第四章抽樣推斷

第四章抽樣推斷第1頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)抽樣推斷概述一、抽樣基本知識（一）全及總體和樣本總體1、全及總體和總體指標全及總體。簡稱總體(Population)，是指所要研究的對象的全體，它是由所研究范圍內(nèi)具有某種共同性質(zhì)的全部單位所組成的集合體。總體單位總數(shù)用N表示。（舉例）總體指標（參數(shù)）。在抽樣估計中，用來反映總體數(shù)量特征的指標稱為總體指標，也叫總體參數(shù)。研究目的一經(jīng)確定，總體也唯一地確定了，所以總體指標的數(shù)值是客觀存在的、確定的，但又是未知的，需要用樣本資料去估計。第2頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月通常所要估計的總體指標有：

變量總體：屬性總體：總體平均數(shù)(或記為μ）總體比例（成數(shù)）P總體標準差σ或方差σ2總體比例標準差σP或方差σP2總體標志總量(N)總體中具有某一屬性的單位總數(shù)

(NP)等。第3頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月2、樣本總體和樣本指標樣本總體。簡稱樣本（Sample），它是從總體中抽取的部分總體單位的集合體。

樣本容量：樣本中所包含的個體的數(shù)量，一般用n表示。在實際工作中，人們通常把n≥30的樣本稱為大樣本，而把n<30的樣本稱為小樣本。對于某一既定的總體，由于抽樣的方式方法不同，樣本容量也可大可小，因而，樣本是不確定的、而是可變的。

樣本指標（統(tǒng)計量）。在抽樣估計中，用來反映樣本總體數(shù)量特征的指標稱為樣本指標，也稱為樣本統(tǒng)計量或估計量，是根據(jù)樣本資料計算的、用以估計或推斷相應總體指標的綜合指標。

第4頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月常見的樣本統(tǒng)計量有：

變量總體：屬性總體：樣本平均數(shù)樣本比例（也稱樣本成數(shù)）p樣本標準差S或樣本方差S2樣本比例標準差σp或方差σp2

樣本統(tǒng)計量不含未知參數(shù)，它是隨樣本不同而不同的隨機變量。

第5頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）關(guān)于抽樣方法

在實際應用中，抽樣方法主要有兩種，即概率抽樣和非概率抽樣。

1、概率抽樣也叫隨機抽樣，是指按隨機原則抽取樣本。所謂隨機原則，就是排除主觀意識的干擾，使總體的每一個單位都有一定的概率被抽選為樣本單位，每個單位能否入選是隨機的。概率抽樣最基本的組織形式有：簡單隨機抽樣、分層抽樣、等距抽樣和整群抽樣。特點：概率抽樣能有效地避免主觀選樣帶來的傾向性誤差（系統(tǒng)偏差），使得抽樣估計和推斷得以建立在概率論和數(shù)理統(tǒng)計的科學理論之上。從而使樣本資料一方面能夠用于估計和推斷總體的數(shù)量特征；另一方面可以計算和控制抽樣誤差，說明估計的可靠程度。作用：（1）在不可能或不必要進行全面調(diào)查時，常常利用概率抽樣來推斷總體；（2）利用概率抽樣修正或補充全面調(diào)查的不足。統(tǒng)計上所指的抽樣一般都是指概率抽樣。

第6頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

2、非概率抽樣也叫非隨機抽樣，是指從研究目的出發(fā)，根據(jù)調(diào)查者的經(jīng)驗或判斷，從總體中有意識地抽取若干單位構(gòu)成樣本。重點調(diào)查、典型調(diào)查、配額抽樣（是按照一定標準或一定條件分配樣本單位數(shù)量，然后由調(diào)查者在規(guī)定的數(shù)額內(nèi)主觀地抽取樣本）、方便抽樣（指調(diào)查者按其方便任意選取樣本。如商場柜臺售貨員拿著廠家的調(diào)查表對顧客的調(diào)查）等就屬于非隨機抽樣。非隨機抽樣容易產(chǎn)生傾向性誤差，并且誤差不能計算和控制，也就無法說明調(diào)查結(jié)果的可靠程度。第7頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月3、重復抽樣和不重復抽樣

在概率抽樣的條件下，樣本單位的抽選方法有重復和不重復兩種。重復抽樣，又稱回置抽樣，是指從總體的N個單位中，每次抽取一個單位后，再將其放回總體中參加下一次抽選，這樣連續(xù)抽n次，即得到一個樣本。其特點是：樣本是由n次相互獨立的連續(xù)試驗構(gòu)成的，每次試驗是在完全相同的條件下進行，每個單位中選的機會在各次都完全相等?！爸爻椤保紤]順序）可能的樣本數(shù)目（從總體中可能抽取的樣本個數(shù)，用M表示）為：Nn個。不重復抽樣，也叫不回置抽樣，是指抽中的單位不再放回總體中，下一個樣本單位只能從余下的總體單位中抽取。其特點是：樣本由n次連續(xù)抽取的結(jié)果構(gòu)成，實際上等于一次同時從總體中抽取n個樣本單位?？赡艿臉颖緮?shù)目（考慮順序）：

N(N-1)(N-2)…(N-n+1)個。第8頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

舉例：設(shè)有4名學生的月消費支出分別為：240，280，360，400元。我們分別用A、B、C、D替代。若從中抽取兩個單位構(gòu)成樣本，則全部可能的樣本數(shù)目為：重復：42=16個。它們是

AAABACAD;BABBBCBDCACBCCCD;DADBDCDD不重復：4×3=12。它們是

ABACAD;BABCBDCACBCD;DADBDC

第9頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）抽樣框（略）

調(diào)查目的確定之后，抽樣總體（目標總體）也就隨之確定了。但實際進行抽樣的總體范圍與目標總體有時是不一致的。所以，有了目標總體，還必須明確實際進行抽樣的總體范圍和抽樣單位，這就需要編制一個抽樣框。抽樣框是包括全部抽樣單位的名單框架。編制抽樣框是實施抽樣的基礎(chǔ)。抽樣框的好壞通常會直接影響到抽樣調(diào)查的隨機性和調(diào)查效果。第10頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

（四）抽樣誤差

統(tǒng)計調(diào)查誤差，是指調(diào)查所得結(jié)果與總體真實數(shù)值之間的差異。在抽樣調(diào)查中，誤差的來源有兩大類：登記性誤差和代表性誤差。

登記性誤差。是任何一種統(tǒng)計調(diào)查都可能產(chǎn)生。

代表性誤差(1)系統(tǒng)性誤差：是由于非隨機因素引起的樣本代表性不足而產(chǎn)生的誤差，表現(xiàn)為樣本估計量的值系統(tǒng)性偏高或偏低，故也稱偏差；

(2)隨機誤差：又稱偶然性誤差，是指遵循隨機原則抽樣，但由于樣本各單位的結(jié)構(gòu)不足以代表總體各單位的結(jié)構(gòu)而引起的樣本估計量與總體參數(shù)之間的誤差。這就是抽樣估計中所謂的抽樣誤差。第11頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月實際應用中，三個有密切聯(lián)系而又相互區(qū)別的抽樣誤差的概念實際抽樣誤差抽樣平均誤差抽樣極限誤差。1、實際抽樣誤差

2、抽樣平均誤差（抽樣標準誤）抽樣平均誤差是反映抽樣誤差一般水平的指標（因為抽樣誤差是一個隨機變量，它的數(shù)值隨著可能抽取的樣本不同而或大或小，為了總的衡量樣本代表性的高低，就需要計算抽樣誤差的一般水平）。通常用樣本估計量的標準差來反映所有可能樣本估計值與其中心值的平均離散程度。

第12頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月抽樣平均誤差可衡量樣本對總體的代表性大小。即抽樣平均誤越小，則樣本估計量的分布就越集中在總體參數(shù)的附近，平均來說，樣本估計值與總體參數(shù)之間的抽樣誤差越小，樣本對總體的代表性越大。第13頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

實際中，抽樣平均誤差不可能按定義式來計算，只能根據(jù)概率論和數(shù)理統(tǒng)計的有關(guān)理論來推導其計算公式。

在總體方差已知，總體單位總數(shù)為N，樣本容量為n，簡單隨機抽樣條件下，抽樣平均誤的計算公式為：

重復抽樣不重復抽樣估計均值估計成數(shù)第14頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月3、抽樣極限誤差抽樣極限誤差是指一定概率下抽樣誤差的可能范圍，也稱為允許誤差。用Δ表示，由定義知其表達式：

在一定概率下，上式表示，在一定概率下可認為樣本估計量與相應的總體參數(shù)的誤差的絕對值不超過。用、分別表示平均數(shù)和比例（成數(shù)）的抽樣極限誤差，則在一定概率下有：≤；|p-P|≤第15頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月估計均值的置信區(qū)間：估計成數(shù)（比例）的置信區(qū)間：第16頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月抽樣極限誤差是抽樣誤差的可能范圍，而不是完全肯定的范圍。所以，這一可能范圍的大小是與其估計的可靠程度的大?。锤怕剩┚o密聯(lián)系的。在抽樣估計中，這個概率叫置信度，習慣上也稱為可靠程度、把握程度或概率保證程度等，用1-α表示。顯然在其他條件不變的情況下，抽樣極限誤差越大，相應的置信度也就越大。與抽樣極限誤差相關(guān)的兩個概念是:抽樣誤差率和抽樣估計精度。抽樣誤差率=（抽樣極限誤差/估計量）×100%抽樣估計精度=100%-抽樣誤差率

第17頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

估計精度與估計的可靠程度是矛盾的。也就是說，如果精度很高，則會由于估計區(qū)間太窄而使錯誤估計的可能性大增，從而大大降低估計的可靠程度，使估計結(jié)果沒有多大的作用；如果置信度很高，則意味著允許誤差范圍較大，而使估計精度太低，這時盡管估計的可靠程度接近或等于100%，但抽樣估計本身也會失去意義。實際中，只能依據(jù)具體情況，先滿足一方面，然后確定另一方面。第18頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、抽樣分布

（一）抽樣分布的概念樣本指標是一種隨機變量，它有若干可能取值，每個可能取值都有一定的可能性（即概率），從而形成它的概率分布，即統(tǒng)計上所謂的抽樣分布。簡言之，抽樣分布就是指樣本統(tǒng)計量的概率分布。樣本統(tǒng)計量是由n個隨機變量構(gòu)成的函數(shù)，故抽樣分布屬于隨機變量函數(shù)的分布。抽樣分布反映了樣本指標的分布特征，是抽樣推斷的重要依據(jù)。根據(jù)樣本分布的規(guī)律，可揭示樣本指標與總體指標之間的關(guān)系，估計抽樣誤差，并說明抽樣推斷的可靠程度。

第19頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例:如前例，四名學生的月消費支出（240，280，360，400元）?，F(xiàn)按重復取樣的方法，隨機抽取兩位構(gòu)成一個樣本，則全部可能的樣本及其各樣本的均值如下表所示：第20頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月序號樣本變量樣本平均數(shù)平均數(shù)離差離差平方

xxx-E(x)[x-E(x)]21240，280260-6036002240，360300-204003240，400320004280，240260-6036005280，360320006280，400340204007360，240300-204008360，280320009360，40038060360010400，2403200011400，2803402040012400，360380603600

合計——2640016000第21頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）樣本平均數(shù)的抽樣分布1、總體方差σ2已知時，樣本平均數(shù)的抽樣分布定理4.1

設(shè)總體X~N（μ，σ2），（x1,x2,……，xn）是其中一個簡單隨機樣本，則樣本平均數(shù)

N（μ，σ2/n）。將樣本平均數(shù)標準化，即有：

Z==N（0，1）第22頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月2、總體方差未知，大樣本。定理4.2

若總體平均數(shù)μ和方差σ2有限，當樣本容量n充分大時，無論總體分布形式如何，樣本平均數(shù)近似服從正態(tài)分布N（μ，σ2/n）。

Z==N（0，1）其中：

大樣本時，n-1n第23頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月3、總體方差未知，小樣本。定理4.3

設(shè)總體X~N（μ，σ2），（x1,x2,……xn）是其中一個簡單隨機樣本，樣本均值為，樣本標準差為S，則統(tǒng)計量

t=~t(n-1)（4.6）其中：

第24頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）樣本比例的抽樣分布

當從總體中抽取一個樣本容量為n的樣本時，樣本中具有某種特征的單位數(shù)x服從二項分布，即有xB（n，P）。

根據(jù)中心極限定理，當n→∞時，二項分布趨近于正態(tài)分布。所以，在大樣本下，nP若和n（1-P）皆大于5，樣本比例近似服從正態(tài)分布：

p~N[P,P(1-P)/n](4.10)統(tǒng)計量Z=~N（0，1）第25頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

抽樣估計就是根據(jù)樣本提供的信息對總體的某些特征進行估計或推斷。抽樣估計又稱作參數(shù)估計，參數(shù)估計可分為點估計和區(qū)間估計兩種。

一、點估計

點估計又叫定值估計，就是用樣本的統(tǒng)計量直接估計總體參數(shù)

。點估計常用的方法有兩種：矩估計法極大似然估計法。第二節(jié)抽樣估計的基本方法第26頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）

矩估計法矩估計法是英國統(tǒng)計學家K.Pearson提出的。其基本思想是：由于樣本來源于總體，樣本矩在一定程度上反映了總體矩，而且由大數(shù)定律可知，樣本矩以概率收斂與總體矩。因此，只要總體X的k階原點矩存在，就可以用樣本矩作為相應總體矩的估計量，用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計量。在統(tǒng)計學中，矩是指以期望值為基礎(chǔ)而定義的數(shù)字特征，例如數(shù)學期望、方差、協(xié)方差等。矩可以分為原點矩和中心矩兩種。（二）極大似然估計法（略）極大似然估計法（MaximumLikelihoodEstimate，簡記為MLE）是由Fisher提出的一種參數(shù)估計方法。其基本思想是：設(shè)總體分布的函數(shù)形式已知，但有未知參數(shù)，可以取很多值，在的一切可能取值中選一個使樣本觀察值出現(xiàn)的概率為最大的值作為估計值，記作,并稱為的極大似然估計值。這種求估計量的方法稱為極大似然估計法。第27頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）估計量的優(yōu)良標準一個好的估計量通常要求滿足以下三個標準：

1、無偏性所謂無偏性是指樣本估計量的均值應等于被估計總體參數(shù)的真值。

2、有效性所謂有效性是指作為優(yōu)良的估計量，除了滿足無偏性外，其方差應比較小。這樣才能保證估計量的取值能集中在被估計的總體參數(shù)的附近，對總體參數(shù)的估計和推斷更可靠。

3、一致性

一致性又稱相合性，即隨著樣本容量n的增大，一個好的估計量將在概率意義下愈來愈接近于總體的真值。樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)的估計量、樣本比例作為總體比例的估計量，都具有上述優(yōu)良性質(zhì)，所以，通常用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù)，用樣本比例去估計總體比例。第28頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

優(yōu)缺點：其優(yōu)點是簡單、具體明確。但點估計總有一定的抽樣誤差，而點估計本身又無法說明抽樣誤差的大小，也無法說明估計結(jié)果有多大的把握程度。而區(qū)間估計能夠比較好地解決參數(shù)估計的精確度與可靠程度的問題。第29頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、區(qū)間估計區(qū)間估計就是根據(jù)樣本估計量、以一定的可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍。這種估計不僅以樣本估計量為依據(jù)，而且考慮了估計量的分布，所以它能給出估計量的精度，也能說明估計結(jié)果的把握程度。

(一)總體均值的區(qū)間估計（二）總體比例的區(qū)間估計第30頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月均值的置信區(qū)間：其中：極限誤差應依據(jù)所給的條件，利用抽樣分布定理進行推算。

=

或=

或=

第31頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月總體比例的置信區(qū)間：

其中：第32頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)抽樣調(diào)查的組織方式及其抽樣估計

常用的抽樣組織方式有：純隨機抽樣、分層抽樣、等距抽樣和整群抽樣四種。一、純隨機抽樣

又稱簡單隨機抽樣，它是對總體單位不進行任何劃分或排隊，完全隨機地直接從總體中抽取樣本單位，使每個總體單位都有完全均等的機會被抽中。純隨機抽樣常采用的抽選方法有抽簽法、利用隨機數(shù)表取數(shù)法和電子計算機取數(shù)法。它只需對總體單位進行編號，而不需要事先掌握更多的總體信息。

二、分層抽樣及其抽樣估計分層抽樣又稱類型抽樣或分類抽樣。這種抽樣方式是先對總體各單位按主要標志加以分組，然后再從各組中按隨機原則抽選一定單位構(gòu)成樣本。如城市職工收入調(diào)查，可按行業(yè)將全部職工分類，再從各行業(yè)中分別抽取若干職工進行調(diào)查。第33頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月各組的樣本單位數(shù)為：抽樣總體平均數(shù)的計算：

類型抽樣的抽樣平均誤差的計算：

類型抽樣總的抽樣誤差取決于各組內(nèi)的抽樣誤差，而各組的抽樣誤差又取決于各組內(nèi)的方差水平。類型抽樣的抽樣平均誤差與組間方差無關(guān)，其大小僅取決于組內(nèi)方差的平均水平。由于總體方差=組間方差+組內(nèi)方差，所以，類型抽樣誤差一般小于純隨機抽樣誤差。那么，要想提高抽樣效果，應采取何種措施呢？（應該盡可能擴大組間方差，縮小組內(nèi)方差，這樣就可以減少抽樣誤差。）

對于類型抽樣，若總體各組為正態(tài)分布（或非正態(tài)分布但ni充分大），則各子樣本平均數(shù)和樣本平均數(shù)也都服從（或近似服從）正態(tài)分布。對于給定的置信度1-α，則總體均值的置信區(qū)間為：第34頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

三、等距抽樣

等距抽樣也稱機械抽樣。它是先將總體所有單位按某一標志順序排列，然后按相等的距離抽取樣本單位。排列的標志可以是無關(guān)標志也可以是有關(guān)標志。（1）無關(guān)標志，指和單位標志值的大小無關(guān)或不起主要的影響作用。（2）有關(guān)標志，指作為排隊順序的標志和單位標志值的大小有密切的關(guān)系。其中，按有關(guān)標志順序排隊，并將樣本單位加以n等份后，對每一部分抽取一個樣本單位有兩種方法半距中點取樣對稱等距取樣

應該指出的是，等距取樣間隔的確定，要避免與想象中的周期性節(jié)奏重合，引起系統(tǒng)誤差的影響。第35頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

優(yōu)點：由于這等距抽樣是在各單位按大小順序排隊基礎(chǔ)上，再按某種規(guī)則以一定間隔取樣，從而可保證所取得的樣本單位比較均勻地分布在總體的各個部分，因此，有較高的代表性。等距抽樣的參數(shù)估計可參照簡單隨機抽樣的估計方法。

四、整群抽樣整群抽樣又稱群體抽樣。它是將總體各單位劃分成許多群，然后從中隨機抽取部分群，并對中選群的所有單位進行全面調(diào)查。整群抽樣實質(zhì)上是以“群”代替單位之后的純隨機抽樣。因此，整群抽樣的抽樣平均誤差可以根據(jù)群間方差來推算。第36頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

五、樣本容量的確定

抽樣設(shè)計中的一個重要內(nèi)容就是要確定必要的樣本單位數(shù)。所謂必要的樣本單位數(shù)，就是為了使抽樣誤差不超過給定的允許范圍至少應抽取的樣本單位數(shù)目。確定必要樣本單位數(shù)的原則是：在保證抽樣推斷能達到預期的可靠程度和精確性的要求下，使費用達到最小，即用盡可能少的樣本容量而能達到誤差在允許范圍之內(nèi)。第37頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月在總體方差已知，總體單位總數(shù)為N，樣本容量為n，簡單隨機抽樣條件下，必要樣本單位數(shù)的計算公式為：

重復抽樣不重復抽樣估計均值估計成數(shù)第38頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

必要的樣本單位數(shù)n受允許的極限誤差的制約，極限誤差要求越小，則樣本單位就要求越多。以重復抽樣來說，在其他條件不變下，當誤差范圍縮小一半則樣本單位數(shù)必須增加到四倍；而誤差范圍允許擴大一倍，則樣本單位數(shù)只需要原來的1/4。所以，在抽樣組織中，對抽樣誤差可能允許的范圍要十分慎重地考慮。在多主題抽樣中，往往一個樣本要調(diào)查多項指標。（此時又如何確定樣本容量呢？）

第39頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

問題的提出：1、某生產(chǎn)線的感冒沖劑規(guī)定每包重量為12克，超重或過輕都是嚴重質(zhì)量問題。從過去的資料得知是0.6克，質(zhì)檢員每兩個小時抽取25包沖劑稱重檢驗，并作出是否停工的決策。假定產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布。（1）建立適當?shù)脑僭O(shè)和備擇假設(shè)；（2）在時，該檢驗的決策準則是什么？（3）如果12.25克，你將采取什么行動？（4）如果11.95克，你又將采取什么行動？

第四節(jié)

假設(shè)檢驗第40頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)

假設(shè)檢驗2、電視機顯像管批量生產(chǎn)的質(zhì)量標準為平均使用壽命1200小時，標準差300小時。某電視機廠宣稱其生產(chǎn)的顯像管質(zhì)量大大超過質(zhì)量標準。為了進行檢驗，隨機抽取100件為樣本，測得平均使用壽命1245小時。能否認為該廠所生產(chǎn)的顯像管質(zhì)量顯著的高于規(guī)定的標準？3、一本雜志公開聲稱，現(xiàn)在大學生的消費越來越趨向“高端化”，有一半以上的學生人均月消費在1000元以上。為了驗證這一說法，我們在某校園內(nèi)隨機抽取了在校學生100名，了解到其中月支出額在1000元以上的有45人。試以95%的置信水平來驗證該雜志社的說法是否