組最大無關(guān)組一般不惟一最大無關(guān)組一般不惟一秩是惟一的問題:如何計算一般向量組的最大無關(guān)組和秩 a1,a2,a3是T的最大無關(guān)秩T=秩T=3 T的最大無關(guān)組中有3個向量:a1,a2若向量組線性無關(guān)則1)最大無關(guān)組是其自身(2)秩=向量個數(shù)向量組的(<)向量組所含向量數(shù) 4例3.求行簡化階梯型矩陣A=

3的秩0 R(A)=行簡化階梯形的非零行數(shù)=2.1,2,0,4, 0,0,1,3, =0,0,0,0)任意3個行向量或含重復(fù)向量或含零向量,顯然a1,a2線性無關(guān)

a1a2A 4例3.求A= 3的秩,行秩和列秩 0 1

2

0

4

=0,

=0,

=1,

=3234 2340 0 0 0 A的任意3列￡R=A3顯然b1b2b1b2是A列組的一個最大無關(guān)組A問題:對一般的矩陣,秩=列秩=行秩設(shè) 有限次初等行變換fi 1￡k￡ 有限次初等行變換fi AkX=與BkX=同解

AkX=0有非零 BkX=0有非零 有限次初等行變換fi ,

的列秩=k 的列秩=k 定理2.任一矩陣的秩行秩和列秩相等證:設(shè)R(A)= 行變 fi

1 1 0c 0d 1eO Ar+1列所成子矩陣的秩￡RAr1 A的列秩=B的列秩=R(B) =R(A)=rA的行秩=AT的列秩=R(AT)=R(A)=例4.A

91211424

初等行變換不改變列組的秩最大無關(guān)組,B的列向量組即可解:解:A=11124fi

fi

43=

4 9

0

顯然,b1=e1, =-b1-b2,b5=4b1+

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