上海求知中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

上海求知中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知F1、F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為(

)A．（1，2] B．（1，3] C．[2，3] D．[3，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由定義知：|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，==，當(dāng)且僅當(dāng)，即|PF2|=2a時(shí)取得等號(hào)．再由焦半徑公式得雙曲線的離心率e＞1的取值范圍．【解答】解：由定義知：|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|==，當(dāng)且僅當(dāng)，即|PF2|=2a時(shí)取得等號(hào)設(shè)P（x0，y0）（x0≤﹣a）由焦半徑公式得：|PF2|=﹣ex0﹣a=2aex0=﹣3ae=﹣≤3又雙曲線的離心率e＞1∴e∈（1，3]故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意焦半徑公式的合理運(yùn)用．2.用三段論進(jìn)行如下推理：“對(duì)數(shù)函數(shù)（a＞0，且a≠1）是增函數(shù)，因?yàn)槭菍?duì)數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù).”你認(rèn)為這個(gè)推理（

）A．大前提錯(cuò)誤

B．小前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤

D．是正確的參考答案：A3.在等差數(shù)列{an}中，a2=6，a5=15．若，則數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)和等于

()A．30

B．45

C．90

D．186參考答案：C4.將10個(gè)相同的小球裝入3個(gè)編號(hào)為1、2、3的盒子(每次要把10個(gè)球裝完)，要求每個(gè)盒子里球的個(gè)數(shù)不少于盒子的編號(hào)數(shù)，這樣的裝法種數(shù)為

(

)A．9

B．12

C．15

D．18參考答案：C5.已知復(fù)數(shù)，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則（

）A．

B．5

C.10

D．25參考答案：B6.直線與雙曲線的左支、右支分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，求得和的關(guān)系，由離心率公式即可求得雙曲線的離心率．【詳解】由題意可知：直線與y軸交于C點(diǎn)，△AOB為等腰直角三角形，則∠BAO=∠ABO=45°，則AC=2b，△AOB為等腰直角三角形，A（-2b，2b），將A代入雙曲線，可得，雙曲線的離心率，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的離心率公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（f（﹣10））等于（）A． B．10 C．﹣ D．﹣10參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，∴f（﹣10）==，f（f（﹣10））=f（）==．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．8.不等式≤0的解集為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【專題】計(jì)算題．【分析】由不等式可得，由此解得不等式的解集．【解答】解：由不等式可得，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集為，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．9.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為

（

）

A.

B.

C.

D．參考答案：B10.已知圓C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，從點(diǎn)P（﹣1，﹣3）發(fā)出的光線，經(jīng)x軸反射后恰好經(jīng)過(guò)圓心C，則入射光線的斜率為（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：C【分析】根據(jù)反射定理可得圓心C（2，﹣1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D（2，1）在入射光線上，再由點(diǎn)P（﹣1，﹣3）也在入射光線上，利用斜率公式求得入射光線的斜率．【解答】解：根據(jù)反射定律，圓心C（2，﹣1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D（2，1）在入射光線上，再由點(diǎn)P（﹣1，﹣3）也在入射光線上，可得入射光線的斜率為=，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反射定理的應(yīng)用，直線的斜率公式，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，已知是橢圓

的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為

▲

參考答案：12.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F1作一條l交雙曲線左支于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|=4，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則△PF2Q的周長(zhǎng)是

．參考答案：12【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】△PF2Q的周長(zhǎng)=|PF2|+|QF2|+|PQ|，由雙曲線的性質(zhì)能夠推出|PF2|+|QF2|=8，從而推導(dǎo)出△PF2Q的周長(zhǎng)．【解答】解：由題意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=4∴|PF2|+|QF2|﹣4=4，∴|PF2|+|QF2|=8，∴△PF2Q的周長(zhǎng)=|PF2|+|QF2|+|PQ|=8+4=12，故答案為12．13.命題?x∈R，x2﹣x+3＞0的否定是．參考答案：?x∈R，x2﹣x+3≤0【考點(diǎn)】命題的否定；特稱命題．【分析】根據(jù)全稱命題的否定要改成存在性命題的原則，可寫出原命題的否定【解答】解：原命題為：?x∈R，x2﹣x+3＞0∵原命題為全稱命題∴其否定為存在性命題，且不等號(hào)須改變∴原命題的否定為：?x∈R，x2﹣x+3≤0故答案為：?x∈R，x2﹣x+3≤014.拋物線x2=4y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．參考答案：2【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】直接利用拋物線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：拋物線x2=4y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：p=2．故答案為：2．15.二面角的大小是60°，線段.，與所成的角為30°.則與平面所成的角的正弦值是

.參考答案：略16.已知函數(shù)在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：17.已知橢圓+=1的長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m=

．參考答案：8【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)條件可得a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12，由焦距為4，即c=2．即可得到m的值．【解答】解：由橢圓+=1的長(zhǎng)軸在y軸上，則a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12．由焦距為4，即2c=4，即有c=2．即有2m﹣12=4，解得m=8．故答案為：8三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(12分)已知雙曲線的方程是16x2－9y2=144.（1）求這雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；（2）設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.參考答案：（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，焦點(diǎn)坐標(biāo)：

離心率：漸近線方程：

6分（2）由題，在中，

8分=0所以，。12分19.（本題滿分12分）在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.(I)求cosA的值;

(II)求c的值.參考答案：20.已知直線過(guò)定點(diǎn)與圓：相交于、兩點(diǎn)．求：（1）若，求直線的方程；（2）若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，求弦的方程．參考答案：解：（1）由圓的參數(shù)方程，設(shè)直線的參數(shù)方程為①，將參數(shù)方程①代入圓的方程得，∴△，所以方程有兩相異實(shí)數(shù)根、，∴，化簡(jiǎn)有，解之或，從而求出直線的方程為或．———————————6分（2）若為的中點(diǎn)，所以，由（1）知，得，故所求弦的方程為．——————10分略21.設(shè)（Ⅰ）求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；（Ⅱ）討論g(x)與的大小關(guān)系；參考答案：（Ⅰ）由題設(shè)知，∴令0得=1，當(dāng)∈（0，1）時(shí)，＜0，故（0，1）是的單調(diào)減區(qū)間。當(dāng)∈（1，+∞）時(shí)，＞0，故（1，+∞）是的單調(diào)遞增區(qū)間，因此，=1是的唯一值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為（Ⅱ）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)22.給出兩個(gè)命題，命題p：關(guān)于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集為?，命題q：函數(shù)y=（2a2﹣a）x為增函數(shù)．若p∨q為真，求實(shí)數(shù)a取值的范圍．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．【專題】集合思想；轉(zhuǎn)化法；集合；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】由題意求出命題p，q為真命題時(shí)a的取值范圍，再求出由p真q假，p假q真以及p、q都為真時(shí)a的取值范圍，求出它們的并集即可．【解答】解：∵命題p：不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集是?，∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得a＜﹣1或a＞；又∵命題q：函數(shù)y=（2a2﹣a）x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴2a2﹣a＞1，解得a＜﹣或a＞1；又p∨q為真命題，則p，q一真一假或p、q