測量誤差基本知識

第1頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3-1觀測誤差及分類3-2衡量精度的指標(biāo)3-3算數(shù)平均值及觀測值的中誤差3-4誤差傳播定律第2頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

3-1觀測誤差及分類前面幾章講述的數(shù)據(jù)采集，要用到各種儀器(經(jīng)緯儀、水準(zhǔn)儀、測距儀），要由人進行操作，要在某種環(huán)境中工作，這些因素都會使采集到的數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，即數(shù)據(jù)中有誤差。例如：1）距離測量誤差2）角度測量誤差

3）高差測量誤差

第3頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月ABD往D返理論上：

D往=

D返

實測中：D往≠

D返1）距離測量誤差測量上一般要求:D往-D返/D≤1/K(K=2000,4000,…..),

測量成果才合格.第4頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月ABC理論上：∠A+∠B+∠C=180實測中：A+∠B+∠C≠180理論上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4=360實測中：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4≠360L2L3L4ABCDL12）角度測量誤差第5頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

理論上：hAB+hBA=0

實測中：hAB+hBA≠0P1P4P3P2h1Ah3h23）高差測量誤差Bh4

理論上：h1+h2+h3+h4=0

實測中：h1+h2+h3+h4≠0第6頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月一、觀測誤差產(chǎn)生的原因觀測條件二、觀測誤差的種類①系統(tǒng)誤差②偶然誤差③粗差三、偶然誤差的特性四、衡量精度的指標(biāo)第7頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月一、觀測誤差及其產(chǎn)生的原因真值：代表觀測值L真正大小的數(shù)值，用X表示。真誤差:

觀測值L與真值X之間的差值，用△表示。

△

=L

–X1、觀測誤差：指被觀測值(或其函數(shù))與未知量的真實值(或函數(shù)的理論值)間的差值。

觀測誤差=觀測值-真值一般用符號△表示。即：△=L觀–L理

=L-X第8頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月測量上真誤差如何得到:

△=(D往-

D返)–0

△=(A+B+C)–180△=(L1+L2+L3+L4)–360

△=(hAB+hBA)–0△=(h1+h2+

h1+h2)–0第9頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）測量儀器：儀器構(gòu)造上無法達到理論上的要求；例如水準(zhǔn)測量時,水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不水平,會對水準(zhǔn)測量結(jié)果影響等.（2）觀測者：人的感官上的局限性、操作技能、工作態(tài)度；

儀器的安置\瞄準(zhǔn)\讀數(shù)（3）外界條件：觀測時所處的外界環(huán)境，如風(fēng)力、溫度、日照、濕度、氣壓、大氣折光等。上述儀器、人和環(huán)境，總稱為觀測條件。

2、產(chǎn)生的原因-----觀測條件第10頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月觀測成果的精確度稱為“精度”。如果使用的儀器是同一個精密等級，操作人員有相同的工作經(jīng)驗和技能，工作環(huán)境的自然條件（氣溫、風(fēng)力、濕度等等）基本一致，則稱為相同的觀測條件。在相同的觀測條件下，由于測量時產(chǎn)生偶然誤差的因素大體相同，因此測量所得結(jié)果的精度也是相等的，故稱此時的測量為同精度觀測或等精度觀測。第11頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

測量誤差根據(jù)性質(zhì)不同,分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。

1.系統(tǒng)誤差：在相同觀測條件下，對某一觀測量進行多次觀測，若各觀測誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者具有一定的規(guī)律性，或為一常數(shù)，這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。例如：1）鋼尺量距，鋼尺的名義長度為30m，而鑒定后的實際長度為30.006m,測量時,每量一個整尺,就比實際長度小0.006m,這種誤差的大小與所量的直線長度成正比,而且正負(fù)號始終一致.二、誤差的種類第12頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2）定線誤差:

傳統(tǒng)的距離測量中,距離較長,需要進行分段丈量.即當(dāng)直線距離超過一個尺段時，需進行直線定線.LABLAB-SAB>0第13頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月iABSASB水準(zhǔn)管軸視準(zhǔn)軸b1bi3）水準(zhǔn)儀i角對測量高差的影響---系統(tǒng)誤差SA=SB時，△hAB=0aa1

總結(jié):系統(tǒng)誤差具有積累性,可以利用其規(guī)律性對觀測值進行改正或者采用一定的測量方法加以抵消或消弱.第14頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.偶然誤差：在相同觀測條件下，對一觀測量進行多次觀測，若各觀測誤差在大小和符號上表現(xiàn)出偶然性，即單個誤差而言，該誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量的誤差而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差就稱為偶然誤差。例如：1)距離測量D9.59.49.79.59.69.39.29.6

0.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567Δ

No第15頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.71.61.5

1591中絲讀數(shù)：15921593例如:2）讀數(shù)誤差(水準(zhǔn)測量)第16頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

總結(jié):

偶然誤差不可避免，通過多余觀測，利用數(shù)理統(tǒng)計理論處理，可以求得參數(shù)的最佳估值.例如:3）照準(zhǔn)誤差例如:4）整平誤差第17頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.粗差（錯誤）：

由于觀測條件的不好，使得觀測值中含有的誤差較大或超過了規(guī)定的數(shù)值，這種誤差就稱為粗差。

例如：往返高差相差懸殊。

通常，測量中需要進行多余觀測。應(yīng)當(dāng)剔除觀測值中的粗差，利用系統(tǒng)誤差的規(guī)律性將系統(tǒng)誤差消除或減弱到可以忽略不計，使觀測值主要含有偶然誤差，從而利用數(shù)理統(tǒng)計方法求得觀測值的最可靠值。

總結(jié)：在測量工作中，一般需要進行多余觀測，發(fā)現(xiàn)粗差，將其剔除或重測。第18頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】在相同的觀測條件下，觀測了217個三角形的全部內(nèi)角。ＡｉＢｉＣｉ三角形內(nèi)角和真誤差:△ｉ＝∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180i=1,2,3…..217

三、偶然誤差的特性第19頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

通過對大量的實驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，特別是當(dāng)觀測次數(shù)足夠多時，可以得出偶然誤差具有以下的規(guī)律性：1、在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值-----超限數(shù)為零；有限性2、絕對值較小的偶然誤差比絕對值大的出現(xiàn)的可能性要大

-----小誤差大概率：集中性

3、絕對值相等的正負(fù)偶然誤差出現(xiàn)的可能性相等

-----正負(fù)相等；對稱性

4、當(dāng)觀測次數(shù)無窮增多時，偶然誤差的算術(shù)平均值為零

----平均理論。抵償性其中第20頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

-27-24-21-18-15-12-9-6-30369121518212427(vi/n)△(vi/n)/3△每一誤差區(qū)間上方的長方形面積，代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對個數(shù)直方圖誤差分布曲線第21頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3-2

衡量精度的指標(biāo)精度指的是一組觀測值誤差分布的密集或分散的程度誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。測量上經(jīng)常采用中誤差、相對誤差和極限誤差作為衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。第22頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)σ的大小反映了一組觀測值誤差分布的密集和離散程度。稱為方差

稱為標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差）1.標(biāo)準(zhǔn)差和中誤差1）標(biāo)準(zhǔn)差第23頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2）中誤差:

標(biāo)準(zhǔn)差的一個估值。

在相同觀測條件下進行一組觀測，得出的每個觀測值都稱為同精度的觀測值。即每個觀測值的真誤差不同，但中誤差是相同的。

例：2002級的某班的3個小組，在相同觀測條件下進行四等水準(zhǔn)測量。第1個小組測得閉合差為+2mm,第2個小組測得閉合差為-6mm,第三個小組測得閉合差為0。試判斷哪一組觀測精度高？精度相同第24頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

小，精度高

大，精度低觀測條件誤差分布觀測值精度中誤差第25頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.相對誤差

中誤差和真誤差都是絕對誤差，誤差的大小與觀測量的大小無關(guān)。然而，有些量如長度，絕對誤差不能全面反映觀測精度，因為長度丈量的誤差與長度大小有關(guān)。例如，分別丈量了兩段不同長度的距離，一段為100m，另一段為200m，但中誤差皆為±0.02m。顯然不能認(rèn)為這兩段距離觀測成果的精度相同。為此，需要引入“相對誤差”的概念，以便能更客觀地反映實際測量精度。第26頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月相對誤差—中誤差絕對值與觀測量之比。用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對精度較低。例：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.03m。計算S1、S2的相對誤差。解：

K2<K1，所以距離S2精度較高。第27頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.容許誤差（極限誤差）根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：第28頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月K=1、2、3分別代入上式，可得：P(||1m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m限差是偶然誤差的限制值，用作觀測成果取舍的標(biāo)準(zhǔn)。如果觀測值的偶然誤差超過限差，則認(rèn)為該觀測值不合格，應(yīng)舍去不用。第29頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月一、算術(shù)平均值在相同的觀測條件下對某未知量進行了一組等精度觀測，其觀測值分別為l１、l２、…、ln，將這些觀測值取算術(shù)平均值，作為該量的最可靠的數(shù)值，稱為“最或是值”；3-3算術(shù)平均值及其中誤差

第30頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月觀測值的真值為X，則觀測值的真誤差為：

Δ１＝Ｘ－l1,Δ２＝Ｘ－l2,…………,Δn＝Ｘ－ln，將等式兩邊取和并除以觀測次數(shù)n,得：

驗證：根據(jù)偶然誤差的第四特性，當(dāng)觀測次數(shù)n無限增大時，式中［Δ］/n趨于零。于是有：。第31頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月觀測值的改正數(shù)：算數(shù)平均值與觀測值之差。各觀測值的改正數(shù)：

將上式兩邊求和，有:因，所以［v］=0。此式可作為改正數(shù)計算正確性的檢查。二、觀測值的改正數(shù)第32頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月改正數(shù)為

根據(jù)誤差理論的推導(dǎo)，可得白塞爾公式：

上式求得的為一次觀測值的中誤差。三、按觀測值的改正數(shù)計算中誤差第33頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月推導(dǎo)過程如下：第34頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月觀測次序觀測值改正數(shù)/（″）vv計算/（°）/（′）/（″）1365030-4162365026003365028-244365024+245365025+116365023+39合計[l]=221°02′36″[v]=0[vv]=34第37頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3-4誤差傳播定律

問題的提出：在上節(jié)討論了如何根據(jù)同精度的觀測值的真誤差來評定觀測值精度的問題。許多未知量是不能直接觀測得到的。這些未知量是觀測值的函數(shù)，那么如何根據(jù)觀測值的中誤差而去求觀測值函數(shù)的中誤差呢？第38頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

例如，在水準(zhǔn)測量中，兩點間的高差h=a-b，則h是直接觀測值a和b的函數(shù)；在三角高程測量的計算公式中，如果覘標(biāo)高v等于儀器高i，則h=ltanδ，這時，高差h就是觀測值l和δ的函數(shù)，等等。本節(jié)所要討論的就是在觀測值中誤差為已知的情況下，如何求觀測值函數(shù)中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。第39頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1、倍數(shù)的函數(shù)

設(shè)有函數(shù)z=kxz:觀測值的函數(shù)，x為觀測值，k為常數(shù)(1)真誤差的關(guān)系式為：若對x觀測了n次則：(2)將上式平方得：(3)求和，并除以n(4)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式結(jié)論：觀測值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘以常數(shù)。第40頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】在1：500的地形圖上測量兩點間的距離，圖上的距離d＝42.3mm，在地形圖上量距誤差md＝±0.2mm，求實地距離及mD。解：第41頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2、和或差的函數(shù)

設(shè)有函數(shù)z=x±yz:觀測值的函數(shù)，x、y為獨立觀測值(1)真誤差的關(guān)系式為：若對x、y觀測了n次則：(2)將上式平方得：(3)求和，并除以n(4)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式結(jié)論：兩觀測值代數(shù)和的中誤差，等于兩觀測值中誤差的平方和。由于x,y為獨立觀測值，因此n趨近無窮時，[ΔxΔy]/n=0第42頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月水準(zhǔn)測量中觀測高差的中誤差，與距離S的平方根成正比。水準(zhǔn)測量中觀測高差的中誤差，與測站數(shù)n的平方根成正比。第43頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3、線性函數(shù)

應(yīng)用倍數(shù)函數(shù)、和差函數(shù)的誤差傳播定律可得第44頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】

設(shè)有線性函數(shù)式中，x1、x2、x3、為不等精度觀測，其中誤差分別為m1=±3mm、m2=±2mm、m3=±1mm。試求Z的中誤差。解：得mZ=±0.8mm第45頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月4、一般函數(shù)（非線性函數(shù)）

設(shè)有函數(shù)z=f(