2013年課標(biāo)版模擬試卷(1)理科數(shù)學(xué)試題

2013年課標(biāo)版模擬試卷（1）理科數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生要務(wù)必填寫答題卷上密封線內(nèi)的有關(guān)項(xiàng)目．2．選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答案代號填在答題卷對應(yīng)的空格內(nèi)．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．請考生保持答題卷的整潔．考試結(jié)束后，將答題卷和答題卡交回．參考公式：①柱體的體積公式V=Sh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高.②錐體的體積公式V=1Sh，其中S為柱體的底面積，h為錐體的高.③標(biāo)準(zhǔn)差S=其中了為樣本TX2,,x的平均數(shù)．

n一、選擇題：本大題共小題，每小題5分，滿分目要求的．L設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)?等于2+i分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題12121212A.一+—iB. ——+—iC.—,——iD.————i555555552.命題P:DX∈R,X2+1≥1,則「P是A.DX∈R,X2+1<1B.ΞX∈R,X2+1≤1C.ΞX∈R,X2+1<1D.ΞX∈R,X2+1≥13.已知a=(1,2),b=(0,1),A.2C.—2c=(k,—2),若(a+2b)1C,則k=B.8D.—84.一個直棱柱被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為A.9 B.1023C.11 D.——2俯視圖第4題圖5.為了從甲乙兩人中選一人參加數(shù)學(xué)競賽,老師將兩人最近的6次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計,甲乙兩人的得分情況如莖葉圖所示，若甲乙兩人的平均成績分別是七，甲X>X,乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)該選乙參加比賽甲乙X>X,甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)該選甲參加比賽甲乙X<X,甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)該選甲參加比賽甲乙X<X,乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)該選乙參加比賽甲乙X,則下列說法正確的是乙甲 乙6881329y≤X第5題圖6.已知實(shí)數(shù)X,y滿足^X+y≤1,則目標(biāo)函數(shù)Z=2X—y的最大值為

y≥—1A.一31B.2C.5 D.67.已知集合M二(xIX-41+1X-11<5)a<X<6)且MnN=Sb)則a+b=N二A.6 B.7 C.8 D.98對于函數(shù)y=f(X)，如果存在區(qū)間［m,n］，同時滿足下列條件：①f(X)在［m,n］內(nèi)是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是［m,n］時，f(X)的值域也是［m,n］，則稱［m,n］是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.若函數(shù)f(X)=a+1-1(a>0)存在“和諧區(qū)間”，則a的取值范圍是aXA.(0,1) B.(0,2) C.(2,2) D.(1,3)二、填空題：本大共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.一必做題?題9.已知函數(shù)y=f(X)是奇函數(shù)，當(dāng)X>0時，f(X)=logX，則f(f(g)的值等于 .2 4 —已知拋物線X2=4y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離是5，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是. (兀、一一..一一..函數(shù)y=SinX+SinX--的最小正周期為V3).某學(xué)生在參加政、史、地三門課程的學(xué)業(yè)水平考試中，取得A等級的概率分別為彳、不、彳，，最大值是 ξ0123P6125ab-24-H5且三門課程的成績是否取得A等級相互獨(dú)立記ξ為該生取得A等級的課程數(shù)，其分布列如表所示，則數(shù)學(xué)期望Eξ的值為.觀察下列不等式：1 11— 111,—①√2<1:②72+彘<”2,③√2+表+42<3；???則第5個不等式為.二選做題? 題，考生只能從中選做一題兀.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在極坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)(1,0)且與直線θ=-(P∈R)垂直，則直線l極坐標(biāo)方程為..(幾何證明選講)如圖，M是平行四邊形ABCD的邊AB的

中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)M分別交AD,AC于點(diǎn)E,F.若AD=3AE，則AF:FC=.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟..(本題滿分12分)如圖，在△ABC中，/C=45,D為BC中點(diǎn)，BC=2.7記銳角^ADB=α.且滿足cos2α=--—.（1）求CoSα；（2）求BC邊上高的值.17．（本題滿分12分）數(shù)列｛〃｝的前n項(xiàng)和為S=2n+1-2，數(shù)列毋｝是首項(xiàng)為a，

n n n1成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列｛a｝與毋｝的通項(xiàng)公式；

nn（2）設(shè)C=幺，求數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和T.

na n nn18．（本題滿分14分）如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，

且AD=3DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC=3AAC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,PD=DB.（1）求證：PA±CD；（2）求二面角C-PB-A的余弦值.公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且b,b,b1 3 1119．（本題滿分14分）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬元）與日產(chǎn)量X（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C=3+X,每日的銷售額S（單位：萬元）與日產(chǎn)量X的函數(shù)關(guān)系式kx—83x+S=<+5,(0<X<6)J4,(x≥6)已知每日的利潤L=S—C，且當(dāng)x=2時，L=3.(1)求k的值；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達(dá)到最大，并求出最大值．20.(本題滿分14分)設(shè)橢圓—+~~=1(a>b>O)的左右頂點(diǎn)分別為A(~2?>0)?>B(2,0)，離心率e=――.

a2b2 2過該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ?X軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長線上，且IQPI=IPCI.(1)求橢圓的方程；(2)求動點(diǎn)C的軌跡E的方程；(3)設(shè)直線AC(C點(diǎn)不同于A,B)與直線x=2交于點(diǎn)R,D為線段RB的中點(diǎn)，試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.21.(本題滿分14分)設(shè)g(X)=e,f(X)=g[λx+(1-λ)a]-λg(X)，其中a,λ是常數(shù)，且0<λ<1.(1)求函數(shù)f(x)的極值；ex—1.(2)證明：對任意正數(shù)a,存在正數(shù)x，使不等式 1<a成立；x(3)設(shè)λ,λ∈R+，且λ+λ=1,12 1 2證明：對任意正數(shù)a,a都有：aλ1a%≤λa+λa.2013年課標(biāo)版模1擬2試卷(112)理11科數(shù)2學(xué)2試題參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本大題共小題，每小題分，滿分分.題號12345678答案ACBCDCBA二、填空題：本大共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.9 11111f9.-110.±4 11.2兀(2分)，％3(3分)12.— 13.—=+―；=+―+―+—<v55 √2J6J12√20√3014.2Psin(θ+—)=1(或2Pcos(θ——)=1、PCoSθ+√3pSinθ=1) 15.1:46 3三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本題滿分12分)7解析：(1)Vcos2α=2cos2α-1=-一25,,—?.?α∈(0,-),

29.?.cos2α=——25 5分3.?.cosα=一5，、 、、r ，，、1?一仁 1 4（2）方法一、由（1）得Sinα=%-1—cos2α=-,?.?/CAD=ZADB-ZC=α—45,兀 兀 八..?！?.?.SmZCAD=sm（α-一）=SmαCoS--CoSαSm—=——,4 4 4 10 9分在AACD中，由正弦定理得:CD_AD

SinZCAD~SinZC1<2CD?SinZC2~2'_??.AD= =-2-=5,SinZCAD √2^10^4則高h(yuǎn)=AD?SinZADB=5X=4.5方法二、如圖，作BC邊上的高為AHDB3在直角△ADH中，由（）可得coSα==-AD5則不妨設(shè)AD=5m,則DH=3m,AH=4m 11分注意到ZC=45。，則AAHC為等腰直角三角形，所以CD+DH=AH,貝U1+3m=4m° 10分所以m=1，即AH=4 12分17．（本題滿分12分）解析：（1）當(dāng)n≥2，時a=S—S=2n+1—2n=2n,nn n-1又a=S=21+1—2=2=21,也滿足上式，11所以數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=2n.nn2分3分b=a=112,設(shè)公差為d,則由b1，b3,b11成等比數(shù)列,得（2+2d）2=2X（2+10d）,解得d=0（舍去）或d=3,所以數(shù)列g(shù)｝的通項(xiàng)公式為bnn（2）由（1）可得Tnbb=3n-1．

b4分5分6分b+-n

an218…52T=2+—+—+21 2222 233n—1…+- ，2n-13n—1+ 2n7分8分=—++-÷+T+=2+上+1+，a1a2a3n兩式式相減得T=2+n—+—+21 223n-111分33+32n-1 2n3 13（1-上）,

T=2+Z——2n--

n1-123n-1 3n+5 =5 ,2n2n12分18．（本題滿分14分）解析：（I）法1:連接CO,由3AD=DB知，點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)，又???AB為圓O的直徑，.??AC1CB,由√3AC=BC知，/CAB=60,??.AACO為等邊三角形，從而CD1AO.:點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,???PD1平面ABC，又CDU平面ABC,3分??.PD±CD,5分由PDnAO=D得，CD±平面PAB,又PAu平面PAB,.?.PA±CD. -----（注：證明CD1平面PAB時，也可以由平面PAB±平面ACB得到，酌情給分.）

法2:,「AB為圓O的直徑，.?.AC±CB,6分在RtAABC中設(shè)AD=1,由3AD=DB,√3AC=BC得，DB=3,AB=4,BC=2√3,BD_BCBC-AB，則ABDCSABCA,2??./BCA=/BDC，即CD1AO.???點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,3分??.PD±平面ABC.??.PD±CD,由PD^A0=D得

又PAu平面PAB,又CDU平面ABC,5分CD1平面PAB,???PA1CD.6分，，法3:：AB為圓O的直徑，??.AC1CB,在RtAABC中由√3AC=BC得，/ABC=30,

設(shè)AD=1,由3AD=DB得，DB=3,BC=2√3,由余弦定理得，CD2=DB2+BC2-2DB?BCcos30=3

??.CD2+DB2=BC2，即CD1AO. °:點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,，3分???PD1平面ABC??.PD1CD,由PD^A0=D得

又PAu平面PAB,又CDu平面ABC,5分CD1平面PAB,??.PA1CD.（II）法1:（綜合法）過點(diǎn)D作DE±PB，垂足為E,連接CE.由（1）知CD±平面PAB，又PBu平面PAB,??.CD±PB，又DEnCD=D,??.PB±平面CDE，又CEu平面CDE,??.CE±PB,9分???/DEC為二面角C-PB-A的平面角.由（I）可知CD=√3,PD=DB=3,（注：在第（I）問中使用方法1時，此處需警出線段的長度，??.PB=3.2，則DE=PDDB=?=迫,PB3√2 2???在RtACDE中，tan/DEC=CD= =匕6,DE3√2 310分6分7分，，215一一, Ji5.?.COS/dec=—5—，即二面角c-pb-A的余弦值為——．14分法2:（坐標(biāo)法）以D為原點(diǎn)，DC、DB和DP的方向分別為X軸、）軸和Z軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．8分(注：如果第(I)問就使用'“坐標(biāo)法”時，建系之前先要證明CD?AB，酌情給分.)設(shè)AD=1,由3AD=DB,√3AC=BC得，PD=DB=3,CD=√,3,???D(0,0,0),CQ3,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),??.PC=(√3,0,-3),PB=(0,3,-3),CD=(―、/3,0,0),由CD±平面PAB，知平面PAB的一個法向量為CD=（-√3,0,0）.設(shè)平面PBC的一個法向量為n=（X,y,ZY,n?PC=0即卜3X-3丁=0n?PB=0 [3y-3z=0???n=(√3,1,1),則X=X-3,Z=1,12分設(shè)二面角C-PB-A的平面角的大小為θ則CoSθ=n?CD-3Inl?ICDI√5乂、/3 513分15???二面角C-PB-A的余弦值為七一14分19．（本題滿分14分）解析：（I）由題意可得：L=<k2X+ +2,0<X<6X-811-X,X≥6k因?yàn)閄=2時，L=3,所以3=2X2+ +22-8解得k=1818(II)當(dāng)0<X<6時，L=2X+--+2，所以X-8 10分則,，令y=1,,,．,、 18 18 ， 、18L=2(X-8)+——+18=-[2(8-X)+——]+18≤-2γ;2(8-X) +18=6. 8分X—8 8—X 8 8-X18當(dāng)且僅當(dāng)2(8-X)=-一，即X=5時取得等號. 10分8-X當(dāng)X≥6時，L=11-X≤5. 12分所以當(dāng)X=5時，L取得最大值6.所以當(dāng)日產(chǎn)量為5噸時,每日的利潤可以達(dá)到最大值6萬元. 14分20.（本題滿分14分）BYCc解析：（1）由題意可得a=2,e=—a=√3,.?.b2=a2-c2=1,X2所以橢圓的方程為/W=1.IX=X(2)設(shè)C(X,y),P(X,y),由題意得\ 000 Iy=2y0X=X0 2分 4分 6分y0，即《1—X2,X2 X2 1又→+y2=1，代入得丁+(-y)2=1,即X2+y2=4.40 42即動點(diǎn)C的軌跡E的方程為X2+y2=4.8分(3)設(shè)C(m,n),點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,t),???A,C,R三點(diǎn)共線，??.AC//AR,而AC=(m+2,n),AR=(4,t)，則4n=t(m+2),4n —?—>.*?t= ,—m+2 —?4n 2n.?.點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,—-),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,—-),

m+2 m+22n.+2 (m+2)n—2n mn?,?直線CD的斜率為k=—m+2=(——)---=——-m—2 m2—4 m2—4而m2+n2=4,.?.m2—4=—n2,mn m.?.k=——二—―,

—n2 n 10分 12分???直線CD的方程為y—n=——(X—m)，化簡得mx+ny—4=0,n44二?圓心O到直線CD的距離d=ι ==—==2=r,Jm2+n2\：4所以直線CD與圓O相切. 14分21．(本題滿分14分)解析：(1)?.?f(x)二九gT九X+(1—九)a]—九g'(x), 1分由f(x)>0得，g'[λX+(1—λ)a]>gf(x),.?.λx+(1—λ)a>x,即(1—λ)(x—a)<0,解得X<a, 3分故當(dāng)X<a時，f(x)>0；當(dāng)X>a時，f(x)<0；.?.當(dāng)x=a時，f(x)取極大值，但f(x)沒有極小值. 4分ex—1Y ex—x—1(2)??? —1= ,x x又當(dāng)x>0時，令h(x)=ex—x—1,則Uh'(x)=ex—1>0,故h(x)>h(0)=0,ex—x—1因此原不等式化為 <a，即ex—(1+a)X—1<0, 6分x令g(x)=ex—(1+a)x