拉氏反變換補(bǔ)充

拉氏反變換補(bǔ)充課件1第1頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月鑒于工程上常常需要處理在t=0處不連續(xù)的函數(shù)甚至具有更復(fù)雜性質(zhì)的函數(shù)，控制理論中常常把拉氏變換的定義修改成對于在t=0處連續(xù)，即滿足f(0+)=f(0-)的函數(shù)來說，這樣定義與常規(guī)定義并無區(qū)別。而采用修改后的定義可以使微分方程的求解過程大大地簡化。今后，我們將采用修改后的拉氏變換定義。2第2頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)習(xí)2常用信號的拉氏變換

控制系統(tǒng)分析中常常需要采用一些典型的時域輸入信號，我們來求它們的拉氏變換。1、單位脈沖信號且

理想單位脈沖信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式為拉氏變換為3第3頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

說明：

單位脈沖函數(shù)可以通過極限方法得到。設(shè)單個方波脈沖如圖所示。

脈沖的寬度為a，高度為1/a，面積為1。當(dāng)保持面積不變，寬度a--->0,高度1/a--->∞，則單個方波脈沖演變成理想的單位脈沖。f(t)1/aa0t(t)t04第4頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

2、單位階躍信號f(t)10t顯然,有拉氏變換為簡寫為單位階躍信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式為5第5頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

3、單位斜坡信號簡寫為0f(t)t單位階躍信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式為利用分部積分公式,可求得拉氏變換為6第6頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月4、指數(shù)信號tf(t)10

指數(shù)信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式為拉氏變換為7第7頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月5、正弦、余弦信號

正弦、余弦信號的拉氏變換可以利用指數(shù)信號的拉氏變換求得。由復(fù)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換，有因?yàn)橛蓺W拉公式8第8頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月分別取上式的實(shí)部和虛部，可得正弦信號的拉氏變換為有余弦信號的拉氏變換為9第9頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月常見的時域信號的拉氏變換見附錄I(P639)。10第10頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)習(xí)3拉氏變換的一些基本定理1、線性定理則

若11第11頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月2、延遲定理則信號f(t)與它在時間軸上的平移信號f(t-T)的關(guān)系示意圖ttf(t)f(t-)00

若

該定理說明，在時間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有對應(yīng)的衰減變換。12第12頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

求如圖所示周期鋸齒波信號的拉氏變換。解：f(t)t0T該信號為周期信號。若已知信號第一周期的拉氏變換為F1(s)，則應(yīng)用延遲定理，有13第13頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月鋸齒波信號第一周期的拉氏變換為所以，周期鋸齒波信號的拉氏變換為14第14頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月3、衰減定理則若

該定理說明，時間信號f(t)在時間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在復(fù)數(shù)域有對應(yīng)的坐標(biāo)平移。15第15頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月解：因?yàn)樗?/p>

試求時間函數(shù)的拉氏變換。16第16頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月4、微分定理且f(t)的各階導(dǎo)數(shù)存在，則f(t)各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為……

若17第17頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月則……當(dāng)所有的初值均為零時，即18第18頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月5、積分定理

積分定理與微分定理互為逆定理。則

若19第19頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月6、初值定理即時域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。且f(0+)存在，則

若20第20頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

7、終值定理且f(∞)存在，則若即時域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。21第21頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月8、卷積定理時域函數(shù)的卷積分為則若22第22頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

為何要將時域函數(shù)f(t)轉(zhuǎn)換成復(fù)變函數(shù)F(s)？－－時域中超越函數(shù)在變換域中是有理函數(shù)。－－可以簡化計算，如卷積分轉(zhuǎn)變成相乘運(yùn)算。

兩個優(yōu)點(diǎn)：23第23頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)習(xí)4拉氏反變換將復(fù)變函數(shù)F(s)變換為原時域函數(shù)f(t)的運(yùn)算是拉氏變換的逆運(yùn)算，稱為拉氏反變換，公式為這是復(fù)變函數(shù)的積分，計算復(fù)雜，極少采用。常用方法----部分分式法。理由：工程中常見的時域信號f(t)的拉氏變換F(s)都是s的有理函數(shù)。因此，可以將F(s)分解成一系有理分式Fi(s)之和，再利用拉氏變換表求出所有的fi(t)=L-1[Fi(s)]，即可合成時域函數(shù)f(t)(根據(jù)拉氏變換的線性變換定理)。24第24頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

過程：其中，B(s)----分子多項(xiàng)式；

A(s)----分母多項(xiàng)式；

a0,a1,…an-1;b0,b1,…bm----常系數(shù)，n≥m。設(shè)拉氏變換F(s)為s的有理分式，即

求出分母多項(xiàng)式對應(yīng)A(s)=0的根si(i=1,2,…n）（稱之為極點(diǎn)）。于是，有25第25頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月從而可得拉氏反變換為26第26頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

計算情況：

（1）A(s)＝0全部為單根為復(fù)變函數(shù)F(s)對于極點(diǎn)s=si的留數(shù)。拉氏反變換為其中F(s)可分解成27第27頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解成其中于是28第28頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)A(s)=0有重根其中，與單根s1相對應(yīng)的系數(shù)C1求法同前;與重根s2相對應(yīng)的各項(xiàng)系數(shù)計算公式如下……

以只有一個單根為例，即s1為單根，s2為(n-1)重根，則F(s)可分解為29第29頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)樗?，拉氏反變換為30第30頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解為解得31第31頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月于是，有從而32第32頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)A(s)=0有共軛復(fù)數(shù)根當(dāng)存在共軛復(fù)數(shù)根時，可以將共軛復(fù)數(shù)根當(dāng)作單根(互不相同)來看待。但分解計算時，涉及到復(fù)數(shù)運(yùn)算，太繁瑣，可以利用如下變換對來簡化計算。33第33頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解為而于是，有34第34頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)習(xí)5拉氏變換法求解微分方程

列出控制系統(tǒng)的微分方程之后，就可以求解該微分方程，利用微分方程的解來分析系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律。微分方程可以采用數(shù)學(xué)分析的方法來求解，也可以采用拉氏變換法來求解。采用拉氏變換法求解微分方程是帶初值進(jìn)行運(yùn)算的，許多情況下應(yīng)用更為方便。拉氏變換法求解微分方程步驟如下：

（1）方程兩邊作拉氏變換。（2）將給定的初始條件與輸入信號代入方程。

（3）寫出輸出量的拉氏變換。

（4）作拉氏反變換求出系統(tǒng)輸出的時間解。35第35頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月RC濾波電路如圖所示，輸入電壓ui(t)=5V，試求：當(dāng)電容初始電壓uc(0)分別為0V和1V時的時間解uc(t)。解：RC電路的微分方程為R=10kui=5VucC=10方程兩邊作拉氏變換由拉氏變換的線性定理，有36第36頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月由拉氏變換的微分定理，得將R=10k,C=10,Ui(s)=5/s代入，整理得于是，輸出的拉氏變換為37第37頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

（1）uc(0)=0V時

（2）uc(0