《角平分線》課件-2022年北師大版九上

1.4角平分線九年級(jí)數(shù)學(xué)(上)第一章證明〔二〕駛向勝利的彼岸角平分線你還能利用折紙的方法得到角平分線及角平分線上的點(diǎn)嗎?回顧思考:如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE.而△OPD≌△OPB的條件由易知它滿足公理(AAS).故結(jié)論可證.老師期望:你能寫出標(biāo)準(zhǔn)的證明過程.分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在的△OPD≌△OPB，你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.你能證明這一結(jié)論嗎?OCB1A2PDE駛向勝利的彼岸幾何的三種語言定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.老師提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.開啟智慧如圖,∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E()∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).OCB1A2PDE進(jìn)步的標(biāo)志′駛向勝利的彼岸思考分析你能寫出“定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等〞的逆命題嗎?逆命題在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.它是真命題嗎?如果是.請(qǐng)你證明它.:如圖,PA=PB,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.分析:要證明點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,可以先作出過點(diǎn)P的射線OC,然后證明∠1=∠2.老師期望:你能寫出標(biāo)準(zhǔn)的證明過程.OCB1A2PDE駛向勝利的彼岸逆定理

我能行1逆定理在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.如圖,∵PA=PB,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(),∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).老師提示:這個(gè)結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.從這個(gè)結(jié)果出發(fā),你還能聯(lián)想到什么?OCB1A2PDE駛向勝利的彼岸尺規(guī)作圖

做一做1:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.作法:用尺規(guī)作角的平分線.1.在OAT和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C..3.作射線OC.請(qǐng)你說明OC為什么是∠AOB的平分線,并與同伴進(jìn)行交流.老師提示:作角平分線是最根本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實(shí)掌握.ABOC那么射線OC就是∠AOB的平分線.DE挑戰(zhàn)自我

隨堂練習(xí)1駛向勝利的彼岸如圖,AD,AE分別是△ABC中∠A的內(nèi)角平分線外角平分線,它們有什么關(guān)系?老師期望:你能說出結(jié)論并能證明它.EDABCF夢(mèng)想成真

隨堂練習(xí)22.如圖,一目標(biāo)在A區(qū),到期公路,鐵路距離相等,離公路與鐵路的交叉處500m.在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺1:20000).A區(qū)回味無窮定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E()∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).逆定理在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.∵PA=PB,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(),∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).用尺規(guī)作角的平分線.小結(jié)拓展OCB1A2PDE習(xí)題

獨(dú)立作業(yè)1駛向勝利的彼岸1.利用尺規(guī)作出三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線.

老師期望:先分別作出不同形狀的三角形,再按要求去作圖.你發(fā)現(xiàn)了什么？

獨(dú)立作業(yè)2駛向勝利的彼岸2.如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等.老師期望:養(yǎng)成用數(shù)學(xué)解釋生活的習(xí)慣.C●D●ABO

獨(dú)立作業(yè)3駛向勝利的彼岸3.:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.老師期望:做完題目后,一定要“悟〞到點(diǎn)東西,納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.BAEDCF有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。3.菱形的性質(zhì)1.菱形的定義〔Ａ〕菱形的四條邊都相等〔Ｂ〕菱形的對(duì)角線互相垂直2.菱形的特征菱形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形我們可以根據(jù)定義來判定一個(gè)四邊形是菱形．除此之外，還能找到其他的判定方法嗎？菱形的性質(zhì)“兩條對(duì)角線互相垂直平分〞中，“對(duì)角線互相平分〞是平行四邊形所具有的一般性質(zhì)，而“對(duì)角線垂直〞是菱形所特有的性質(zhì)。由此，可以得到一個(gè)猜測：“如果一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，那么這個(gè)平行四邊形是一個(gè)菱形。〞如圖，取兩根長度不等的細(xì)木棒，讓兩個(gè)木棒的中點(diǎn)重合并固定在一起，用筆和直尺畫出木棒四個(gè)端點(diǎn)的連線。我們知道，這樣得到的四邊形是一個(gè)平行四邊形．假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)其中一個(gè)木棒，重復(fù)上面的做法，當(dāng)兩個(gè)木棒之間的夾角等于90°時(shí)，得到的圖形是什么圖形呢？如圖，你還可以作一個(gè)兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形．和你的同伴交換一下，看看是否成了一個(gè)菱形．由此可以得到判定菱形的一種方法：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD互相垂直，我們可以證明：四邊形ABCD是菱形．證明∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA＝OC又∵AC⊥BD∴BD所在直線是線段AC的垂直平分線∴AB＝BC∴四邊形ABCD是菱形例如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F，求證：四邊形AFCE是菱形．分析要證四邊形AFCE是菱形，由條件可知EF⊥AC，所以只需證明四邊形AFCE是平行四邊形，又EF垂直平分AC，所以只需證OE＝OF．證明∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AE∥FC∴∠1＝∠2∵EF平分AC∴AO＝OC又∵∠AOE＝∠COF＝90°∴△AOE≌△COF∴EO＝FO∴四邊形AFCE是平行四邊形又∵EF⊥AC∴四邊形AFCE是菱形對(duì)于一個(gè)一般的四邊形，能否也可以找到判定它是不是菱形的方法呢？由菱形的另一條性質(zhì)“四條邊都相等〞，你可能會(huì)想到：如果一個(gè)四邊形的四條邊都相等，那它會(huì)不會(huì)一定是菱形？試著畫一畫，與周圍的同學(xué)討論，猜一猜結(jié)論是否成立．由此我們得到了判定菱形的又一種方法：四條邊都相等的四邊形是菱形．其實(shí)，這個(gè)結(jié)論同樣是正確的．這里的條件能否再減少一些呢？能否類似對(duì)矩形的討論那樣，有三條邊相等的四邊形就是菱形了呢？猜一猜，并試著畫一畫，你就會(huì)知道，這個(gè)結(jié)論是不成立的．菱形的判定方法1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形3.四條邊都相等的四邊形是菱形2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形1.以下條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是〔〕．Ａ.AC⊥BD，AC與BD互相平分Ｂ.AB=BC=CD=DAＣ.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDＤ.AB=CD，AD=BC，AC⊥BDOADCBC2.:如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD,與BC相交于點(diǎn)E,EF//AB,與AD相交于點(diǎn)F.求證:四邊形ABEF是菱形.ABCDEF3.如圖，在△AB