初中數(shù)學(xué)九大幾何模型

初中數(shù)學(xué)九大幾何模型手拉手模型----旋轉(zhuǎn)型全等等邊三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等邊三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED等腰直角三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等腰直角三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等腰三角形；且∠COD=∠AOB【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED模型二：手拉手模型----旋轉(zhuǎn)型相似一般情況【條件】：CD∥AB，將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長AC交BD于點(diǎn)E，必有∠BEC=∠BOA特殊情況【條件】：CD∥AB，∠AOB=90°將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長AC交BD于點(diǎn)E，必有∠BEC=∠BOA；③tan∠OCD；④BD⊥AC；⑤連接AD、BC，必有；⑥模型三、對(duì)角互補(bǔ)模型全等型-90°【條件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③證明提示：①作垂直，如圖2，證明△CDM≌△CEN②過點(diǎn)C作CF⊥OC，如圖3，證明△ODC≌△FEC※當(dāng)∠DCE的一邊交AO的延長線于D時(shí)（如圖4）：以上三個(gè)結(jié)論：①CD=CE；②OE-OD=OC；③角含半角模型90°---3【條件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【結(jié)論】：（如圖1）若∠DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外部時(shí)，結(jié)論仍然成立（如圖2）角含半角模型90°變形【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：△AHE為等腰直角三角形；證明：連接AC（方法不唯一）∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴∴△AHE∽△ADC，∴△AHE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型倍長中線類模型---1【條件】：①矩形ABCD；②BD=BE；③DF=EF；【結(jié)論】：AF⊥CF模型提?。孩儆衅叫芯€AD∥BE；②平行線間線段有中點(diǎn)DF=EF；可以構(gòu)造“8”字全等△ADF≌△HEF。倍長中線類模型---2【條件】：①平行四邊形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【結(jié)論】：∠EMD=3∠MEA輔助線：有平行AB∥CD，有中點(diǎn)AM=DM，延長EM，構(gòu)造△AME≌△DMF，連接CM構(gòu)造等腰△EMC，等腰△MCF。（通過構(gòu)造8字全等線段數(shù)量及位置關(guān)系，角的大小轉(zhuǎn)化）模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型---倍長中線法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF輔助線：延長DF到點(diǎn)G，使FG=DF，連接CG、BG、BD，證明△BDG為等腰直角三角形；突破點(diǎn)：△ABD≌△CBG；難點(diǎn)：證明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型---補(bǔ)全法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF輔助線：構(gòu)造等腰直角△AEG、△AHC；輔助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)化到CG與EF。任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型---補(bǔ)全法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO輔助線：延長BA到G，使AG=AB，延長CD到點(diǎn)H使DH=CD，補(bǔ)全△OGB、△OCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型。轉(zhuǎn)化AE與DE到CG與BH，難點(diǎn)在轉(zhuǎn)化∠AED。任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型---倍長法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO輔助線：延長DE至M，使ME=DE，將結(jié)論的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為證明△AMD∽△ABO，此為難點(diǎn)，將△AMD∽△ABC繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明△ABM∽△AOD，使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點(diǎn)在證明∠ABM=∠AOD模型七：最短路程模型最短路程模型一（將軍飲馬類）總結(jié)：右四圖為常見的軸對(duì)稱類最短路程問題，最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點(diǎn)之間，線段最短：解決；特點(diǎn)：①動(dòng)點(diǎn)在直線上；②起點(diǎn)，終點(diǎn)固定最短路程模型二（點(diǎn)到直線類1）【條件】：①OC平分∠AOB；②M為OB上一定點(diǎn)；③P為OC上一動(dòng)點(diǎn)；④Q為OB上一動(dòng)點(diǎn)；【問題】：求MP+PQ最小時(shí)，P、Q的位置？輔助線：將作Q關(guān)于OC對(duì)稱點(diǎn)Q’，轉(zhuǎn)化PQ’=PQ，過點(diǎn)M作MH⊥OA，則MP+PQ=MP+PQ’MH(垂線段最短）最短路程模型二（點(diǎn)到直線類2）【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【問題】：n為何值時(shí)，最小？求解方法：①x軸上取C(2,0),使sin∠OAC=；②過B作BD⊥AC，交y軸于點(diǎn)E，即為所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）【條件】：①線段OA=4，OB=2；②OB繞點(diǎn)O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn)；【問題】：AB的最大值，最小值分別為多少？【結(jié)論】：以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。最大值：OA+OB；最小值：OA-OB【條件】：①線段OA=4，OB=2；②以點(diǎn)O為圓心，OB，OC為半徑作圓；③點(diǎn)P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)；【結(jié)論】：若PA的最大值為10，則OC=6；若PA的最小值為1，則OC=3；若PA的最小值為2，則PC的取值范圍是0<PC<2【條件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④點(diǎn)P為BC上動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合）；⑤△OBC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：PA最大值為OA+OB=；PA的最小值為如下圖，圓的最小半徑為O到BC垂線段長。模型八：二倍角模型【條件】：在△ABC中，∠B=2∠C；輔助線：以BC的垂直平分線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接AA’、BA’、CA’、則BA=AA’=CA’(注意這個(gè)結(jié)論）此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型相似三角形模型--基本型平行類：DE∥BC；A字型8字型A字型結(jié)論：(注意對(duì)應(yīng)邊要對(duì)應(yīng)）相似三角形模型---斜交型【條件】：如右圖，∠AED=∠ACB=90°；【結(jié)論】：AE×AB=AC×AD【條件】：如右圖，∠ACE=∠ABC；【結(jié)論】：AC2=AE×AB第四個(gè)圖還存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC2=BE×BA；CE2=AE×BE；相似三角形模型---一線三等角型【條件】：（1）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；（2）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；（3）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；【結(jié)論】：①△ABC∽△CDE；②