2022-2023學(xué)年湖北省鄂州市市葛店高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022-2023學(xué)年湖北省鄂州市市葛店高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知角α的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線x+3y=0上，則cos2α的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：C【考點(diǎn)】二倍角的余弦；任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值，得到tanα的值，然后根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系和二倍角的余弦，將cos2α化為關(guān)于tanα的式子，代入求值．【解答】解：由題意知：直線的斜率k=tanα=﹣，∴cos2α=cos2α﹣sin2α====．故選：C．2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（

）A．5

B．7

C．9

D．11參考答案：C3.（5分）（2015?浙江模擬）已知函數(shù)在它的一個最小正周期內(nèi)的圖象上，最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離是5，則A等于（）A．1B．2C．4D．8參考答案：B【考點(diǎn)】：y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義．【專題】：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：先確定函數(shù)的周期，根據(jù)題意，可得方程，由此可求A的值．解：函數(shù)的周期為T===6∵函數(shù)在它的一個最小正周期內(nèi)的圖象上，最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離是5，∴∴A=2故選B．【點(diǎn)評】：本題考查三角函數(shù)的對稱性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．4.對于函數(shù)(其中)，選取的一組值計(jì)算

和，所得出的正確結(jié)果一定不可能是（

）

A、4和6 B、2和1

C、2和4

D、1和3參考答案：B略5.命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為A．所有實(shí)數(shù)的平方都不是正數(shù)

B．有的實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)C．至少有一個實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)

D．至少有一個實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)參考答案：C6.已知點(diǎn)p(x,y)的坐標(biāo)滿足條件那么點(diǎn)P到直線3x-4y-9=0的距離的最小值為

A．2

B.1

C.

D.參考答案：A7.運(yùn)行如圖所示的程序框圖若輸出的s的值為55則在內(nèi)應(yīng)填入(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)條件，依次計(jì)算，即得解【詳解】初始：；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足輸出條件；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.8.設(shè)全集，集合，，則等于（A） （B）

（C）

（D）參考答案：D9.如果函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的值域是

A．

B．

C．

D．

參考答案：D10.A

B

C

D

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.把函數(shù)y＝sin(2x＋)的圖象向右平移個單位長度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，所得圖象的函數(shù)解析式為________．參考答案：y＝2sin2x12.有100輛汽車在一個時段經(jīng)過某一雷達(dá)測速區(qū)，這些汽車運(yùn)行時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速超過60km/h的汽車數(shù)量約為

▲

.參考答案：答案：3813.數(shù)列{an}滿足a1=1，且對任意的正整數(shù)m，n都有am+n=am+an+mn，則=

．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】先令n=1找遞推關(guān)系并求通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)的特征求和，即可得到結(jié)論．【解答】解：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1﹣an=n+1用疊加法：an=a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）=1+2+…+n=所以==2（）所以==2×=故答案為：【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，屬于中檔題．14.在中,,,,那么的長度為

．參考答案：15.已知定義在上的函數(shù)對任意實(shí)數(shù)均有，且在區(qū)間上有表達(dá)式，則函數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式為

參考答案：【知識點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．B1【答案解析】f（x）=﹣4（x+2）（x+4）．

解析：設(shè)x∈[﹣3，﹣2]，則x+4∈[1，2]，由f（x+2）=﹣f（x），得f（x）=﹣2f（x+2）=﹣2[﹣2f（x+4）]=4f（x+4），因?yàn)閒（x）在區(qū)間[0，2]上有表達(dá)式f（x）=﹣x2+2x，所以f（x）=4f（x+4）=4[﹣（x+4）2+2（x+4）]=﹣4（x+2）（x+4）．故答案為：f（x）=﹣4（x+2）（x+4）．【思路點(diǎn)撥】設(shè)x∈[﹣3，﹣2]，則x+4∈[1，2]，由f（x+2）=﹣f（x），可得f（x）=4f（x+4），由f（x）在區(qū)間[0，2]上的表達(dá)式f（x）=﹣x2+2x，可求f（x+4），從而解出答案．16.將5本不同的書分給4人,每人至少1本,不同的分法種數(shù)有_______.(用數(shù)字作答)參考答案：240【分析】將5本不同的書分給4人,每人至少1本,則必有一人得2本書，先選出2本書作為一組，其余每本書作為一組，然后再分配到人即可.【詳解】先選擇2本書作為一組有種選法，其余3本書每本一組，把這四組書分配給4個人有種分法，所以共有種分配方案.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的綜合，分組問題一般是先分好組，然后再進(jìn)行分配，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).17.底面邊長為2，高為1的正四棱錐的表面積為．參考答案：【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】正四棱錐的表面積包括四個全等的側(cè)面積，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，正四棱錐的表面積包括四個全等的側(cè)面積，而一個側(cè)面積為：×BC?VE=×2×=；∴S=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓，是其左右焦點(diǎn)，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn)，為橢圓上動點(diǎn)，設(shè)直線斜率為，且，求直線斜率的取值范圍；（3）若為橢圓上動點(diǎn)，求的最小值．參考答案：解（1），…………3分（2）設(shè)的斜率為，則，

………………5分∴＝及

…………6分則＝＝又…………7分∴

，故斜率的取值范圍為（）

………8分（3）設(shè)橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為a,b,c,則有,由橢圓定義，有

………9分＝

………………10分ks5u

＝

………………11分

≥ ……………12分

＝＝

………ks5u………………13分∴的最小值為。（當(dāng)且僅當(dāng)時，即取橢圓上下頂點(diǎn)時，取得最小值）略19.為了解某地區(qū)初中學(xué)生的體質(zhì)健康情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)8所學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康數(shù)據(jù),按總分評定等級為優(yōu)秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超過40%的學(xué)校為先進(jìn)校.各等級學(xué)生人數(shù)占該校學(xué)生總?cè)藬?shù)的比例如下表:

比例

學(xué)校等級學(xué)校A學(xué)校B學(xué)校C學(xué)校D學(xué)校E學(xué)校F學(xué)校G學(xué)校H優(yōu)秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%

(1)從8所學(xué)校中隨機(jī)選出一所學(xué)校,求該校為先進(jìn)校的概率；(2)從8所學(xué)校中隨機(jī)選出兩所學(xué)校,記這兩所學(xué)校中不及格比例低于30%的學(xué)校個數(shù)為X,求X的分布列；(3)設(shè)8所學(xué)校優(yōu)秀比例的方差為S12,良好及其以下比例之和的方差為S22,比較S12與S22的大小.(只寫出結(jié)果)參考答案：(1)；(2)見解析；(3)S12=S22【分析】（1）統(tǒng)計(jì)出健康測試成績達(dá)到良好及其以上的學(xué)校個數(shù)，即可得到先進(jìn)校的概率；（2）根據(jù)表格可得：學(xué)生不及格率低于30%的學(xué)校有學(xué)校B?F?H三所,所以X的取值為0,1,2，分別計(jì)算出概率即可得到分布列；（3）考慮優(yōu)秀的比例為隨機(jī)變量Y，則良好及以下的比例之和為Z=1-Y，根據(jù)方差關(guān)系可得兩個方差相等.【詳解】解:(1)8所學(xué)校中有ABEF四所學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康測試成績達(dá)到良好及其以上的比例超過40%,所以從8所學(xué)校中隨機(jī)取出一所學(xué)校,該校為先進(jìn)校的概率為；(2)8所學(xué)校中,學(xué)生不及格率低于30%的學(xué)校有學(xué)校B?F?H三所,所以X的取值為0,1,2.

所以隨機(jī)變量X的分布列為：X012P

(3)設(shè)優(yōu)秀的比例為隨機(jī)變量Y，則良好及以下的比例之和為Z=1-Y，則，所以：S12=S22.【點(diǎn)睛】此題考查簡單的幾何概率模型求概率，求分布列，以及方差關(guān)系的辨析，關(guān)鍵在于熟練掌握分布列的求法和方差關(guān)系.20.（本題滿分12分）已知函數(shù)，，,令.（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)m的最小值.參考答案：解：（1）定義域?yàn)?0,+∞)，當(dāng)時，令，，

令所以，增區(qū)間：(0,1)，減區(qū)間：(1,+∞)

……5分（2）法一：令.所以.當(dāng)時，因?yàn)椋运栽谏鲜沁f增函數(shù)，又因?yàn)?所以關(guān)于的不等式不能恒成立.當(dāng)時，.令得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)椋?，又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以當(dāng)時，.所以整數(shù)的最小值為2.

……12分法二：由恒成立知恒成立，令，則，令，因?yàn)?，，則為增函數(shù).故存在，使，即，當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù).所以，而，所以，所以整數(shù)的最小值為2.

……12分

21.（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都是2，又AA1平面ABC，D、E分別是AC、CC1的中點(diǎn)．（1）求證：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角D﹣BA1﹣A的余弦值；（3）求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離．參考答案：【考點(diǎn)】：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】：空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】：（1）以DA所在直線為x軸，過D作AC的垂線為y軸，DB所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，確定向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積為0，即可證得結(jié)論；（2）確定面DA1B的法向量、面AA1B的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角D﹣BA1﹣A的余弦值；（3）=（0，2，0），平面A1BD的法向量取=（2，1，0），利用距離公式可求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離（1）證明：以DA所在直線為x軸，過D作AC的垂線為y軸，DB所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），C（﹣1，0，0），E（﹣1，﹣1，0），A1（1，﹣2，0），C1（﹣1，﹣2，0），B（0，0，）∴=（﹣2，﹣1，0），=（﹣1，2，0），=（0，0，﹣）∴∴又A1D與BD相交∴AE⊥面A1BD

…（5分）（2）解：設(shè)面DA1B的法向量為=（x1，y1，z1），則，取=（2，1，0）…（7分）設(shè)面AA1B的法向量為=（x2，y2，z2），則，取=（3，0，）…（9分）∴cos===故二面角D﹣BA1﹣A的余弦值為

…（10分）（3）解：=（0，2，0），平面A1BD的法向量取=（2，1，0）則B1到平面A1BD的距離為d=|=

…（13分）【點(diǎn)評】：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查線面垂直，考查面面角，考查點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．22.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）證明（其中n∈N*，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，轉(zhuǎn)化為f（x）max≤0，分類求出f（x）max，求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）把要證的不等式變形，然后借助于（Ⅰ）中的函數(shù)的單調(diào)性證明．【解答】（Ⅰ）解：，定義域（0，+∞），…當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上遞減；…當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得x=a，此時f'（x），f（x）隨的變化情況如下表：x（0，a）a（a，+∞）f'（x）+0﹣f（x）增極大值減∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），單調(diào)減區(qū)間為（a，+∞）．…綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）的遞減區(qū)間為（0，+∞）；此時無增區(qū)間；當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），單調(diào)減區(qū)間為（a，+∞）；…（Ⅱ）解：由題意得f（x）max≤0，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上遞減，，不合題意；…當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），單調(diào)減區(qū)間為（a，+∞），∴f（x