2016高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一第4講函數(shù)圖象切線及交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題課件文

第4講 函數(shù)圖象的切線及交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題高考定位

在高考試題的導(dǎo)數(shù)壓軸題中，把求切線和研究函數(shù)的性質(zhì)交匯起來(lái)是一個(gè)命題熱點(diǎn)；兩個(gè)函數(shù)

圖象的交點(diǎn)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)新的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)圖象與函數(shù)零點(diǎn)是函數(shù)中的兩個(gè)重要問(wèn)題，在高

考試題導(dǎo)數(shù)壓軸題中涉及兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題是

高考命題的另一熱點(diǎn).真題感悟x2(2015·山東卷)設(shè)函數(shù)

f(x)＝(x＋a)ln

x，g(x)＝ex.

已知曲線

y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線2x－y＝0

平行.求a

的值；是否存在自然數(shù)k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；設(shè)函數(shù)m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q}表示p，q

中的較小值)，求m(x)的最大值.解

(1)由題意知，曲線

y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為

2，a所以f′(1)＝2，又f′(x)＝ln

x＋＋1，所以a＝1.x(2)k＝1

時(shí)，方程f(x)＝g(x)在(1，2)內(nèi)存在唯一的根.x2設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln

x－ex，當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，h(x)＜0.e24又h(2)＝3ln

2－4

＝ln

8－2＞1－1＝0，e所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.1因?yàn)閔′(x)＝ln

x＋x＋1＋x（x－2）ex，e1所以當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，h′(x)＞1－＞0，當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0，所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增，所以k＝1

時(shí)，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)內(nèi)存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)＝g(x)在(1，2)內(nèi)存在唯一的根x0.且x∈(0，x0)時(shí)，f(x)＜g(x)，x∈(x0，＋∞)時(shí)，f(x)＞g(x)，（x＋1）ln

x，x∈（0，x0]，所以m(x)＝x2ex，x∈（x0，＋∞）.當(dāng)x∈(0，x0]時(shí)，若x∈(0，1]，m(x)≤0；01若x∈(1，x

]，由m′(x)＝ln

x＋x＋1＞0，可知0＜m(x)≤m(x0)；故m(x)≤m(x0).當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，由m′(x)＝x（2－x）ex，可得x∈(x0，2)時(shí)，m′(x)＞0，m(x)單調(diào)遞增；x∈(2，＋∞)時(shí)，m′(x)＜0，m(x)單調(diào)遞減；

40可知m(x)≤m(2)＝e2，且m(x

)＜m(2).e2綜上可得，函數(shù)m(x)的最大值為4

.考點(diǎn)整合求曲線y＝f(x)的切線方程的三種類型及方法已知切點(diǎn)P(x0，y0)，求y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點(diǎn)斜式寫出方程.已知切線的斜率為k，求y＝f(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，通過(guò)方程k＝f′(x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫出方程.已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求y＝f(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.2.三次函數(shù)的零點(diǎn)分布三次函數(shù)在存在兩個(gè)極值點(diǎn)的情況下，由于當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)值也趨向∞，因此只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2且x1＜x2的函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零點(diǎn)分布情況如下：a的符號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)充要條件a＞0(f(x1)為極大值，f(x2)為極小值)一個(gè)f(x1)＜0兩個(gè)f(x1)＝0或者f(x2)＝0三個(gè)f(x1)＞0且f(x2)＜0a＜0(f(x1)為極小值，f(x2)為極大值)一個(gè)f(x2)＜0兩個(gè)f(x1)＝0或者f(x2)＝0三個(gè)f(x1)＜0且f(x2)＞03.研究?jī)蓷l曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法數(shù)形結(jié)合法，通過(guò)畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，研究圖形交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出答案.函數(shù)與方程法，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出兩曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù).熱點(diǎn)一

函數(shù)圖象的切線問(wèn)題[微題型1]

單一考查曲線的切線方程【例

1－1】(1)(2015·陜西卷)函數(shù)

y＝xex

在其極值點(diǎn)處的切線方程為

.(2)(2015·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)

f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線過(guò)點(diǎn)(2，7)，則

a＝

.解析

(1)設(shè)

y＝f(x)＝xex，由y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＝0，得x＝－1.當(dāng)x＜－1

時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞－1

時(shí)，y′＞0，故x＝－1

為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，切線斜率為0，－11

1又

f(－1)＝－e

＝－e，故切點(diǎn)坐標(biāo)為－1，－e，切線方程為

y＋1

1e＝0(x＋1)，即y＝－e.(2)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.(1，f(1))處的切線方程為y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1).將(2，7)代入切線方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.e答案

(1)y＝－1

(2)1探究提高

(1)求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為

切點(diǎn).(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解.[微題型2]

綜合考查曲線的切線問(wèn)題【例1－2】已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x.求f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值；若過(guò)點(diǎn)P(1，t)存在3

條直線與曲線y＝f(x)相切，求t

的取值范圍.解

(1)由

f(x)＝2x3－3x得

f′(x)＝6x2－3.令

f′(x)＝0，得

x＝－ 2或

x＝

2.2

2

2因?yàn)?/p>

f(－2)＝－10，f

－

2

＝

22，f

2

＝－2，f(1)＝－1，

2所以

f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值為

f

－

2

＝2.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1，t)的直線與曲線y＝f(x)相切于點(diǎn)(x0，y0)，則y0＝2x3－3x

，且切線斜率為k＝6x2－3，0

0

0所以切線方程為y－y0＝(6x2－3)(x－x

)，0

0因此t－y0＝(6x2－3)(1－x

).0

0整理得4x3－6x2＋t＋3＝0，0

0設(shè)g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，則“過(guò)點(diǎn)P(1，t)存在3

條直線與曲線y＝f(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3

個(gè)不同零點(diǎn)”.g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，當(dāng)x變化時(shí)，g(x)與g′(x)的變化情況如下：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)g′(x)＋0—0＋所以，gg((x0))＝t＋3是g(x)的極t＋大值，g(1)＝t＋t＋1是g(x)的極小值.當(dāng)g(0)＝t＋3≤0，即t≤－33時(shí)，此時(shí)g(x)在1區(qū)間(－∞，1]和[1，＋∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(－∞，0)和[0，＋∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1時(shí)，因?yàn)間(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分別在區(qū)間[－1，0)，[0，1)和[1，2)

上恰有1個(gè)零點(diǎn)，由于g(x)在區(qū)間(－∞，0)和(1，＋∞)上單調(diào)，所以g(x)分別在區(qū)間(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1個(gè)零點(diǎn).綜上可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切時(shí)，t的取值范圍是(－3，－1).探究提高

解決曲線的切線問(wèn)題的關(guān)鍵是求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題時(shí)先不要管其他條件，先使用曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)切線方程，再考慮該切線與其他條件的關(guān)系，如本題第(2)問(wèn)中的切線過(guò)點(diǎn)(1，t).【訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝x3－x.設(shè)M(λ0，f(λ0))是函數(shù)f(x)圖象上的一點(diǎn)，求點(diǎn)M

處的切線方程；證明：過(guò)點(diǎn)N(2，1)可以作曲線f(x)＝x3－x

的三條切線.(1)解

因?yàn)?/p>

f′(x)＝3x2－1.所以曲線f(x)＝x3－x

在點(diǎn)M(λ0，f(λ0))處的切線的斜率為k＝f′(λ0)0＝3λ2－1.所以切線方程為y－(λ3－λ

)＝(3λ2－1)(x－λ

)，0

0

0

0即y＝(3λ2－1)x－2λ3.0

0(2)證明

由(1)知曲線

f(x)＝x3－x

在點(diǎn)(λ，f(λ))處的切線的方程為

y＝(3λ2－1)x－2λ3.若切線過(guò)點(diǎn)

N(2，1)，則

1＝2(3λ2－1)－2λ3，即

2λ3－6λ2＋3＝0.過(guò)點(diǎn)N可作曲線f(x)的三條切線等價(jià)于方程2λ3－6λ2＋3＝0有三個(gè)不同的解.設(shè)g(λ)＝2λ3－6λ2＋3，則g′(λ)＝6λ2－12λ＝6λ(λ－2).當(dāng)λ變化時(shí)，g′(λ)，g(λ)的變化情況如下表：λ(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)g′(λ)＋0—0＋值3

－5因g為(λg)(λ)在R上只有一個(gè)極極大大值3和一個(gè)極小極值?。?，所以過(guò)點(diǎn)N可以作曲線f(x)＝x3－x的三條切線.熱點(diǎn)二

函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題[微題型1]

從方程根的角度考查【例2－1】已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，2)處的切線與x

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2.(1)求a；(2)證明：當(dāng)k＜1

時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2

只有一個(gè)交點(diǎn)(1)解

f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，2)處的切線方程為y＝ax＋2.2由題設(shè)得－a＝－2，所以a＝1.(2)證明

由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.設(shè)g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由題設(shè)知1－k＞0.當(dāng)x≤0時(shí)，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)單調(diào)遞增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一實(shí)根.當(dāng)x＞0時(shí)，令h(x)＝x3－3x2＋4，則g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x).h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)單調(diào)遞增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)沒(méi)有實(shí)根.綜上，g(x)＝0在R有唯一實(shí)根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn).探究提高研究方程的根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根的情況，這是導(dǎo)數(shù)這一工具在研究方程中的重要應(yīng)用.[微題型2]

從函數(shù)的零點(diǎn)角度考查x2【例2－2】(2015·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝

2

－kln

x，k>0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，e]上僅有一個(gè)零點(diǎn).(1)解

函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞).x2由f(x)＝

2

－kln

x(k>0)得kf′(x)＝x－x＝x2－kx.由f′(x)＝0

解得x＝

k.f(x)與f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的變化情況如下表：x(0，

k)k(

k，＋∞)f′(x)—0＋f(x)k（1－ln

k）2所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

k).單調(diào)遞增區(qū)間是(

k，＋∞)，f(x)在

x＝

k處取得極小值

f(

k)＝2k（1－ln

k）.(2)證明

由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的最小值為

f(

k)＝k（1－ln

k）.2因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以k（1－ln

k）2≤0，從而k≥e，當(dāng)k＝e

時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，所以x＝

e是f(x)在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞減，且

f(

e)＝0，e]上的唯一零點(diǎn).當(dāng)

k>e

時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，

e)上單調(diào)遞減，且

f(1)＝1

，f(

e)＝2>0e－k2<0，所以f(x)在區(qū)間(1，e]上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，e]上僅有一個(gè)零點(diǎn).探究提高

對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解.這類問(wèn)題求解的通法是：(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；(3)畫出函數(shù)草圖；(4)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解.【訓(xùn)練2】(2015·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝axsin

x－23(a＞0)，且在

π0，2上的最大值為π－32.求函數(shù)f(x)的解析式；判斷函數(shù)f(x)在(0，π)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.解

(1)由已知，得

f′(x)＝a(sin

x＋xcos

x)，且

a＞0.

π當(dāng)x∈0，2時(shí)，有sinx＋xcosx＞0，

π從而f′(x)＞0，f(x)在0，2上是增函數(shù)，

π又f(x)在0，2上的圖象是連續(xù)不斷的，

ππ2故

f(x)在0，2上的最大值為

f

，π－33

3即πa－

＝ ，解得

a＝1.綜上所述得

f(x)＝xsin

x－

.2

2

2

2(2)f(x)在(0，π)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).證明如下：3由(1)知，f(x)＝xsin

x－2，3π2從而

f(0)＝－

＜0，f

＝π－32

2＞0.

π又f(x)在0，2上的圖象是連續(xù)不斷的，

π所以f(x)在0，2內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).

π又由(1)知f(x)在0，2上單調(diào)遞增，

π故f(x)在0，2內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).π

2當(dāng)

x∈

，π時(shí)，令

g(x)＝f′(x)＝sin

x＋xcos

x.2π

π

2由

g

＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且