遼寧省錦州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第25頁/共26頁2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得的值.【詳解】因為，則，因此，，故選：D.2.在中，若，，則在上的投影的數(shù)量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用投影的數(shù)量的意義計算作答【詳解】在中，，，則在上的投影的數(shù)量.故選：B3.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”意思說：現(xiàn)有扇形田，弧長三十步，直徑十六步，問面積多少？在此問題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用弧長公式可求得答案【詳解】由題意可知扇形的弧長，半徑，所以扇形的圓心角的弧度數(shù)是，故選：A4.已知，是空間中兩條不同的直線，平面，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對于A：若，，則或，故A錯誤；對于B：若，，則或，故B錯誤；對于C：因為，，則，又，所以存在直線且，則，所以，故C正確；對于D：若，，，則或與相交，故D錯誤；故選：C5.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，，，，則（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理求出，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，但需要注意根據(jù)“大邊對大角”的性質(zhì)，對的值進(jìn)行取舍．【詳解】由正弦定理得，，即，得，所以，因為，所以，所以，即．故選：C．6.是函數(shù)的最小值點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，則，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的最小值，從而可求出的最小值點(diǎn)，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】，令，則，對稱軸為，因為拋物線開口向上，所以當(dāng)時，取得最小值，所以當(dāng)時，取得最小值，即，故選：A7.如圖，四棱錐的底面ABCD是菱形，且，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理求出，再結(jié)合余弦定理能求出結(jié)果．【詳解】如圖，連接，，且，連接，由條件可知，，都是全等的等邊三角形，是邊長為2的等邊三角形，，由余弦定理得，且，在中，由余弦定理得，．故選：B．8.函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】A【解析】【分析】將函數(shù)用誘導(dǎo)公式化簡，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題解決.【詳解】由已知得，令，且，可得，作出與的函數(shù)圖象，如下圖所示，設(shè)與的函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為，由圖形關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則，故在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，是方程的兩根，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出，，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】選項,因為，是方程的兩根，所以，故選項錯誤；選項,因為，是方程的兩根，所以，故選項正確；選項,由復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實數(shù)系一元二次方程求根公式可得方程的根為，不妨設(shè)，，則，，所以，故選項錯誤；選項,,,所以，故選項正確；故選：BD.10.下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.定義域為 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.最小正周期是 D.圖象關(guān)于直線對稱【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)定義域、單調(diào)性、周期性、對稱性結(jié)合絕對值函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】函數(shù)，定義域滿足，解得，所以函數(shù)定義域為，故A正確；當(dāng)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上先減后增，故B不正確；函數(shù)的最小正周期，所以函數(shù)的最小正周期是，故C正確；函數(shù)的對稱軸滿足，所以，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故D正確.故選：ACD.11.如圖所示圓臺，，分別是上、下底面的圓心，母線AB與下底面所成的角為，BC為上底面直徑，，，則（）A.圓臺的母線長為10B.圓臺的全面積為C.由點(diǎn)A出發(fā)沿側(cè)面到達(dá)點(diǎn)C的最短距離是D.在圓臺內(nèi)放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，則正方體的棱長最大值是4【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圓臺的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系以及全面積公式計算選項A和B，選項C利用側(cè)面展開圖求點(diǎn)A出發(fā)沿側(cè)面到達(dá)點(diǎn)C的最短距離，選項D轉(zhuǎn)化為求圓臺最大的內(nèi)切球，進(jìn)而求該球的內(nèi)接正方體即可.【詳解】選項A，連接,過點(diǎn)作的垂線，垂足為,在直角三角形中，,則圓臺的母線長為,故選項A正確；選項B，由圓臺的全面積公式可得，故選項B錯誤；選項C，該圓臺可以看成由底面半徑為的圓錐截取一個底面半徑為的圓錐得到，設(shè)截去底面半徑為的圓錐的母線成為，由相似關(guān)系可知解得，故大圓錐的母線長，由已知得圓臺底面圓的周長為，由弧長公式可知大圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為,所以圓臺的側(cè)面展開圖如下圖所示:故點(diǎn)A出發(fā)沿側(cè)面到達(dá)點(diǎn)C的最短距離是,故選項C錯誤；選項D，該圓臺的軸截面可以補(bǔ)成一個邊長為的正三角形，由于,則圓臺中能放下的最大球的半徑為，所以求圓臺內(nèi)放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體即可以求最大球的內(nèi)接正方體，設(shè)正方體的棱長為，則，解得，故選項D正確；故選：AD.12.如圖，在中，，，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，則下列說正確的是（）A.若，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，則B.若E是線段AB的中點(diǎn)，BF與CE相交于點(diǎn)Q，則C.若E是線段AB上一動點(diǎn)，則為定值D.若點(diǎn)P在線段AC上，則的值可以是【答案】AC【解析】【分析】以為基底，按題中要求表示出相關(guān)的向量，用數(shù)量積的公式計算即可．【詳解】對選項A，在中，，，若，則，則，故A正確．對選項B，在中，，，是的中點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，令，則，；令，則．所以，即，故B不正確；對選項C，在中，，，是的中點(diǎn)，設(shè)，,，則，，，（定值），故C正確；對選項D，在中，，，則，若點(diǎn)P在線段AC上，設(shè)，所以,,則令，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，從而，又在中與題意矛盾，故D不正確.故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在軸正半軸上，終邊在直線上，寫出滿足上述條件的一個角______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題意可得，從而可求出角.【詳解】因為角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在軸正半軸上，終邊在直線上，所以，所以，故答案為：（答案不唯一）14.已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，平面，則球O的表面積是_______；【答案】【解析】【分析】先確定外接球的球心，再根據(jù)勾股定理得到半徑，進(jìn)而計算表面積得到答案.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，則為的外接圓的圓心易知球心在點(diǎn)的上方，且，此時球的半徑，.故答案為：15.為滿足群眾就近健身和休閑的需求，很多城市開始規(guī)劃建設(shè)“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”O(jiān)PQ中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道OAB，已知扇形的半徑，圓心角，A是扇形弧上的動點(diǎn)，B是半徑OQ上的動點(diǎn)，，則面積的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式結(jié)合余弦定理可求面積的最大值.【詳解】因為，，故，故，故，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r等號成立，故，故面積的最大值為，故答案為：.16.正三棱柱中，所有棱長均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，則直線EF與直線BC所成角的余弦值為_______；若過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長為_______.【答案】①.##②.【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，則可得為異面直線EF與直線BC所成角，然后在中求解，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則四邊形為截面四邊形，然后求解其周長即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因為點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，所以∥，，所以為異面直線EF與直線BC所成角，連接，因為平面，平面，所以，因為為邊長是2的正三角形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，所以，所以，，所以由余弦定理得，所以直線EF與直線BC所成角的余弦值為，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，所以過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的截面為四邊形，因為點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，所以，過作∥，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因為∥，所以∽，所以，所以為的中點(diǎn)，所以，因為∥，所以∽，所以，，所以，則，所以，在中由余弦定理得，所以，所以四邊形的周長為，即截面的周長為，故答案為：，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查異面直線所成的角，考查幾何體的截面問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平面的性質(zhì)結(jié)合題意作截面圖形，考查空間想象能力，屬于難題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知、、.（1）若、、三點(diǎn)共線，求；（2）若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出、的坐標(biāo)，分析可知，，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求出的值，可得出向量的坐標(biāo)，利用平面向量的模長公式可求得的值；（2）利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出的值.【小問1詳解】解：因為，，，所以，，因為、、三點(diǎn)共線，則，所以，所以，所以，所以.【小問2詳解】解：因為，，所以，由，得，解得，所以，所以，所以.18.在中，角所對的邊分別為，.（1）判斷的形狀，并加以證明；（2）如圖，外存在一點(diǎn)D，使得且，求.【答案】（1）直角三角形，證明見解析（2）5【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；（2）根據(jù)正弦定理以及余弦定理即可求解，或作，求出DF，結(jié)合中垂線性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】在中，由正弦定理得又，所以化簡得：，，所以，，所以，是直角三角形方法二：在中，由余弦定理得整理得，所以，是直角三角形小問2詳解】方法一：在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，，所以.由題（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.方法二：作，垂足為，，垂足為,則，在中所以，為的中垂線所以19.如圖，長方體中，，，M是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：∥平面；（3）點(diǎn)P是棱上的動點(diǎn)，求的最小值，并說明此時點(diǎn)P的位置.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3），【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定證明線線垂直；（2）可以直接利用線面平行的判定定理證明，也可以先證明面面平行再利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行；（3）將長方體側(cè)面和沿展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短即可求解.【小問1詳解】連接，因四邊形為正方形，所以，長方體中，平面，平面，所以，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】證法一：連結(jié)交于N點(diǎn)，則N為的中點(diǎn)，連結(jié)MN，則MN為△的中位線，故，因為平面，平面，所以平面；證法二：取中點(diǎn)G，連接CG，則，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，連結(jié),,則，，四邊形GABM為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以∥平面，又因為，平面，所以平面∥平面，又因為平面,所以∥平面，【小問3詳解】將長方體側(cè)面和沿展開如圖所示：連接交于點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號），所以即為所求點(diǎn)P，，因為，所以,即，所以的最小值是且.20.如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)縮短到原來的，得到圖象.若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得到，帶入特殊點(diǎn)坐標(biāo)，得到，求出函數(shù)解析式；（2）求出，整體法求出的單調(diào)增區(qū)間.【小問1詳解】由圖可得函數(shù)的最小正周期∴又函數(shù)過點(diǎn)，且圖象在該點(diǎn)附近單調(diào)遞增，∴，即，又∵，∴，∵過點(diǎn)，∴，即∴；【小問2詳解】將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)縮短到原來的得到.∴令，得：，所以的單調(diào)增區(qū)間為，.21.已知i是虛數(shù)單位，a，，設(shè)復(fù)數(shù)，，，且.（1）若為純虛數(shù)，求；（2）若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn).①是否存在實數(shù)a，b，使向量逆時針旋轉(zhuǎn)后與向量重合，如果存在，求實數(shù)a，b的值；如果不存在，請說明理由；②若O，A，B三點(diǎn)不共線，記的面積為，求及其最大值.【答案】（1）或（2）①存在，；②，最大值為2【解析】【分析】（1）計算，然后使其實部為零，虛部不為零，再結(jié)合可求出的值，從而可求出求；（2）①方法一：由題意可得，然后解關(guān)于的方程組可得結(jié)果，方法二：設(shè)則，再由題意得，從而可求得結(jié)果，②設(shè)向量的夾角為θ，，設(shè)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量為則，化簡后再利用可求得其最大值.【小問1詳解】因為復(fù)數(shù)，所以，而為純虛數(shù)，因此，即.又因為，且，所以，由，解得或，所以或.【小問2詳解】①存在，理由如下：法一：由題意知：，得，解得或，因為OB逆時針旋轉(zhuǎn)后與OA重合，所以；法二：設(shè)是以x軸正半軸為始邊，OB為終邊的角，則，所以即，所以，所以，且時，滿足.所以.②因為復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是為坐標(biāo)原點(diǎn)），且O，A，B三點(diǎn)不共線，所以設(shè)向量的夾角為θ，，設(shè)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量為則且，因此的面積，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即或時等號成立，所以，其最大值為2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念的應(yīng)用，考查復(fù)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對復(fù)數(shù)的幾何意義的正確理解，考查數(shù)學(xué)計