求異面直線(xiàn)的若干方法

球組合體的解決方略胥容華在新教材“球”這一節(jié)的相關(guān)練習(xí)、習(xí)題以及總復(fù)習(xí)題中都配有一定數(shù)量的球與其他幾何體內(nèi)接或外切的組合體問(wèn)題，在學(xué)習(xí)中要熟記一些常規(guī)結(jié)論：（1）棱長(zhǎng)為a的正方體內(nèi)接于半徑為R的球，則心3a2R，半徑為R的球內(nèi)切于棱長(zhǎng)為a的正方體，則2R=a；（2）正四面體的內(nèi)切球半徑r與外接球半徑R滿(mǎn)足R=3r，且正四面體的高h(yuǎn)=4r。并要掌握處理組合體問(wèn)題中常用到的利用軸截面轉(zhuǎn)化為平面幾何知識(shí)的轉(zhuǎn)化思想，割補(bǔ)法的使用以及利用不等式、三角等知識(shí)，求面積、體積最值的綜合應(yīng)用。下面分類(lèi)舉例說(shuō)明。一、利用軸截面轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解例1求證：球與它的內(nèi)切圓錐的體積之比等于它們相應(yīng)的表面積之比。分析：根據(jù)本題所給出的結(jié)論，應(yīng)找出球的半徑與圓錐底面圓半徑及母線(xiàn)之間的關(guān)系考慮組合體的軸截面，轉(zhuǎn)化為平面圖形尋求其關(guān)系，多用直角三角形相似。解：如圖1為球與它相切的圓錐的軸截面。設(shè)AC=R，球半徑OD=r，圓錐高VC=h，母線(xiàn)VB=l。因?yàn)镽tAV0D~Rt△VBC，ODBCVOVBrhrr所以匸hR

r~RS球S錐VODBCVOVBrhrr所以匸hR

r~RS球S錐V球V錐4r2 4r2R(Rl)R(Rl)4r3 c3 4r2 r 4r21R2hT?rTr(Ri)3VS

所以/S球。VS

錐錐二、利用三角、不等式知識(shí)解決最值問(wèn)題例2如圖2，在半徑為R的半球內(nèi)有一內(nèi)接圓柱，（1）求圓柱全面積的最大值；（2）求圓柱體積的最大值。解：（1）由對(duì)稱(chēng)性知，圓柱下底面的圓心即為球心O，AB是圓柱的一條母線(xiàn)，即為圓柱的高，設(shè)ZAOB=e(o<0<-)2則AB=Rsine，OB=Rcose，S圓柱側(cè)n?OB?AB=2nR2sine?cose,S=n?OB2=nR2?cos20,圓柱底所以S=2n R2sin0 ?cos0+2n R2 ? cos20 =-n R2sin20 +nR2 (l+cos20 ) =n圓柱全R2^；2sin(20+-)+1］。4所以當(dāng)20+ =即0= 時(shí)，圓柱全面積的最大值是兀R2(、；2+1)。4 2 8(2)V=n?OB2?AB=n?R2cos20?Rsin0=nR3sin0?cos20,圓柱設(shè)S=sina0?cos20S2=sin20?cos40=sin20 (1-sin20)(1-sin20))3一1 /2sin20+1-sin20+1-sin)3W_?(2=。即sin0=￥時(shí),圓柱體積有最大值〒兀即sin0=￥時(shí),圓柱體積有最大值〒兀R3。則當(dāng)2sin20=1-sin20評(píng)注：求面積或體積的最值，關(guān)鍵是通過(guò)其軸截面尋求數(shù)量關(guān)系和選取適當(dāng)?shù)淖宰兞拷⒂嘘P(guān)的目標(biāo)函數(shù)。本題的目標(biāo)函數(shù)均為三角函數(shù)，而求最值的方法分別運(yùn)用的是三角函數(shù)法和基本不等式法，體現(xiàn)了知識(shí)間的交匯性。三、利用割補(bǔ)思想解決問(wèn)題 _例3正三棱錐P-ABC的高為1,底面邊長(zhǎng)為2J6，棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面都外切，（1）求棱錐的全面積；（2）求球的體積。解：（1）可攻得三棱錐的全面積Sd=9U2+6\；3。全（2）設(shè)內(nèi)切球的球心為O,連OA、OB、OC、OP。則將三棱錐P-ABC分割成四個(gè)三棱錐O-ABC、三棱錐O-PAB、三棱錐O-PAC和三棱錐O-PBC。則V=V+V+V+V，P-ABCO-PABO-PBCO-PACO-ABC1 13 ~ 1所以?—（2*6）2= ?r?（S+S+S+S）o3 4 3 △ABC△PAC△PAB△PBC所以r= 2S全4L所以V=—兀G/6-2）3o球3例4一個(gè)球與正四面體的6條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為a,則這個(gè)球的體積為 o分析：本題可使用補(bǔ)形法，將正四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，由正四面體的棱長(zhǎng)為a，知正方體的棱長(zhǎng)為—a，正方體的內(nèi)切球半徑r='-a。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 4\o"CurrentDocument"4 V2所以V=兀r3= 兀a3o棱切球3 24四、新穎的客觀(guān)題例5一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過(guò)球心作一截面，下面的幾個(gè)截面中（如圖3），必

CHHAHXJ.COM定錯(cuò)誤的是（）面都接觸上，面都接觸上，分析：本題主要考查對(duì)組合體的空間想象能力，其中B為正方形內(nèi)接于圓。而在所考慮的組合體中過(guò)球心的內(nèi)接截面應(yīng)是邊長(zhǎng)之比為、廳:1的矩形，故（B）是錯(cuò)誤的。例6如圖4，在一個(gè)倒置的正三棱錐容器中，放入一個(gè)鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個(gè)）分析：本題考慮球與正三棱錐的空間相切問(wèn)題，無(wú)須進(jìn)行定量的運(yùn)算，將題目中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，從而構(gòu)造基本圖形，經(jīng)過(guò)側(cè)棱與高的截面是一個(gè)不等邊的斜三角形為B、C、D圖，其上底是正三角形是高，另兩邊分別為側(cè)棱與斜高，且側(cè)棱較長(zhǎng)，截得的圓