無窮級(jí)數(shù)習(xí)題集課件

無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課2019年8月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系、主要內(nèi)容un為常數(shù)∑an為函數(shù)an(x)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)取x=函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正收冪級(jí)數(shù)三級(jí)數(shù)項(xiàng)半泰勒展開式‖博氏展開式數(shù)1R(x)→0滿足狄氏條件豪勒級(jí)數(shù)民級(jí)數(shù)在收斂級(jí)數(shù)與數(shù)條件下相互轉(zhuǎn)化數(shù)數(shù)或函數(shù)函數(shù)2019年8月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義∑n=1+l2+a3++L+級(jí)數(shù)的部分和Sn=m1+n2+…+an=∑級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散)分lms存在(不存在)2019年8月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變性質(zhì)2:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來的和級(jí)數(shù)收斂的必要條件:limn=0.2019年8月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法般項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.若S→S,則級(jí)數(shù)收斂;2.當(dāng)n→∞,n→0,則級(jí)數(shù)發(fā)散;3按基本性質(zhì)4絕對(duì)收斂4充要條件4絕對(duì)收斂5比較法5交錯(cuò)級(jí)數(shù)6比值法(萊布尼茨定理)7根值法2019年8月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定義∑un,n≥0審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和所成的數(shù)列S有界(1)比較審斂法若∑an收斂(發(fā)散)且nsun(an≤n),則∑vn收斂(發(fā)散)2019年8月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系(2)比較審斂法的極限形式設(shè)∑n與∑v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果li。則(1)當(dāng)0<l<+∞時(shí),級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)=0時(shí),若∑v收斂,則∑n收斂;(3)當(dāng)1=+0時(shí),若∑v發(fā)散,則∑ln發(fā)散;2019年8月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系3)極限審斂法設(shè)∑n為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果limnu=l>0(或ilimnu=∞),n→0則級(jí)數(shù)∑ln發(fā)散;如果有P>1,使得limn"un存在,n→則級(jí)數(shù)∑un收斂2019年8月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系(4)比值審斂法(達(dá)朗貝爾D'Alembert判別法)設(shè)∑a是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果lmn“=p(p數(shù)或+∞)則p<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂;p>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;p=1時(shí)失效(5)根值審斂法(柯西判別法設(shè)∑un是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果im"un=p(P為數(shù)或+∞),則p<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂;p>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;p=1時(shí)失效2019年8月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)∑11)”a或∑(-1)an(其中un>0)H=1萊布尼茨定理如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:(i)ln≥ln+1(n=1,2,3,…);(i)l