高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)專題7解析幾何之圓錐曲線

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)專題7解析幾何之圓錐曲線

本文介紹了圓錐曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)。圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線。橢圓是指到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a的點(diǎn)的軌跡，其中2a>2c；雙曲線是指到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的點(diǎn)的軌跡，其中2a<2c；拋物線是指到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等（F不在l上）的點(diǎn)的軌跡。橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：①焦點(diǎn)在x軸上，開口向右：y^2=2px；②焦點(diǎn)在x軸上，開口向左：y^2=-2px；③焦點(diǎn)在y軸上，開口向上：x^2=2py；④焦點(diǎn)在y軸上，開口向下：x^2=-2py。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種：①焦點(diǎn)在x軸上：y^2=2px；②焦點(diǎn)在y軸上：x^2=2py。橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，準(zhǔn)線為x=±a；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，準(zhǔn)線為y=±b。雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，準(zhǔn)線為y=±a；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，準(zhǔn)線為x=±b。拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，準(zhǔn)線為y=0；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，準(zhǔn)線為x=0。橢圓和雙曲線都有兩條漸近線，分別為y=±(c/a)x和y=±(a/c)x。拋物線有一條對(duì)稱軸，與x軸平行或與y軸平行，且過焦點(diǎn)和頂點(diǎn)。橢圓和雙曲線的離心率分別為e=c/a和e=c/a，其中c為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。拋物線的離心率為e=1。是其兩個(gè)焦點(diǎn)，且x2y2F1PF2，則F1PF2的面積Sbsinhθ2。1．橢圓和雙曲線是二次曲線的兩種基本類型，它們的圖形特點(diǎn)可以通過其標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行描述。對(duì)于橢圓，當(dāng)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線配對(duì)使用時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x/a)2+(y/b)2=1，其中a和b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸。當(dāng)離心率e滿足0<e<1時(shí)，橢圓的軌跡是一個(gè)閉合曲線，而當(dāng)e>1時(shí)，軌跡變?yōu)殡p曲線。對(duì)于雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x/a)2-(y/b)2=1，當(dāng)離心率e滿足e>1時(shí)，其軌跡為兩支開口朝上或朝下的曲線。2．橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)一進(jìn)行處理，當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，而雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以設(shè)為mx2-ny2=1(mn<0)。正確使用標(biāo)準(zhǔn)方程可以使問題的解決更加靈活。3．離心率是橢圓和雙曲線的重要特征之一，其取值范圍分別為0<e<1和e>1。在求解離心率相關(guān)問題時(shí)，可以根據(jù)橢圓和雙曲線的幾何特征建立關(guān)于參數(shù)c、a、b的方程或不等式來求解離心率的值或范圍。4．雙曲線具有一些特殊性質(zhì)，例如等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x，其離心率為2；共軛雙曲線是以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，它們具有共同的漸近線；漸近線是雙曲線的特有標(biāo)志，它反映了雙曲線的變化范圍和趨勢(shì)。5．對(duì)于橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)P，其到焦點(diǎn)的距離之和等于2a或2c，其中a和c分別為橢圓的長(zhǎng)半軸和焦距，雙曲線的焦距定義為c2=a2+b2。對(duì)于橢圓上的點(diǎn)P，其到兩個(gè)焦點(diǎn)的連線與準(zhǔn)線的夾角為θ，則三角形F1PF2的面積為S=bsinθ；對(duì)于雙曲線上的點(diǎn)P，其到兩個(gè)焦點(diǎn)的連線與準(zhǔn)線的夾角為θ，則三角形F1PF2的面積為S=bsinhθ/2。1.已知拋物線$y^2=2px$的焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于兩點(diǎn)$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，則有以下性質(zhì)：-$AB=x_1+x_2+p$或$AB=-\frac{p^2}{y_1y_2}=\frac{sin^2\alpha}{4p}$（其中$\alpha$為直線$AB$的傾斜角）-$x_1x_2=2p$或$\frac{y_1+y_2}{2}=0$（即直線$AB$經(jīng)過拋物線的對(duì)稱軸）-若斜率為$k$的直線與該拋物線交于兩點(diǎn)$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，則弦長(zhǎng)$AB=\sqrt{(1+k^2)[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]}=\sqrt{(1+k^2)[(y_1+y_2)^2-4y_1y_2k^2]}$2.直線$l$與圓錐曲線$C$的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種情況。判斷方法是將直線$l$的方程與圓錐曲線$C$的方程聯(lián)立，消去$y$得到一個(gè)關(guān)于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$。若$a\neq0$，則：-若$\Delta>0$，則$l$與$C$相交；-若$\Delta=0$，則$l$與$C$相切；-若$\Delta<0$，則$l$與$C$相離。若$a=0$，即得到一個(gè)一次方程，若方程有解，則$l$與$C$相交，此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)。若$C$為雙曲線，則直線$l$與雙曲線的漸近線平行；若$C$為拋物線，直線$l$與拋物線的對(duì)稱軸平行。因此，當(dāng)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線$l$的與雙曲線、拋物線可能相切，也可能相交。3.圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它的基本特點(diǎn)是數(shù)形兼?zhèn)洌嫒莶?，可與代數(shù)、三角、幾何知識(shí)相溝通，歷來是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。近幾年高考試題中對(duì)圓錐曲線的考查，基本上是兩個(gè)客觀題，一個(gè)主觀題，分值21分～24分，占15%左右，并且主要體現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：-圓錐曲線的基本問題，主要考查圓錐曲線的兩種定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及$a$、$b$、$c$、$e$、$p$五個(gè)參數(shù)的求解，以及圓錐曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用。-求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程或軌跡圖形在高考中出現(xiàn)的頻率較高，此類問題的解決需掌握四種基本方法：直接法、定義法、參數(shù)法和對(duì)稱法。其中，直接法適用于較簡(jiǎn)單的問題，定義法適用于能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足已知曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的定義的情況，參數(shù)法適用于已知?jiǎng)狱c(diǎn)的參數(shù)方程的情況，對(duì)稱法適用于已知?jiǎng)狱c(diǎn)關(guān)于某個(gè)點(diǎn)或某條直線對(duì)稱的情況。待定系數(shù)法可以用來確定已知曲線的形狀，例如橢圓、雙曲線和拋物線。相關(guān)點(diǎn)法，也稱坐標(biāo)代換法，適用于動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1,y1)，而Q(x1,y1)又在某已知曲線上的情況。先寫出關(guān)于x1,y1的方程，再將x1,y1換成x,y。直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題是高考的熱點(diǎn)問題，需要掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)，以及線段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等概念。解決這類問題需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想