數值分析第一章

數值分析第一章第1頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.認識建立算法和對每個算法進行理論分析是基本任務，主動適應“公式多”的特點；

2.注重各章建立算法的問題的提法，搞清問題的基本提法，逐步深入；

3.理解每個算法建立的數學背景，數學原理和基本線索，對最基本的算法要非常熟悉；

4.認真進行數值計算的訓練，學習各章算法完全是為用于實際計算，必須真會算。如何進行學習？第2頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月數值分析簡史1955周恩來領導10年科技規(guī)劃，提出發(fā)展幾個新技術，包括計算技術（計算機，程序設計，計算數學），半導體技術，自動化技術。1956成立計算技術研究所籌備處，主任華羅庚，手下有兩個組（計算機與計算數學）。在其領導下于數學所成立計算方法討論班。1958計算所成立，帶半軍事性質，并且與蘇聯合作在中科院計算研究所造出104機。北大，吉大，復旦，南大相繼成立計算數學專業(yè)。57－59年吉大聘請?zhí)K聯梅索夫斯基開辦講義班，其中參與者有李榮華，馮果忱，李岳生，李慶揚，蔣爾雄，康立山，徐翠薇等。第3頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月數值分析簡史1977年開始寫國內的教材李榮華，馮果忱《微分方程數值解》李岳生等《數值逼近論》曹志浩等《數值代數》和《矩陣計算與方程求根》這三門課程為1984年在國內幾所重點大學開設的“計算數學及其應用軟件"專業(yè)主干課程。第4頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月信息與計算科學簡史1958年計算數學專業(yè)1984年“計算數學及其應用軟件”

加強計算機課程的分量1998年“信息與計算科學”

加強信息課程的分量

第5頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月數值分析又稱計算方法或數值計算方法，是一門與計算機應用密切結合的實用性很強的數學課程，它研究的是各種數學問題的一類近似解法——數值方法，即從一組原始數據（如模型中的某些參數）出發(fā)，按照確定的運算規(guī)則進行有限步運算，最終獲得數學問題數值形式的滿足精度要求的近似解。1.1研究對象第6頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月通信衛(wèi)星覆蓋地球面積數學模型實際問題獲取數據數值方法、程序數據結果將地球考慮成一個球體,設R為地球半徑,h為衛(wèi)星高度,D為覆蓋面在平面的投影第7頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月

數值分析方法課程主要討論如何構造求數學模型近似解的算法，討論算法的數學原理、誤差和復雜性，配合程序設計進行計算試驗并分析試驗結果。

與純數學的理論方法不同，用數值分析所求出的結果一般不是解的精確值或者準確的解析表達式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。第8頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月實際問題數學模型數值計算方法程序設計上機計算數值結果根據數學模型提出求解的數值計算方法直到編出程序上機算出結果，這一過程便是數值分析研究的對象數值計算方法的任務第9頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月數值計算方法的主要特點借助計算機提供切實可行的數學算法.想的精確度;收斂且穩(wěn)定;誤差可以分析或估計.所提出的算法必須具有：可靠的理論分析;理時間復雜性好__指節(jié)省時間；空間復雜性好__指節(jié)省存儲量。計算復雜性好

通過數值實驗證明算法行之有效.第10頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月采用“近似替代”方法→逼近采用“構造性”方法采用“離散化”方法

把求連續(xù)變量的問題轉化為求離散變量的問題采用“遞推化”方法

復雜的計算歸結為簡單過程的多次重復，易于用循環(huán)結構來實現（迭代法）。采用各種搜索方法構造數值算法主要手段第11頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1、數值逼近

插值與擬合、數值積分與微分2、數值代數線性代數方程組的解法、非線性代數方程（組）的解法3、微分方程數值解

ODEPDE1.2研究內容第12頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.1誤差的來源與分類從實際問題中抽象出數學模型

——模型誤差例:質量為m的物體，在重力作用下,自由下落，其下落距離s

與時間t的關系是：

其中g

為重力加速度。1.3

誤差第13頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月通過測量得到模型中參數的值

——觀測誤差求近似解——方法誤差（截斷誤差）例如，當函數用maclaurin多項式

近似代替時，數值方法的截斷誤差是與0之間。在第14頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月機器字長有限——

舍入誤差

用計算機、計算器和筆算，都只能用有限位

=3.1415926…

小數來代替無窮小數或用位數較少的小數來代替位數較多的有限小數，如：第15頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月四舍五入后……在數值計算方法中，主要研究截斷誤差和舍入誤差（包括初始數據的誤差）對計算結果的影響！第16頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.2誤差與有效數字1、絕對誤差與絕對誤差限例:若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長，大約為1.45米，求1.45米的絕對誤差。1.45米的絕對誤差=？不知道！定義：設是準確值，為

的一個近似值，稱是近似值的絕對誤差,簡稱為誤差。

第17頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月但實際問題往往可以估計出不超過某個正數，即則稱為絕對誤差限，有了絕對誤差限就可以知道的范圍為即落在內。在應用上，常常采用下列寫法來刻劃的精度。第18頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例1設x==3.1415926…近似值x*=3.14,它的絕對誤差是0.0015926…，有 ??x-x*=0.0015926…0.002=0.210-2例2又近似值x*

=3.1416，它的絕對誤差是0.0000074…，有x-x*=0.0000074…0.000008=0.810-5例3而近似值x*=3.1415，它的絕對誤差是0.0000926…，有x-x*=0.0000926…0.0001=0.110-3可見，絕對誤差限*不是唯一的，但*越小越好第19頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2、相對誤差與相對誤差限定義：設是準確值，是近似值，是近似值的誤差，通常取為近似值的相對誤差，記作，稱一般情況下是不知道的，怎么辦？第20頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月事實上，當較小時是的二次方項級,故可忽略不計.相應地，若正數滿足

則稱為的相對誤差限。第21頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.甲打字每100個錯一個，乙打字每1000個錯一個，求其相對誤差限解：根椐定義:甲打字時的相對誤差限

乙打字時的相對誤差限第22頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月3、有效數字定義：如果則說近似表示準確到小數后第位，并從這由上述定義第位起直到最左邊的非零數字之間的一切數字都稱為有效數字，并把有效數字的位數稱為有效位數。第23頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月定義:若近似值的誤差限是某一位的半個單位,也即，若有位有效數字。則稱其中，是1到9中的一個數字；是0到9中一個數字；為整數，且該位到的左邊第一位非零數字共有位,就說有位有效數字。第24頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月取作的近似值，就有三位有效數字；取作的近似值，就有五位有效數字。例如：x-x*=0.0015926…0.002=0.210-20.510-2前面例1前面例2x-x*=0.0000074…0.000008=0.810-50.510-4

第25頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月關于有效數字說明①用四舍五入取準確值的前n位x*作為近似值,則x*必有n位有效數字。如3.142作為的近似值有4位有效數字，而3.141為3位有效數字②有效數字相同的兩個近似數，絕對誤差不一定相同。例如，設x1*=12345,設x2*=12.345,兩者均有5位有效數字但絕對誤差不一樣x-x1*=x-12345≤0.5=1/2100

x-x2*=x-12.345≤0.0005=1/210-3③把任何數乘以10p(p=0,1,…)不影響有效位數④準確值具有無窮多位有效數字,如三角形面積S=1/2ah=0.5ah因為0.5是真值,沒有誤差*=0,因此n,準確值具有無窮位有效數字第26頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月4、誤差限與有效數字的關系

則

至少具有位有效數字。Th1：

對于用式表示的近似數，若具有位有效數字，則其相對誤差限為反之，若的相對誤差限為第27頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例5已知近似數x*有兩位有效數字，試求其相對誤差限解：已知n=2代入公式r*=1/2x110-(n-1)得r*=1/2x110-1

x*的第一位有效數字x1沒有給出，可進行如下討論：當x1=1r*=1/2x110-1=1/2*110-1=5%x1=9r*=1/2x110-1=1/2*910-1=0.56%取x1=1時相對誤差為最大，即5%第28頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例6已知近似數x*的相對誤差限為0.3%，問x*有幾位有效數字？解：由得ⅰ當x1=1時,310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1)

上式兩邊取以10為底的對數得lg22+lg3+(-3)=-n+1∵lg2=0.3010lg3=0.477120.3010+0.4771-4=-n∴n=2.9209ⅱ當x1=9時,310-3=1/2010-(n-1)610-3=10-n上式兩邊取以10為底的對數得lg2+lg3+(-3)=-n∴n=2.2219∴x*至少有3位有效數字

第29頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例7為使的近似數的相對誤差小于0.1%，問查開方表時，要取幾位有效數字？解：∵8<<9∴x1=8

∴-(n-1)<lg2+2lg3+(-3)-n<1.2552-4-n<-2.7448∴n>2.7448取n=3即查平方表時

8.37取三位有效數字

∴第30頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.3數值運算的誤差估計1、四則運算的誤差估計兩個近似數與,其誤差限分別為及,它們進行加減乘除運算得到的誤差限分別為第31頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月從而有

的相對誤差

對于近似值，函數在舍去右邊第二項得到即的絕對誤差可以得到附近按泰勒展式展開得到2、函數誤差估計當自變量有誤差時，計算函數值也會產生誤差，其誤差限可利用函數的Taylor展開式進行估計。

第32頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月對絕對誤差式兩邊取絕對值得

故的相對誤差限的誤差限而解釋：第33頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月

當為多元函數時計算,如果的近似值為,則的近似為于是函數值的誤差由Taylor展開,得：多元函數的情況第34頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月于是誤差限為而的相對誤差限為式(1)第35頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例8:已測得某場地長的值為,寬的值為,已知,.試求面積的絕對誤差限與相對誤差限.解:因

其中由式(1)得第38頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月而于是絕對誤差限為相對誤差限為第39頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月3、算法的數值穩(wěn)定性

數值計算在設計算法時首先關心的是由它產生的計算結果的穩(wěn)定性，而算法的穩(wěn)定性與舍入誤差是否增長密切相關。一個算法如果輸入數據有微小擾動（即誤差），而在計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數值穩(wěn)定的，否則稱其為數值不穩(wěn)定。

第40頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例9：求定積分的值.解：直接積分可產生遞推公式若取初值第41頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月可得遞推公式按公式就可以逐步算出Whathappened?!不穩(wěn)定的算法！這就是誤差傳播所引起的危害!

注意此公式精確成立，且第42頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由題設中的遞推公式（1）可看出，

的誤差擴大了5倍后傳給

，因而初值

的誤差對以后各步這就造成的計算結果嚴重失真。計算結果的影響，隨著

的增大愈來愈嚴重。要怎么做才能解決這個問題呢?第43頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月可求得I90.017，按改寫后的公式可逐次求得不妨設I9I10，于是由將公式變?yōu)?2)第44頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月

I80.019I70.021 I60.024I50.028 I40.034I30.043 I20.058I10.088 I00.182穩(wěn)定的算法！

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。第45頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月注：遞推公式(1)的舍入誤差以5的冪次增長進行傳播，因此是數值不穩(wěn)定的，而遞推公式(2)的舍入誤差在一定范圍內以0.2的冪次進行傳播，隨著n的增大，誤差逐步減少，因此該算法是數值穩(wěn)定的。

因此，可以看出數值不穩(wěn)定的算法是不能使用的，實際計算中對任何輸入數據都是數值穩(wěn)定的算法，稱為無條件穩(wěn)定。而對某些數據數值穩(wěn)定，對其它數據數值不穩(wěn)定的算法，稱為條件穩(wěn)定。第46頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月病態(tài)問題和條件數

如果問題的輸入數據有微小擾動，就會引起輸出結果數據（即解）的很大擾動，稱這樣的問題為病態(tài)問題。相反的情形稱為良態(tài)問題。對于病態(tài)的數學問題，用通常的算法求數值解都是不穩(wěn)定的。病態(tài)和良態(tài)是相對的，沒有嚴格的界限，通常用條件數大小來衡量問題的病態(tài)程度，條件數越大病態(tài)可能越嚴重。條件數c(x)越大，f(x)的相對誤差越大，通常認為時，問題是病態(tài)的。第47頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.4數值計算中應該注意的一些原則1.要選擇數值穩(wěn)定的計算公式

定義一種數值方法，若原始數據有誤差，而在計算的過程中，由于舍入誤差的傳播，使得近似計算結果與準確值相差很大，則稱這種數值方法是不穩(wěn)定的。否則，在計算的過程中，若舍入誤差得到控制，近似計算結果能逼近準確值，則稱這種數值方法是穩(wěn)定的。第48頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月，試問用遞推公式例10給定采用正向遞推和逆向遞推求的值是否穩(wěn)定？解設的近似值為則有從而有

對上式兩邊求絕對值得按給定的遞推公式采用正向遞推計算的值是不穩(wěn)定的。第49頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2.要避免兩個相近的數相減在數值計算中，兩個相近的數作減法時有效數字會損失。例11:求當x=1000，y的準確值為0.01580

的值。第50頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地

(2)若將原式改寫為則y=0.01581(1)直接相減有3位有效數字！只有1位有效數字