微積分下1第六章

第七節(jié)定積分的幾何應(yīng)用一、定積分的元素法二、平面圖形的面積三、旋轉(zhuǎn)體的體積四、平行截面面積已知的立體的體積五、小結(jié)回顧

曲邊梯形求面積的問題f

(

x)dxbaA

=一、定積分的元素法曲邊梯形由連續(xù)曲線y

=f

(x)(f

(x)?0)、

x

軸與兩條直線x

=a

、

x

=b所圍成。ab

xyoy

=

f

(

x)n面積表示為定積分的步驟如下（1）把區(qū)間[a,b]分成n個長度為Dxi

的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形，第i

個小窄曲邊梯形的面積為DAi

，則A

=DAi

.i

=1（2）計算DAi

的近似值DAi

?

f

(xi

)Dxixi

?

DxinA

?

f

(xi

)Dxi

.i

=1求和，得A的近似值求極限，得A的精確值nA

=

lim

f

(xi

)Dxilfi

0

i

=1f

(

x)dxba=yoy=f(x)提示若用DA

表示任一小區(qū)間[

x,

x

+

Dx]上的窄曲邊梯形的面積，則A

=DA，并取DA

?f

(x)dx，于是A

?

f

(x)dxA

=

lim

f

(

x)dxbaf

(

x)dx.=a

xx

+

dx

b

xdA面積元素當(dāng)所求量U

符合下列條件：（1）U

是與一個變量x的變化區(qū)間a,b]有關(guān)的量；（2）U

對于區(qū)間a

,b]具有可加性，就是說，如果把區(qū)間a

,b]分成許多部分區(qū)間，則U

相應(yīng)地分成許多部分量，而U

等于所有部分量之和；（3）部分量DUi

的近似值可表示為f

(xi

)Dxi

；就可以考慮用定積分來表達這個量U元素法的一般步驟：根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間[a,b]；

設(shè)想把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為[x,x

+d

x]，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量DU

的近似值.如果DU

能近似地表示為[a,b]上的一個連續(xù)函數(shù)在x處的值f

(x)與dx的乘積，就把f

(x)dx稱為量U的元素且記作dU

，即dU

=f

(x)dx；上作定積分，得3)以所求量U

的元素f

(x)dx為被積表達式，在ba區(qū)間[a,

b]

U

=f

(x)dx

，即為所求量U

的積分表達式.這個方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積，體積。經(jīng)濟應(yīng)用。其他應(yīng)用。xyy

=

f

(x)o

ab二、平面圖形的面積xx

+

Dx第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[x,x

+dx]，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量DA

的近似值記作dA；如何用元素法分析？dA＝？，xyy

=

f

(x)o

ab二、平面圖形的面積xx

+

Dx如何用元素法分析？DA

?

f

(x

)Dx第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[x,x

+dx]，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量DA

的近似值，記作dA；xyy

=

f

(x)o

ab二、平面圖形的面積xx

+

DxdA＝f

(x

)dx如何用元素法分析？第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[x,x

+dx]，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量DA

的近似值，記作dA；xyy

=

f

(x)o

ab第二步：寫出面積表達式。baf

(

x)dxA

=二、平面圖形的面積xx

+

Dx如何用元素法分析？dA＝f

(x

)dxxyy

=

f1(x)2y

=

f

(x)o

ab二、平面圖形的面積xx

+

Dx第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[x,x

+dx]，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量DA

的近似值，記作dA；如何用元素法分析？dA＝？xyy

=

f1(x)y

=

f2(x)o

ab二、平面圖形的面積xx

+

Dx如何用元素法分析？dA＝(f2

(x

)-f1

(x

))dx第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[x,x

+dx]，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量DA

的近似值，記作dA；xyy

=

f1(x)y

=

f2(x)o

abbaA

=[

f2

(

x)

-

f1

(

x)]dx二、平面圖形的面積xx

+

Dx第二步：寫出面積表達式。如何用元素法分析？dA＝(f2

(x

)-f1

(x

))dx例

1

計算由兩條拋物線

y

2

=

x

和

y=

x

2

所圍成的圖形的面積.解

兩曲線的交點(0,0)

(1,1)選x

為積分變量x

?

[0,1]面積元素dA

=

(

x

-

x2

)dx120x

-

x

)dxA

=

(133232

3

0=3x

-

x

=

1

.x

=

y2y

=

x

2例2

計算由曲線

y

=

x

3

-

6

x

和

y

=

x

2

所圍成的圖形的面積.2y

=

x解

兩曲線的交點

y

=

x3

-

6

x

(0,0), (-2,4),

(3,9).選x

為積分變量x

?

[-2,3]1x

?

[-2,

0],

dA

=

(

x3

-

6

x

-

x2

)dx(1)(2)

x

?

[0,3],2dA

=

(

x2

-

x3

+

6

x)dxy

=

x

2y

=

x

3

-

6

x于是所求面積A

=

A1

+

A20-2A

=3230(

x3

-

6

x

-

x2

)dx

+(x

-

x

+

6

x)dx=

253

.12說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．問題：積分變量只能選x嗎？xox

=

j

2

(

y)cyd1x

=

j

(

y)xox

=

j

(

y)cyd觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：考慮選擇x為積分變量，如何分析面積表達式？j

(

y)dydc

cxo2x

=

j

(

y)cyd1x

=

j

(

y)xoA

=ydy

+

Dyyc21[j

(

y)-j

(

y)]dydA

=y

+

Dyx

=

j

(

y)

y觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：考慮選擇y為積分變量，如何分析面積表達式？例

3

計算由曲線

y

2

=

2

x

和直線

y

=

x

-

4所圍成的圖形的面積.解

兩曲線的交點

y

=

x

-

4

(2,-2),

(8,4).選y

為積分變量

y2

=

2

xy

?

[-2,

4]y2

dA

=

y

+

4

-

2

dy

4-2dA

=

18.A

=y2

=

2xy=

x

-

42

2例

4

求橢圓x

+

y

=

1的面積.a

2

b2解橢圓的參數(shù)方程

x

=a

cos

t

y

=

bsin

t由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．0A

=

4ydxa0=

4p2bsin

td(a

cos

t

)p220=

4absin

tdt

=

pab.旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱三、旋轉(zhuǎn)體的體積(volume

of

body)（1）圓錐圓臺三、旋轉(zhuǎn)體的體積(volume

of

body)（3）（2）一般地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y

=f

(x

)、直線x

=a

、x

=b及x

軸所圍成的曲邊梯形繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？取積分變量為x

，x

?

[a,b]在[a,b]上任取小區(qū)間[x,x

+dx]，取以dx

為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積元素，dV

=π[f

(x)]2

dxx

x

+

dxxyo旋轉(zhuǎn)體的體積為2baπ[

f

(

x)]

dxV

=y

=

f

(

x)y例1

連接坐標(biāo)原點O及點P(h,r

)的直線、直線

x

=h及x軸圍成一個直角三角形．將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r

、高為h的圓錐體，計算圓錐體的體積．rhPy

=

h

x解

直線

OP方程為r取積分變量為x

，x

?

[0,h]在[0,h]上任取小區(qū)間[x,x

+dx]，xo以dx

為底的窄邊梯形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為

r2dV

=

p

h

x

dx

圓錐體的體積0πx

dxhV

=h

r2

h

0pr

2

x3

h2

3

==πhr

2.3yrhPxo-

aoya

x2

2

2例

2

求星形線x

3

+

y

3

=

a

3

(a

>

0)繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.2

2

2解

y

3

=

a

3

-

x

3

,2

32\

y2

=

a

3

-

x

3

旋轉(zhuǎn)體的體積x

?

[-a,

a]32323dxa-aV

=π

a

-

x105323=

pa

.xox

=

j

(

y)c類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線x

=j

(y)、直線y

=c

、y

=d

及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為yd(

)2dcdyπj

yV

=例

3

求由x

=

0,

y

=

0,

y

=

cos

x

0

￡

x

￡

p

2

所圍成的圖形繞y

軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解(

)120dyV

=p2xy1x

=

arccos

y設(shè)t

=arccos

y)(

)220t

d

cos

tπ arccos

yp=

-πp22p200cos

t+

2πt

cos

tdt=

-

πtp20=

2ptd

sin

t(

)

[]22000p=

2p

t

sin

t-

2psin

tdtp202p2p

cos

t

]=

p

+

[=

p

2

-

2p補充如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y

=f

(x)、直線x

=a、x

=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為byax

|

f

(

x)

|

dxV

=

2p利用這個公式，可知上例中(

)[

][]22π2π2002002=

π2

-

2π0V

=

2πxd sin

xsin

xdxpx

cos

x

dx

=

2πp=

2πx

sin

x-

2πp=

π

+

2π

cos

x例

4

求由曲線y=

4

-

x

2

及y=

0所圍成的圖形繞直線x

=

3旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解取積分變量為y

,y

?

[0,4]體積元素為22dV

=

[πPM=

[π(3

+-

πQM

]dy4

-

y

)2

-

π(3

-4

-

y

)2

]dy0=

12π

4

-

ydy,4\

V

=

12π4

-

ydy=

64p.3dyPQMxabx

x

+

dxA(x

)表示過點ox

且垂直于x

軸如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.dV

=

A(

x)dx,的截面面積，A(x)為x的已知連續(xù)函數(shù)baA(

x

)d

x

.立體體積V

=四、平行截面面積已知的立體的體積例5

一平面經(jīng)過半徑為R

的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角a

，計算這平面截圓柱體所得立體的體積.-

Rxyo解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為x2

+

y2

=

R2垂直于x軸的截面為直角三角形xR截面面積A(x)=1

(R2

-x2

)tana

,立體體積V

=22122R(R

-

x

)tana

dx

=-

R233R

tana

.例

6

求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積.解

取坐標(biāo)系如圖底圓方程為x2

+

y2

=

R2

,xyoRx垂直于x軸的截面為等腰三角形截面面積

A(

x)

=

h y

=

h

R2

-

x2立體體積R2

-

x2

dxR-

RV

=

hpR2h.12=五、小結(jié)定積分的元素法f

(

x)dxbaU

=平面圖形的面積A

=旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積已知的立體的體積V

=A(

x)dxba2p[

f

(

x)]

dx

V

=baV

=2p[j

(

y)]

dydc21f

(

x)]dxb[

f

(

x)

-a思考題1設(shè)曲線y

=f

(x)過原點及點(2,3)，且f

(x)為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與x

軸和曲線y

=f

(x)圍成的面積是另一條平行線與y

軸和曲線y

=f

(x)圍成的面積的兩倍，求曲線方程.S1S2xyoy

=

f

(

x)(

x,

y)20思考題1解答S2

=

2S1xf

(

x)dx

S

=12f

(

x)dxxS

=

xy

-

S

=

xy

-000xf

(

x)dx

=

2[

xy

-f

(

x)dx]x\0

3f

(x)dx

=2xy,

兩邊同時對x求導(dǎo)x3

f

(

x)

=

2

y

+

2

xy

2

xy

=

y積分得y2

=

cx,2因為曲線

y

=

f

(

x

)過點(2,3)

c

=

92\

y2

=

9

x,因為f

(x)為單調(diào)函數(shù)2所以所求曲線為

y

=

3

2

x.設(shè)函數(shù)y

=f

(x)在[x1,x2

]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),D為1k曲線

y

=

f

(x)

及直線

y=kx+b

(k

?

0),

y

=

-

1

x

+

b、2

1

2ky

=-1

x

+b

(b

<b

)所圍成的曲邊梯形,求D繞直線y=kx+b旋轉(zhuǎn)所成立體的體積.※思考題2y

=

kx

+

bL：NTMMNx1

xx

+

dxx2xyy=f

(x)D如右圖示,設(shè)M

(x,y)為曲線y

=f

(x)上任一點,曲線在M點處的切線MT為：Y

=

f

(x)

+

f

(x)(X

-

x)過M點作直線L：y

=kx

+b的垂線為kMM

￠：Y

=

-

1

(

X

-

x)

+

f

(

x)即

X

+

kY

-[

x

+

kf

(

x)]

=

0思考題2解答應(yīng)用定積分的元素法，考慮子區(qū)間[x,x+dx].設(shè)相應(yīng)于[x,x+dx]的曲線弧段在直線L上的投影長為dl,則當(dāng)子區(qū)間的長充分小時,取切線MT上對應(yīng)于右端點x+dx的點N

(

x

+dx,

f

(

x)

+

f

￠(

x)dx)到垂線MM的距離為dl,則1dl

=

(

x

+dx)

+

k[

f

(

x)

+

f

￠(

x)dx]-[x

+

kf

(

x)]1

+

k21

+

kf

￠(

x)1

+

k

2dx

(dx

>

0)=而M點到直線L的距離為1

+

k

2d

=

f

(

x)

-

kx

-

b[

f

(

x)

-

kx

-

b]2從而得dV

=

πd

2

dl

=

π1

+

k

21

+

kf

￠(

x)1

+

k

2dx[

f

(

x)

-

kx

-

b]2

1

+

kf

￠(

x)

dx(1

+

k

2

)3

2π=所以曲邊梯形D繞直線L旋轉(zhuǎn)所成立體體積為2122 3

2π(1

+

k

)xxV

=￠[

f

(

x)

-

kx

-

b] 1

+

kf

(

x)

dx思考題3求曲線xy=4，y

?1，x>0所圍成的圖形繞y

軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.思考題3解答yo y

=

1x

y

=

1立體體積

xy

=

4交點(4,1),21x

dyyV

=

π+￥116y2=

π+￥+￥

1dy

=

p-

y

16=

16p.練習(xí)題一、填空題：由曲線

y

=

e

x

,

y

=

e

及

y

軸所圍成平面區(qū)域的面積是

.由曲線

y

=

3

-

x

2

及直線

y

=

2

x

所圍成平面區(qū)域的面積是

.3.連續(xù)曲線y

=f

(x),直線x

=a

，x

=b

及x

軸所圍圖形a4.

v

=f

(

x)dx

常用來表示

立體的體積；5.

拋物線

y

2

=

4ax

及直線

x

=

x

(

x

>

0)

所圍