2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列綠色能源圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是()

A.B.

C.D.

2.下列從左到右的變形中，是因式分解的是()

A.B.

C.D.

3.不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是()

A.B.

C.D.

4.計(jì)算的結(jié)果為()

A.B.C.D.

5.要使分式有意義，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

6.如圖，若平行四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到平行四邊形點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)恰好落在邊上，則的度數(shù)等于()

A.

B.

C.

D.

7.如圖，中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若平分，，線段的長(zhǎng)為()

A.

B.

C.

D.

8.在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是()

A.，B.，

C.，D.，

9.若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為()

A.B.C.D.

10.如圖，的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，且，，連接，下列結(jié)論：；；；，其中成立的個(gè)數(shù)為()

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

11.若分式的值為，則的值是______．

12.一個(gè)邊形的內(nèi)角和是它外角和的倍，則邊數(shù)______．

13.關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，則的取值范圍是______．

14.如圖，直線的解析式為，直線的解析式為，則不等式的解集是______．

15.如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，把沿軸向右平移到，若四邊形的面積為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

16.如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，連接，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為______．

三、計(jì)算題（本大題共2小題，共12.0分）

17.解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

18.因式分解：

；

．

四、解答題（本大題共8小題，共74.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

19.本小題分

先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．

20.本小題分

在由邊長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)及的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

圖中的面積為______；

將先向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，畫出；

將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的，并直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)．

21.本小題分

下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．

已知：如圖，在中，點(diǎn)，分別是，邊的中點(diǎn)．

求證：，且．

方法一：

證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，．

方法二：

證明：如圖，取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．

22.本小題分

閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)：

在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替即換元，不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．

下面是小涵同學(xué)用換元法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過(guò)程．

解：設(shè)，則

原式第一步

第二步

第三步

第四步

請(qǐng)根據(jù)上述材料回答下列問題：

小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的______

A.提取公因式法

B.平方差公式法

C.完全平方公式法

老師說(shuō)，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請(qǐng)你寫出該因式分解的最后結(jié)果：______．

請(qǐng)你用換元法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．

23.本小題分

如圖，在平行四邊形中，的角平分線恰好經(jīng)過(guò)邊的中點(diǎn)，且與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

若，求的長(zhǎng)；

如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)求證：四邊形是平行四邊形．

24.本小題分

某文具店準(zhǔn)備構(gòu)甲、乙兩種水筆進(jìn)行銷售，每支進(jìn)價(jià)和利潤(rùn)如表：已知花費(fèi)元購(gòu)進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)元購(gòu)進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等．

求甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為多少元；

若該文具店準(zhǔn)備拿出元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種水筆，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過(guò)乙種水筆數(shù)量的倍，問該文具店如何進(jìn)貨能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元．

甲水筆乙水筆

每支進(jìn)價(jià)元

每支利潤(rùn)元

25.本小題分

操作發(fā)現(xiàn)：

如圖，為等邊三角形，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，將三角板的角按如圖所示方式放置，與邊交于點(diǎn)，連接．

請(qǐng)直接寫出結(jié)果：

______；

與的數(shù)量關(guān)系是______；

類比探究：

如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到將一個(gè)含角的三角板按如圖所示方式放置，與邊交于點(diǎn)，．

求的度數(shù)；

若，，試求的長(zhǎng)．

26.本小題分

如圖，以平行四邊形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

求點(diǎn)的坐標(biāo)；

連結(jié)，，，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求四邊形的面積．

當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______直接寫出答案即可．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、原圖既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、原圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、原圖是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、原圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．

故選：．

根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．

本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．

2.【答案】

【解析】解：，從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；

B.，從左到右的變形是整式乘法，不屬于因式分解，故選項(xiàng)不符合題意；

C.該等式的右邊不是整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.該等式的右邊不是整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意．

故選：．

因式分解就是將一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．

本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解．

3.【答案】

【解析】解：，

，

故選：．

原不等式移項(xiàng)可得，據(jù)此可得答案．

本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：

一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；

二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．

4.【答案】

【解析】解：原式

．

故選：．

原式通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算即可．

此題考查了分式的加減法，分式加減法的關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找出最簡(jiǎn)公分母．

5.【答案】

【解析】解：由題意可知：，

，

故選：．

根據(jù)分母不為零即可求出答案．

本題考查分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解分式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．

6.【答案】

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)得：，，

，

四邊形是平行四邊形，

，

，

故選：．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得，再利用平行四邊形的性質(zhì)可得，從而利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：如圖，延長(zhǎng)交于，

平分，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

是的中位線，

，

故選：．

延長(zhǎng)交于，證明≌，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，，再求出并判斷出是的中位線，根據(jù)三角形的中位線等于第三邊的一半解答．

本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：、，，

四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、由，，無(wú)法判斷四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)B符合題意；

C、，

，

，

，則，

四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、，，

四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：．

由平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

本題考查平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．

9.【答案】

【解析】解：方程兩邊都乘，得

，

由最簡(jiǎn)公分母，可知增根是，

把代入整式方程，

，

．

故選：．

增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為的根．有增根，那么最簡(jiǎn)公分母，所以增根是，把增根代入化為整式方程的方程即可求出未知字母的值．

本題考查了分式方程中的增根問題，通?？砂慈缦虏襟E進(jìn)行：確定增根的值；化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．

10.【答案】

【解析】解：四邊形為平行四邊形，，

，，，

，，

平分，

，

且，

為等邊三角形，

，

，

，

，

，故正確；

，，

，

，

，故錯(cuò)誤；

，故正確；

，，

是的中點(diǎn)，

：：，

：：，

：：，

：：，

，故正確．

故選：．

結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可證明為等邊三角形，由可判定，證明，可判定；由平行四邊形的面積公式可判定；利用三角形中線的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積可求解判定．

本題主要考查平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，靈活運(yùn)用三角形的面積解決問題是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了分式的值為零的條件，若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：分子為；分母不為，這兩個(gè)條件缺一不可．

根據(jù)分式的值為零的條件可以解答本題．

【解答】

解：由分式的值為，得

且，

解得．

故答案為：．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算公式以及多邊形的外角和定理，比較簡(jiǎn)單．

利用多邊形的外角和是，一個(gè)邊形的內(nèi)角和等于它外角和的倍，則內(nèi)角和是，而邊形的內(nèi)角和是，則可得到方程，解之即可．

【解答】

解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，

根據(jù)題意列方程，得：

，

解得：，

故答案為．

13.【答案】且

【解析】

【分析】

此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是正確得出分母不為零．首先求出關(guān)于的分式方程的解，然后根據(jù)解為負(fù)數(shù)，求出的取值范圍即可．

【解答】

解：，

，

關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，

，

解得：，

當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，

，

的取值范圍是：且．

故答案為：且．

14.【答案】

【解析】解：將代入，得：，

解得，

則直線的直線的交點(diǎn)為，

不等式的解集是，

故答案為：．

將代入，求出相應(yīng)的的值，即可得到兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再觀察圖象，即可寫出不等式的解集．

本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出交點(diǎn)坐標(biāo)．

15.【答案】

【解析】解：把沿軸向右平移到，

四邊形是平行四邊形，

，和的縱坐標(biāo)相同，

四邊形的面積為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

，

，

故答案為．

根據(jù)平移的性質(zhì)得出四邊形是平行四邊形，從而得和的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)四邊形的面積求得的長(zhǎng)，即可求得的坐標(biāo)．

本題考查了坐標(biāo)與圖形的變換平移，平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，求得平移的距離是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：，，

，

，

，

，

四邊形是平行四邊形，

，，

，

最短也就是最短，

過(guò)作的垂線，

，，

∽，

，

即，

則的最小值為．

故答案為：．

以，為鄰邊作平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可知是中點(diǎn)，最短也就是最短，所以應(yīng)該過(guò)作的垂線，然后根據(jù)和相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的最小值．

本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出高線構(gòu)造出相似三角形．

17.【答案】解：，

解得，

解得，

所以不等式組的解集為，

在數(shù)軸上表示為：

【解析】分別解兩個(gè)不等式得到和，再根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集，然后用數(shù)軸表示出解集．

本題考查了解不等式組：求不等式組的解集的過(guò)程叫解不等式組．解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．

18.【答案】解：

；

．

【解析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．

先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答；

先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答．

19.【答案】解：原式

，

當(dāng)時(shí)，原式．

【解析】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．

先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將的值代入計(jì)算即可．

20.【答案】

【解析】解：如圖，的面積；

如圖，為所作；

如圖，為所作，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

利用割補(bǔ)法計(jì)算的面積；

利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)變換規(guī)律寫出、、的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；

利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、即可．

本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．

21.【答案】解：選擇方法一，

證明如下：在和中，

，

≌，

，，

，

，

，

四邊形為平行四邊形，

，，

，

，；

方法二，證明≌，

得到四邊形為平行四邊形，仿照方法一證明．

【解析】證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，再證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明即可．

本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

22.【答案】

【解析】解：原式第一步

第二步

第三步

第四步，

由題意可知，選項(xiàng)C符合題意；

故答案為：．

，

設(shè)，

原式，

，

，

，

；

故答案為：；

設(shè)，

原式，

，

，

，

．

根據(jù)完全平方公式進(jìn)行分解因式；

最后再利用完全平方公式將結(jié)果分解到不能分解為止；根據(jù)材料，用換元法進(jìn)行分解因式．

本題考查了因式分解換元法，公式法，也是閱讀材料問題，熟練掌握利用公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】解：四邊形是平行四邊形，

，

，

是的平分線，

，

，

，即的長(zhǎng)為；

證明：四邊形是平行四邊形，

，，

，

是的中點(diǎn)，

，

在和中，

，

≌，

，

由可知，，

，

，

，

又，

四邊形是平行四邊形．

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得，則，再由角平分線定義得，則，然后由等腰三角形的判定即可得出結(jié)論；

證≌，得，再由等腰三角形的性質(zhì)得，則，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

24.【答案】解：由題意可得：

解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，

，

答：甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為元、元；

設(shè)利潤(rùn)為元，甲種水筆購(gòu)進(jìn)支，

，

，

隨的增大而增大，

購(gòu)進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過(guò)乙種水筆數(shù)量的倍，

，

解得，，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值，

此時(shí)，，

答：該文具店購(gòu)進(jìn)甲種水筆支，乙種水筆支時(shí)，能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．

【解析】根據(jù)花費(fèi)元購(gòu)進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)元購(gòu)進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等，可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以求得甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為多少元；

根據(jù)題意，可以得到利潤(rùn)與購(gòu)進(jìn)甲種水筆數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)要求購(gòu)進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過(guò)乙種水筆數(shù)量的倍，可以得到購(gòu)進(jìn)甲種水筆數(shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到問該文具店如何進(jìn)貨能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元．

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．

25.【答案】

【解析】解：的度數(shù)為，理由如下：

將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

≌，

．

為等邊三角形，

，

．

故答案為：；

結(jié)論：，理由如下：

將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

≌，

，，

，

．

在與中，

，

≌，

．

故答案為：；

，，

，

由旋轉(zhuǎn)可知，≌，

，

；

連接．

，，

，

在和中，

，

≌，

，

在中，