2021年福建省南平市南山中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析

2021年福建省南平市南山中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知對稱軸為坐標軸的雙曲線有一條漸近線平行于直線x＋2y－3＝0，則該雙曲線的離心率為（

）A.5或

B.或 C.或

D.5或參考答案：B2.已知回歸直線的斜率的估計值為，樣本點的中心為，則回歸直線方程為A. B.C. D.

參考答案：C略3.設(1＋x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a0，a1，a2，…，a8中奇數(shù)的個數(shù)為()A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：A試題分析：a0＝＝1，a1＝＝8，a2＝＝28，a3＝＝56，a4＝＝70，…，a8＝＝1.考點：二項式定理4.已知是空間的一個基底，是空間的另一個基底．若向量在基底下的坐標為（3，5，7），則在基底下的坐標是（）A．（4，﹣2，7） B．（4，﹣1，7） C．（3，﹣1，7） D．（3，﹣2，7）參考答案：B【考點】空間向量的基本定理及其意義．【分析】=3+5+7=4（+）﹣（﹣）+7，根據(jù)坐標定義可得結論．【解答】解：由題意，=3+5+7=4（+）﹣（﹣）+7∴在基底下的坐標為（4，﹣1，7）．故選：B．【點評】考查基底的概念，空間向量坐標的概念，以空間向量基本定理．5.不等式的解集為A. B.

C.

D.參考答案：C略6.已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓的（）焦點與頂點，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：D7.在平面直角坐標系中，若不等式組表示的平面區(qū)域的面積為1，則實數(shù)t的值為(

) A．0 B．1 C．3 D．﹣1參考答案：B考點：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．專題：不等式的解法及應用．分析：利用二元一次不等式組的定義作出對應的圖象，找出對應的平面區(qū)域，利用面積是9，可以求出a的數(shù)值．解答： 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域，則t＜2，由，解得，即B（2﹣t，t），由，解得，即A（t﹣2，t），則|AB|=2﹣t﹣（t﹣2）=2（2﹣t），C到直線AB的距離d=2﹣t，則△的面積S=2（2﹣t）（2﹣t）=1，即（2﹣t）2=1，即2﹣t=1，解得t=1，故選：B點評：本題主要考查三角形面積的計算，根據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域作出對應的圖象是解決本題的關鍵．8.在三角形ABC中，如果，那么等于A．

B．

C．

D．（改編題）參考答案：B9.已知雙曲線與拋物線y2=8x有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若|PF|=5，則雙曲線的離心率為（）A．2 B．2 C． D．參考答案：A【考點】圓錐曲線的共同特征．【專題】計算題．【分析】根據(jù)拋物線和雙曲線有相同的焦點求得p和c的關系，根據(jù)拋物線的定義可以求出P的坐標，代入雙曲線方程與p=2c，b2=c2﹣a2，聯(lián)立求得a和c的關系式，然后求得離心率e．【解答】解：∵拋物線y2=8x的焦點坐標F（2，0），p=4，∵拋物線的焦點和雙曲線的焦點相同，∴p=2c，c=2，∵設P（m，n），由拋物線定義知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P點的坐標為（3，）∴|解得：，c=2則雙曲線的離心率為2，故答案為：2．【點評】本題主要考查了雙曲線，拋物線的簡單性質．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．解答關鍵是利用性質列出方程組．10.已知函數(shù)，若關于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】關于的方程有兩個不同的實數(shù)根等價于圖象與直線有兩個不同的交點，再作圖像觀察交點個數(shù)即可得解.【詳解】解：作出圖象，如圖所示，由題意知函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，且直線恒過定點.當時，，則.設曲線在點處的切線過點，又曲線在點處的切線方程為，將代入上式，得，解得，所以，結合圖象知當時，函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點；當時，，則，設曲線在點處的切線過點，又曲線在點處的切線方程為，將代入上式，得，解得，所以，結合圖象知當時，函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點；設點，則，由圖象知當時，方程也有兩個不同的實數(shù)根.綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的關系及數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬難題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓以拋物線的焦點為圓心,且與拋物線的準線相切,則該圓的標準方程是__

.參考答案：略12.已知拋物線,定點A(12,39),點P是此拋物線上的一動點,F是該拋物線的焦點,求|PA|+|PF|的最小值

．參考答案：40將x=12代入x2=4y,得y=36<39.所以點A(12,39)在拋物線內部,拋物線的焦點為(0,1),準線l為y=-1.過P作PB⊥l于點B,則|PA|+|PF|=|PA|+|PB|,由圖可知,當P,A,B三點共線時,|PA|+|PB|最小.所以|PA|+|PB|的最小值為|AB|=39+1=40.故|PA|+|PF|的最小值為40.13.參考答案：14.設函數(shù)f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的值為

．參考答案：4【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】先求出f′（x）=0時x的值，進而討論函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，對于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可轉化為最小值大于等于0即可求出a的范圍．【解答】解：由題意，f′（x）=3ax2﹣3，當a≤0時3ax2﹣3＜0，函數(shù)是減函數(shù)，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，與已知矛盾，當a＞0時，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，①當x＜﹣時，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數(shù)，②當﹣＜x＜時，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數(shù)，③當x＞時，f（x）為遞增函數(shù)．所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可由f（）≥0，即a?﹣3?+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，由f（1）≥0解得2≤a≤4，綜上a=4為所求．故答案為：4．15.古代“五行”學說認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五種不同屬性的物質任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰，則這樣的排列方法有

種參考答案：10略16.三個實數(shù)2，x，6按一定順序排列后成等比數(shù)列，則x的值為_______。參考答案：17.已知向量、、都是單位向量,且,則的值為_________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（16分）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是實數(shù)．（1）若a=﹣，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直線y=g(x)﹣是曲線y=f（x）的一條切線，求實數(shù)a的值；（3）若a＜0，且b﹣a=，函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值問題；（2）設出切點坐標，表示出切線方程，得到lnx0﹣x0+1=0，設t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的值即可；（3）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調性，結合函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有兩個不同的零點，求出a的范圍即可．【解答】解：（1）由題意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）x（0，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗↘從上表可知，當x=1時，f（x）取得極大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（2）由題意，直線是曲線y=lnx+ax2的一條切線，設切點，∴切線的斜率為，∴切線的方程為，即，∴…（6分）∴l(xiāng)nx0﹣x0+1=0，設t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，當x∈（0，1）時，t'（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此時．

…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（?。┊敥?≤a≤0時，當0＜x＜1時，h'（x）＞0，當x＞1時，h'（x）＜0，∴函數(shù)h（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點，…（12分）（ⅱ）當a＜﹣1時，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函數(shù)h（x）在（0，1）上不間斷，∴函數(shù)h（x）在（0，1）上存在零點，另外，當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，故函數(shù)h（x）在（0，1）上是單調減函數(shù)，∴函數(shù)h（x）在（0，1）上只有一個零點，∵h（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函數(shù)h（x）在（1，+∞）上不間斷，∴函數(shù)h（x）在（1，+∞）上存在零點，另外，當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，故函數(shù)h（x）在（1，+∞）上是單調增函數(shù)，∴函數(shù)h（x）在（1，+∞）上只有一個零點，∴當﹣1≤a≤0時，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點，當a＜﹣1時，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有2個不同的零點，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．

…（16分）【點評】本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．19.(1)求函數(shù)的導數(shù)；

(2)設函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)為奇函數(shù)，其圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導函數(shù)f′(x)的最小值為－12，求a，b，c的值；參考答案：(2)；20.在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求圓C的極坐標方程；（Ⅱ）若點(x，y)是圓C上的動點，求x+y的最大值.參考答案：（Ⅰ）將圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）化為普通方程得，由可得，圓的極坐標方程為．………5分（Ⅱ）因點是圓C上的動點，所以，所以的最大值是…10分21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），且對任意的總有成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（1）由題意得函數(shù)的定義域為，且，①當，，在上單調遞增，所以沒有極值；②當時，，.若，，單調遞增，.若，，單調遞減，所以在時取得極大值，無極小值.（2）由題意知，對任意的總有成立，等價于對任意的，總有成立，等價于，設，則，因為，所以當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增.所以，所以.故實數(shù)的取值范圍為.為．

22.某公司生產(chǎn)陶瓷，根據(jù)歷年的情況可知，生產(chǎn)陶瓷每天的固定成本為14000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加210元．已知該產(chǎn)品的日銷售量與產(chǎn)量件之間的關系式為：，每件產(chǎn)品的售價與產(chǎn)量之間的關系式為：．（Ⅰ）寫出該陶瓷廠的日銷售利潤與產(chǎn)量之間的關系式；（Ⅱ）若要使得日銷售利潤最大，每天該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，并求出最大利潤．參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)400件，3000