線性代數(shù)第二章節(jié)

線性代數(shù)第二章節(jié)課件第1頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月§1

矩陣一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣與線性變換第2頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月√√√√√其中√表示有航班始發(fā)地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示:√√一、矩陣概念的引入第3頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月為了便于計(jì)算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個(gè)數(shù)表：ABCDABCD√√√√√√√這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況.第4頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．第5頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

由

m×n

個(gè)數(shù)排成的

m

行

n

列的數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n矩陣．記作二、矩陣的定義第6頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月簡記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.第7頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月行數(shù)不等于列數(shù)共有m×n個(gè)元素本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個(gè)元素矩陣行列式第8頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：三、特殊的矩陣第9頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月形如的方陣稱為對(duì)角陣．

特別的，方陣稱為單位陣．記作記作．第10頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個(gè)矩陣與為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.第11頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如第12頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月表示一個(gè)從變量到變量線性變換，其中為常數(shù).四、矩陣與線性變換

n個(gè)變量與m

個(gè)變量之間的關(guān)系式第13頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.第14頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例線性變換稱為恒等變換.對(duì)應(yīng)

單位陣

En第15頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)應(yīng)投影變換例

2階方陣對(duì)應(yīng)以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)j

角的旋轉(zhuǎn)變換例

2階方陣第16頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月§2

矩陣的運(yùn)算第17頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j

種貨物的數(shù)量．第18頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量第19頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè)

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.第20頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月知識(shí)點(diǎn)比較第21頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負(fù)矩陣．顯然第22頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．第23頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．第24頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規(guī)定為第25頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.第26頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月知識(shí)點(diǎn)比較第27頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例（續(xù)）

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．第28頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．第29頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月可用矩陣表示為一般地，第30頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月一、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．第31頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例：設(shè)則第32頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月知識(shí)點(diǎn)比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.第33頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例P.35例5

結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論．第34頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律(3)

乘法對(duì)加法的分配律(2)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對(duì)角陣第35頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立第36頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例第37頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)第38頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例：已知解法1第39頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解法2第40頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：設(shè)A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對(duì)稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對(duì)稱陣.對(duì)稱陣反對(duì)稱陣第41頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例：設(shè)列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對(duì)稱陣，且HHT=E.證明：從而

H是對(duì)稱陣．第42頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月五、方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)第43頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣，假設(shè)A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構(gòu)造一個(gè)6階行列式第44頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2