動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題

動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)----問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題（一）點(diǎn)動(dòng)問題．1．（09年徐匯區(qū)）如圖，中，，，點(diǎn)在邊上，且，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，分別交邊于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的長；（2）當(dāng)以點(diǎn)為圓心長為半徑的⊙和以點(diǎn)為圓心長為半徑的⊙相切時(shí)，求的長；（3）當(dāng)以邊為直徑的⊙與線段相切時(shí)，求的長．[題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)]本題改編自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一線三角(三等角)問題,試題在原題的基礎(chǔ)上改編出第一小題,當(dāng)E點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滲透入圓與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第二小題,加入直線與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第三小題．區(qū)分度測量點(diǎn)在直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系,從而利用方程思想來求解．[區(qū)分度性小題處理手法]1．直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程．2．圓與圓的位置關(guān)系的存在性(相切問題)的處理方法：利用d=R±r()建立方程．3．解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.[略解]解：（1）證明∽∴，代入數(shù)據(jù)得，∴AF=2（2）設(shè)BE=,則利用（1）的方法，相切時(shí)分外切和內(nèi)切兩種情況考慮：外切，，；內(nèi)切，，．∴當(dāng)⊙和⊙相切時(shí)，的長為或．（3）當(dāng)以邊為直徑的⊙與線段相切時(shí)，．類題=1\*GB2⑴一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：09楊浦25題（四月、五月）、09靜安25題、=2\*GB2⑵兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)：09閘北25題、09松江25題、09盧灣25題、09青浦25題．（二）線動(dòng)問題在矩形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)O在對角線AC上，直線l過點(diǎn)O，且與AC垂直交AD于點(diǎn)E.(1)若直線l過點(diǎn)B，把△ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對稱中心A＇重合，求BC的長；ABCDEOlA′(2)若直線l與AB相交于點(diǎn)F，且AO＝ABCDEOlA′②探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長為半徑的圓與直線l相切，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．[題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)]ABCDABCDEOlF[區(qū)分度性小題處理手法]1．找面積關(guān)系的函數(shù)解析式，規(guī)則圖形套用公式或用割補(bǔ)法，不規(guī)則圖形用割補(bǔ)法．2．直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程．3．解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.[略解](1)∵A’是矩形ABCD的對稱中心∴A’B＝AA’＝AC∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6(2)①，，，∴，本題與例1的區(qū)別只是AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化,其解題方法與上面一致,在三角形AOB中,,則,即,從而當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時(shí)，∠C所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，即,當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，∠C所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由∠AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-1200=2400，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠C=1200，因此或∠C=1200.變式2:如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，若AB=1，判斷∠AOB的大小是否會(huì)隨點(diǎn)A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則∠AOB=600，即∠AOB的大小不會(huì)隨點(diǎn)A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個(gè)三角形組成，其中三角形AOB的面積為，而三角形AOD與三角形BOC的面積之和為，又由梯形的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和，要四邊形ABCD的面積最大，只需EH最大，顯然EH≤OE=，當(dāng)AB∥CD時(shí)，EH=OE，因此四邊形ABCD的面積最大值為+=.對于本題同學(xué)們還可以繼續(xù)思考:四邊形ABCD的周長的變化范圍.變式3:如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，另一個(gè)頂點(diǎn)C在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明理由（廣州市2000年考題）分析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，連結(jié)CO，由于CD≤CO，當(dāng)O與D重合，CD=CO，因此，當(dāng)CO與AB垂直時(shí)，即C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，其三角形ABC的面積最大。本題也可以先猜想，點(diǎn)C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積最大，故只需另選一個(gè)位置C1（不與C重合），，證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖顯然三角形ABC1的面積=AB×C1D，而C1D<C1O=CO,則三角形ABC1的面積=AB×C1D<AB×C1O=三角形ABC的面積,因此,對于除點(diǎn)C外的任意點(diǎn)C1,都有三角形ABC1的面積小于三角形三角形ABC的面積,故點(diǎn)C為半圓中點(diǎn)時(shí),三角形ABC面積最大.本題還可研究三角形ABC的周長何時(shí)最大的問題。提示：利用周長與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長最大，AB為常數(shù)，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ΔABC的面積，因此ΔABC的面積最大時(shí)，AC+BC最大，從而ΔABC的周長最大。從以上一道題及其三個(gè)變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動(dòng)態(tài)幾何問題的常見方法有:特殊探路，一般推證例2：如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于A，⊙O1的半徑為3，⊙O2的半徑為2，點(diǎn)P為⊙O1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），直線PA交⊙O2于點(diǎn)C，PB切⊙O2于點(diǎn)B，則的值為（A）（B）（C）（D）分析：本題是一道選擇題，給出四個(gè)答案有且只有一個(gè)是正確的，因此可以取一個(gè)特殊位置進(jìn)行研究，當(dāng)點(diǎn)P滿足PB⊥AB時(shí)，可以通過計(jì)算得出PB=BC×AP=BP×AB，因此BC=，在三角形BPC中，PC=，所以，=選（B）當(dāng)然，本題還可以根據(jù)三角形相似得，即可計(jì)算出結(jié)論。作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個(gè)特殊情況，還要進(jìn)一步證明對一般情況也成立。例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動(dòng)并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷OEF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.AEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。分析：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特殊情況入手。最特殊情況為E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，顯然有ΔEOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E與A無限接近時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C無限接近，此時(shí)ΔEOF無限接近ΔAOC，而ΔAOC為等腰直角三角形，幾種特殊情況都可以得出ΔEOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？∠EOF為直角嗎？能否證明。如果它們成立，便可以推出三角形OFC與三角形OEA全等，一般情況下這兩個(gè)三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：OA=OC，∠OCF=∠OAE，而AE=CF，則ΔOEA≌ΔOFC，則OE=OF，且∠FOC=∠EOA，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，則∠EOF為直角，故ΔEOF為等腰直角三角形。動(dòng)手實(shí)踐，操作確認(rèn)例4）在⊙O中，C為弧AB的中點(diǎn)，D為弧AC上任一點(diǎn)（與A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB(B)AC+CB<AD+DB(C)AC+CB>AD+DB(D)AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定分析:本題可以通過動(dòng)手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的長度，可以嘗試換幾個(gè)位置量一量，得出結(jié)論（C）例5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點(diǎn)C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD，延長CA和CD與大圓分別交于點(diǎn)B、E，則下列結(jié)論中正確的是（*）（A）（B）（C）（D）的大小不確定分析：本題可以通過度量的方法進(jìn)行，選（B）本題也可以可以證明得出結(jié)論，連結(jié)DO、EO，則在三角形OED中，由于兩邊之差小于第三邊，則OE—OD<DE,即OB—OA<DE,因此,即建立聯(lián)系，計(jì)算說明例6：如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M在邊DC上，且DM=1，N為對角線AC上任意一點(diǎn)，則DN+MN的最小值為.分析：能否將DN和NM進(jìn)行轉(zhuǎn)化，與建立三角形兩邊之和大于第三邊等問題，很自然地想到軸對稱問題，由于ABCD為正方形，因此連結(jié)BN，顯然有ND=NB，則問題就轉(zhuǎn)化為BN+NM的最小值問題了，一般情況下：BN+NM≥BM,只有在B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值為BM=本題通過建立平面上三個(gè)點(diǎn)中構(gòu)成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時(shí)的兩邊之和等于第三邊的特殊情況求最小值，最后通過勾股定理計(jì)算得出結(jié)論。例7：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動(dòng)并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.AEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。（即例3的第2、第3問）分析：(2)本題的方法很多，其一，可以建立四邊形AEOF與AE長的函數(shù)關(guān)系式，如設(shè)AE=x，則AF=，而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比=，而三角形AOB的面積=，則三角形AOE的面積=，同理三角形AOF的面積=，因此四邊形AEOF的面積=；即AEOF的面積不會(huì)隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個(gè)定值，且為2.當(dāng)然，本題也可以這樣思考，由于三角形AOE與三角形COF全等，則四邊形AEOF的面積與三角形AOC的面積相等，而AOC的面積為2，因此AEOF的面積不會(huì)隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個(gè)定值，且為2.本題通過建立函數(shù)關(guān)系或有關(guān)圖形之間的關(guān)系,然后通過簡單的計(jì)算得出結(jié)論的方法應(yīng)用比較廣泛.第(3)問,也可以通過建立函數(shù)關(guān)系求得,AEF的面積=,又的變化范圍為,由二次函數(shù)知識(shí)得AEF的面積的范圍為:AEF的面積.本題也可以根據(jù)三角形AEF與三角形OEF的面積關(guān)系確定AEF的面積范圍:不難證明AEF的面積≤OEF的面積，它們公用邊EF，取EF的中點(diǎn)H，顯然由于OEF為等腰直角三角形，則OH⊥EF，作AG⊥EF，顯然AG≤AH=AG（=），所以AEF的面積≤OEF的面積，而它們的和為2，因此AEF的面積.本題包容的內(nèi)涵十分豐富，還可以提出很多問題研究：比如，比較線段EF與AO長度大小等（可以通過A、E、O、F四點(diǎn)在以EF為直徑的圓上得出很多結(jié)論）例8：如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)。如果Ｐ、Ｑ同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6），那么：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，三角形QAP為等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？分析：（1）當(dāng)三角形QAP為等腰三角形時(shí)，由于∠A為直角，只能是AQ=AP，建立等量關(guān)系，，即時(shí)，三角形QAP為等腰三角形；（2）四邊形QAPC的面積=ABCD的面積—三角形QDC的面積—三角形PBC的面積==36，即當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形QAPC的面積不變。（3）顯然有兩種情況：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，由相似關(guān)系得或，解之得或建立關(guān)系求解，包含的內(nèi)容多，可以是函數(shù)關(guān)系，可以是方程組或不等式等，通過解方程、或函數(shù)的最大值最小值，自變量的取值范圍等方面來解決問題；也可以是通過一些幾何上的關(guān)系，描述圖形的特征，如全等、相似、共圓等方面的知識(shí)求解。作為訓(xùn)練同學(xué)們可以綜合上述方法求解：練習(xí)1已知ABC為直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB為直角，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是BC邊上動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合）如圖，當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)，求線段CP的長。當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由。第1問很易得出P為AB中點(diǎn)，則CP=第2問：如果CPQ為直角三角形，由于PQ與AC不平行，則∠Q不可能為直角又點(diǎn)P不與A重合，則∠PCQ也不可能為直角，只能是∠CPQ為直角，即以CQ為直徑的圓與AB有交點(diǎn)，設(shè)CQ=2x，CQ的中點(diǎn)D到AB的距離DM不大于CD，，即，所