概率論第六章

概率論第六章第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月引言在概率論中，隨機變量的概率分布通常被假定為已知的，而一切問題的解決均基于已知的分布進行的但在實際問題中，情況往往并非如此。我們所研究的隨機變量，它的分布形式未知的或完全不知道的第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月由于大量隨機現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，因而從理論上講，只要對隨機現(xiàn)象進行足夠多次觀察，被研究的隨機現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來.但一般只允許我們對隨機現(xiàn)象進行次數(shù)不多的觀察試驗，也就是說,我們獲得的只是局部觀察數(shù)據(jù).數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的數(shù)據(jù)；對所研究的對象的性質(zhì)、特點作出推斷和預(yù)測（統(tǒng)計推斷）。（大數(shù)定律）第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月它們構(gòu)成了統(tǒng)計推斷的兩種基本形式.這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計的每個分支.現(xiàn)實世界中存在著形形色色的數(shù)據(jù),分析這些數(shù)據(jù)需要多種多樣的方法.因此,數(shù)理統(tǒng)計中的方法和支持這些方法的相應(yīng)理論是相當(dāng)豐富的.概括起來可以歸納成兩大類:參數(shù)估計──根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對分布的未知參數(shù)進行估計.假設(shè)檢驗──根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對分布的未知參數(shù)進行檢驗.第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月一、總體與個體1.

總體研究對象的全體稱為總體.（試驗的全部可能觀察值）研究2000名學(xué)生的年齡

這些學(xué)生的年齡的全體就構(gòu)成一個總體

每個學(xué)生的年齡就是個體.2.

個體構(gòu)成總體的每個成員稱為個體.（每一個可能的觀察值）例§6.1隨機樣本第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月某工廠10月份生產(chǎn)的燈泡壽命所組成的總體中,個體的總數(shù)就是10月份生產(chǎn)的燈泡數(shù),這是一個有限總體;而該工廠生產(chǎn)的所有燈泡壽命所組成的總體是一個無限總體,它包括以往生產(chǎn)和今后生產(chǎn)的燈泡壽命.3.

有限總體和無限總體例如

當(dāng)有限總體包含的個體的總數(shù)很大時,可近似地將它看成是無限總體.容量：總體所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月4.

總體分布總體中的每一個個體是隨機試驗的一個觀察值因此它是某一個隨機變量X的值。總體就對應(yīng)于一個隨機變量X。X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.一般不區(qū)分總體和對應(yīng)的隨機變量，統(tǒng)稱為總體X第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例如以0表示生產(chǎn)線的產(chǎn)品為正品，以1表示次品，設(shè)出現(xiàn)次品的概率為p（常數(shù)），則總體由一些“1”和一些“0”所組成。這一總體對應(yīng)于一個具有參數(shù)為p的（0-1）分布：

的隨機變量，稱之為（0-1）分布總體，意指總體中的觀察值是（0-1）分布隨機變量的值。第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月二、樣本1.樣本的定義在實際中，總體的分布（或其中部分參數(shù)）一般是未知的?？梢酝ㄟ^從總體中抽取一部分個體，根據(jù)獲得的個體數(shù)據(jù)對總體分布作出判斷。被抽出的部分個體，稱為總體的一個樣本

抽取一個個體：對總體X進行一次觀察并記錄其結(jié)果。第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月相同條件下，對總體X進行n次重復(fù)、獨立的觀察，結(jié)果依次記為X1,X2,…,Xn，它們都是相互獨立、且與X具有相同分布的隨機變量。稱X1,X2,…,Xn為來自總體X的一個簡單隨機樣本，n為這個樣本的容量。通過n次觀察，得到一組實數(shù)x1,x2,…,xn，它們依次是隨機變量X1,X2,…,Xn的觀察值，稱為樣本值。對有限總體，采用放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機樣本。當(dāng)樣本容量n

與總體容量N

相比很小時,可將無放回抽樣近似地看作放回抽樣.(n/N<1/10)對于無限總體，因抽取一個個體不影響它的分布，所以總是用不放回抽樣。第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)X是具有分布函數(shù)F的隨機變量，若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函數(shù)F的相互獨立的隨機變量，則稱X1,X2,…,Xn為從總體X中得到的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱為樣本，其觀察值x1,x2,…,xn稱為樣本值。定義：綜上所述，給出以下定義可將樣本看成是一個隨機向量，寫成(X1,X2,…,Xn)第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理：若為X的一個樣本，則的聯(lián)合分布函數(shù)為：nXX,,1L若設(shè)X的概率密度為f，則的聯(lián)合概率密度為：2.樣本的分布第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月解練習(xí)第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月三、小結(jié)個體總體有限總體無限總體基本概念:說明1

一個總體對應(yīng)一個隨機變量X,我們將不區(qū)分總體和相應(yīng)的隨機變量,統(tǒng)稱為總體X.說明2

在實際中遇到的總體往往是有限總體,它對應(yīng)一個離散型隨機變量;當(dāng)總體中包含的個體的個數(shù)很大時,在理論上可認(rèn)為它是一個無限總體.樣本樣本值總體的分布樣本的分布第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月§6.2抽樣分布樣本是進行統(tǒng)計推斷的依據(jù)在應(yīng)用時，往往不是使用樣本本身而是針對不同的問題構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù)利用這些樣本的函數(shù)進行統(tǒng)計推斷第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月一、基本概念1.統(tǒng)計量的定義是一統(tǒng)計量。設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X的一個樣本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函數(shù)，不含任何未知參數(shù)，則稱g(X1,X2,…,Xn)若g中注：統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，它是一個隨機變量，統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。若x1,x2,…,xn是相應(yīng)于樣本X1,X2,…,Xn的樣本值,則稱g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的觀察值。第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)為來自總體的一個樣本，問下列隨機變量中那些是統(tǒng)計量思考？第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2.常用統(tǒng)計量樣本均值樣本方差反映總體均值的信息反映總體方差的信息樣本k階(原點)矩樣本k階中心矩

k=1,2,…反映總體k階矩的信息反映總體k階中心矩的信息樣本標(biāo)準(zhǔn)差第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月它們的觀察值分別為：樣本均值樣本方差樣本k階矩樣本k階中心矩樣本標(biāo)準(zhǔn)差第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月依概率收斂的序列性質(zhì)知道證由辛欽定理說明1說明2（下一章“矩估計”的理論根據(jù)）第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例從一批機器零件毛坯中隨機地抽取10件,測得其重量為(單位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199,求這組樣本值的均值、方差、二階原點矩與二階中心矩.解令則第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.經(jīng)驗分布函數(shù)(與總體分布函數(shù)F(x)相對應(yīng)的統(tǒng)計量)對于經(jīng)驗分布函數(shù)格里汶科證明了如下定理于第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月的觀察值的觀察值例：第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月其經(jīng)驗分布函數(shù)觀察值為例如：樣本值為351

344351355347第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月若X1,X2,…Xn

是來自總體N(0,1)的樣本,則稱統(tǒng)計量二.正態(tài)總體的抽樣分布（三大抽樣分布）服從自由度為n的2分布.1.2分布記為2

～2(n).分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.

總體的分布函數(shù)已知時，抽樣分布是確定的.

第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月分布的密度函數(shù)：其中伽瑪函數(shù)通過如下積分來定義：本頁內(nèi)容不做要求，了解即可第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)1(此性質(zhì)可以推廣到多個隨機變量的情形.)第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月,,分位點的值得可以通過查表求對于不同的aan分布的分位點

2c(n>40)(P386)第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月幾個常用的zα值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位點第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例：第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布.以下t分布和F分布掌握其定義就夠了，其他一般了解即可２.ｔ分布第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形關(guān)于ｔ＝０對稱;當(dāng)n充分大（大于30）時,其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的圖形.t分布的一些重要事實:(1)n>1時,t分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0;(2)n>2時,t分布的方差存在且為n/(n-2)(3)當(dāng)自由度較大(如n30)時,t分布可以用N(0,1)分布近似.第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月由分布的對稱性知(P385)第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.F分布設(shè)U～2(n1),V～2(n2),

且U,V相互獨立,服從自由度為(n1,n2)的F分布.記為F～F(n1,n2).~1.定義稱統(tǒng)計量第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月分布的分位數(shù)F第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月特別地,若X

～N(,2),有4.正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布設(shè)總體X的均值為,方差為2,X1,X2,…Xn是X的一個樣本.定理一設(shè)X1,X2,…Xn是總體N(,2)

的一個樣本，則樣本均值：第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月n取不同值時正太總體的樣本均值的分布第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

對于正態(tài)總體的樣本方差S2,有以下定理:定理二X1,X2,…Xn是總體N(,2)

的一個樣本.(1)(2)n取不同值時的分布第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有定理三第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月定理四(1)(兩總體樣本方差比的分布)分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值，則有Y1,Y2,…,是樣本第42頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月定理四(2)(兩總體樣本均值差的分布)分別是這兩個樣本的樣本均值,且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩