2023年貴州省貴陽(yáng)市某區(qū)中考數(shù)學(xué)托底試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.四個(gè)有理數(shù)，，，其中最小的是()

A.B.C.D.

2.如圖，由圖中所示的圖案通過(guò)平移后得到的圖案是()

A.B.C.D.

3.化簡(jiǎn)的結(jié)果是()

A.B.C.D.

4.若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則這個(gè)點(diǎn)在如圖所示的平面直角體系上的位置是()

A.點(diǎn)

B.點(diǎn)

C.點(diǎn)

D.點(diǎn)

5.如圖，將兩條寬度相同的紙條重疊在一起，使，則等于()

A.

B.

C.

D.

6.若數(shù)軸上點(diǎn)，分別表示數(shù)，，則，兩點(diǎn)之間的距離可表示為()

A.B.C.D.

7.地球上的太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋稱為四大洋，總面積為萬(wàn)平方公里，其中太平洋占，大西洋占，印度洋占，北冰洋占四大洋面積占比，小明制作了扇形統(tǒng)計(jì)圖來(lái)表示各部分面積所占的百分比，如圖所示，在這個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中，扇形所代表的是()

A.太平洋B.大西洋C.印度洋D.北冰洋

8.如圖，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧別交、于、兩點(diǎn)，再分別以為、為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，分別連接、，則四邊形一定是()

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

9.一組人平分枚硬幣，每人分得若干，若再加上人，平分枚硬幣，則第二次每人所得與第一次相同求第二次分硬幣的人數(shù)設(shè)第二次分硬幣的人數(shù)為人，則可列方程為()

A.B.C.D.

10.長(zhǎng)為的細(xì)木條用兩個(gè)鐵釘固定在墻上，固定點(diǎn)為點(diǎn)，鐵釘?shù)拇笮『雎圆挥?jì)，當(dāng)固定點(diǎn)處的鐵釘脫落后，細(xì)木條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與原來(lái)垂直的方向，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，則點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)為()

A.B.C.D.

11.已知函數(shù)是正比例函數(shù)，且隨的增大而增大，那么的取值范圍是()

A.B.C.D.

12.如圖，，射線在平面內(nèi)射線繞點(diǎn)從射線的反向延長(zhǎng)線的位置出發(fā)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，已知平分，當(dāng)與互余時(shí)旋轉(zhuǎn)角等于()

A.或B.或C.或D.或

二、填空題（本大題共4小題，共16.0分）

13.如圖，托盤天平左邊物體的質(zhì)量為，右邊物體的質(zhì)量為，用不等式表示其數(shù)量關(guān)系是______．

14.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，朝上一面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率是______．

15.如圖，圖中所有四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面積分別為，，則正方形的面積是______．

16.已知，為函數(shù)為常數(shù)，，圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則______．

三、解答題（本大題共9小題，共98.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.本小題分

計(jì)算：；

化簡(jiǎn)：．

18.本小題分

北京冬奧會(huì)的成功舉辦掀起了全民“冬奧熱”，某校九年級(jí)舉行了“冬奧知識(shí)”競(jìng)賽該校九年級(jí)共有學(xué)生人參加了競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，小明對(duì)數(shù)據(jù)成績(jī)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息：

小明在統(tǒng)計(jì)競(jìng)賽成績(jī)各分?jǐn)?shù)段人數(shù)時(shí)，不小心污染了統(tǒng)計(jì)表如圖，請(qǐng)你幫他計(jì)算出成績(jī)?yōu)榉值娜藬?shù)為______人；

成績(jī)分

人數(shù)人

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______分；

若成績(jī)?yōu)榉旨耙陨蠟閮?yōu)秀，根據(jù)以上信息估計(jì)，九年級(jí)學(xué)生中約有多少人成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀．

19.本小題分

山西地處黃河中游，是世界上最早最大的農(nóng)業(yè)起源中心之一，是中國(guó)面食文化的發(fā)祥地，其中的面條文化至今已有兩千多年的歷史面條在東漢稱之為“煮餅”廚師將一定質(zhì)量的面團(tuán)做成拉面時(shí)，面條的總長(zhǎng)度是面條橫截面面積的反比例函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)如圖．

求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

求的值，并解釋它的實(shí)際意義．

20.本小題分

如圖，點(diǎn)是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，，，垂足分別為，．

求證：四邊形是矩形；

若正方形的周長(zhǎng)是，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是正方形．

21.本小題分

某書店銷售一本科普讀物，進(jìn)價(jià)為每本元，若按每本元銷售，平均每月能賣出本經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在不虧本的情況下，為減少庫(kù)存，若每本售價(jià)降低元，則平均每月可多賣出本設(shè)每本科普讀物的售價(jià)降低元．

小宇說(shuō)：“既然降價(jià)銷售，薄利多銷，那么就有可能賣出本”請(qǐng)判斷小宇的說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由；

若該書店銷售此科普讀物想平均每月的銷售利潤(rùn)為元，銷售經(jīng)理甲說(shuō)：“在原售價(jià)的基礎(chǔ)上降低元，可以完成任務(wù)”，銷售經(jīng)理乙說(shuō)：“在原售價(jià)的基礎(chǔ)上降低元即可”，請(qǐng)判斷甲、乙兩人的說(shuō)法是否正確并指出應(yīng)采取誰(shuí)的意見．

22.本小題分

小亮乘車在一段正東方向的高速公路上行駛時(shí)，看到遠(yuǎn)處與高速公路平行的國(guó)道上有一座橋，他在處發(fā)現(xiàn)橋的起點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東的方向上，并測(cè)得米，當(dāng)車前進(jìn)米到達(dá)處時(shí)，測(cè)得橋的終點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東的方向上，求橋的長(zhǎng)度精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，

23.本小題分

如圖，為的直徑，為上的點(diǎn)，是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

填空：______選填“”“”或“”；

判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

已知，，求點(diǎn)到的距離．

24.本小題分

三個(gè)同學(xué)在研究一個(gè)二次函數(shù)為常數(shù)且的圖象，小明說(shuō)：拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)；小亮說(shuō)：拋物線與軸的交點(diǎn)在正半軸上；小穎說(shuō)：拋物線與軸沒(méi)有交點(diǎn)．

請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出此二次函數(shù)的草圖；

拋物線上有兩點(diǎn)，，請(qǐng)比較，的大小；

已知此拋物線始終經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

25.本小題分

在中，，點(diǎn)在線段上，，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

如果，

如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；

如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合時(shí)，問(wèn)：中的“”仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；

如果，如圖，已知為常數(shù)，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄康闹涤煤氖阶颖硎?，并寫出你的探究過(guò)程．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

四個(gè)有理數(shù)，，，其中最小的是．

故選：．

有理數(shù)大小比較的法則：正數(shù)都大于；負(fù)數(shù)都小于；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．

此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正數(shù)都大于；負(fù)數(shù)都小于；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而?。?/p>

2.【答案】

【解析】解：、由圖中所示的圖案通過(guò)旋轉(zhuǎn)而成，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、由圖中所示的圖案通過(guò)翻折而成，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤

C、由圖中所示的圖案通過(guò)旋轉(zhuǎn)而成，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、由圖中所示的圖案通過(guò)平移而成，故本選項(xiàng)正確．

故選：．

根據(jù)圖形平移的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．

本題考查的是生活中的平移現(xiàn)象，熟知圖形平移變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵

3.【答案】

【解析】解：原式

．

故選：．

原式利用同分母分式的加法法則計(jì)算，即可得到結(jié)果．

此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則這個(gè)點(diǎn)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系上的位置可能是點(diǎn)，

故選：．

根據(jù)的坐標(biāo)信息可得點(diǎn)在第二象限，從而可得答案．

本題考查的是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)所在的象限是解本題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：由題意可知，，，

四邊形是平行四邊形，

，

故選：．

由題意可知，，則四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形性質(zhì)即可得出結(jié)論．

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：、兩點(diǎn)之間的距離可表示為：．

故選：．

根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的定義進(jìn)行解答即可．

本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式是解答此題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：四大洋總面積為萬(wàn)平方公里，其中太平洋占，大西洋占，印度洋占，北冰洋占四大洋面積占比，

太平洋占總面積的百分比最大，

在這個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中，扇形所代表的是太平洋．

故選：．

根據(jù)由太平洋占總面積的百分比最大可得答案．

本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是掌握通過(guò)扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．

8.【答案】

【解析】解：由題意可得：，

則四邊形是菱形．

故選：．

利用菱形的判定方法可以判定四邊形是菱形．

此題主要考查了基本作圖以及菱形的判定，正確掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：第二次比第一次多人分硬幣，且第二次分硬幣的人數(shù)為人，

第一次分硬幣的人數(shù)為人．

根據(jù)題意得：．

故選：．

根據(jù)兩次分硬幣人數(shù)間的關(guān)系，可得出第一次分硬幣的人數(shù)為人，根據(jù)第二次每人所得與第一次相同，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】解：點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：，

故選：．

根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算便可．

本題考查了弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是熟記弧長(zhǎng)公式：．

11.【答案】

【解析】解：根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，知：當(dāng)隨自變量的增大而增大，

即，．

故選：．

根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可知．

本題考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：它是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線．當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，隨的增大而減?。?/p>

12.【答案】

【解析】解：如圖，當(dāng)在外部時(shí)，

由題意可得，，

是的平分線，

，

，

，

；

當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，

由題意可得，，

是的平分線，

，

，

，

；

綜上，或，

故選：．

分在外部或在內(nèi)部?jī)煞N情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合已知條件及余角的定義，利用角的和差進(jìn)行計(jì)算即可．

本題考查余角和角平分線的定義，結(jié)合題意，分在外部或在內(nèi)部?jī)煞N情況分類討論并畫出對(duì)應(yīng)圖形是解題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意得：．

故答案為：．

由托盤天平左邊物體的質(zhì)量大于右邊物體的質(zhì)量，可得出．

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：骰子的六個(gè)面上分別刻有到的點(diǎn)數(shù)，朝上一面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的有個(gè)，

擲得朝上一面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率為：．

故答案為：．

由骰子的六個(gè)面上分別刻有到的點(diǎn)數(shù)，朝上一面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的有個(gè)，利用概率公式直接求解即可求得答案．

此題考查了概率公式的應(yīng)用．注意掌握概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

15.【答案】

【解析】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知

，

故答案為：．

根據(jù)勾股定理的幾何意義解答即可．

本題考查了勾股定理，熟悉勾股定理的幾何意義是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸于，

，，，

與關(guān)于直線對(duì)稱，

，

又點(diǎn)，在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，

直線為反比例函數(shù)的對(duì)稱軸，

，

，

在中，，，

，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

．

故答案為：．

連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸于，則直線為反比例函數(shù)的對(duì)稱軸，據(jù)此可得，然后可在中求出，，進(jìn)而可求出的值．

此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是理解對(duì)于，當(dāng)時(shí)，是它的對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，是它的對(duì)稱軸．

17.【答案】解：

；

．

【解析】先算乘方，再算除法，最后算加法即可；

先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可．

本題考查了整式的加減，整式加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)．去括號(hào)時(shí)，要注意兩個(gè)方面：一是括號(hào)外的數(shù)字因數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)；二是當(dāng)括號(hào)外是“”時(shí)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào)．也考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．

18.【答案】

【解析】解：人，

故答案為：；

將這名學(xué)生的成績(jī)從小到大排列后，處在中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為分，即中位數(shù)是，

故答案為：；

名，

答：九年級(jí)名學(xué)生中約有人成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀．

根據(jù)各組頻數(shù)之和為進(jìn)行計(jì)算即可；

根據(jù)中位數(shù)的定義，將這名學(xué)生的成績(jī)從小到大排列，處在第、位的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即可；

根據(jù)頻率進(jìn)行計(jì)算即可．

本題考查中位數(shù)，理解中位數(shù)的意義是正確解答的前提．

19.【答案】解：設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為：，

將代入可得：，

，

，

與之間的函數(shù)表達(dá)式為：；

將代入，

，

，

實(shí)際意義：當(dāng)面條的橫截面積為時(shí)，面條長(zhǎng)度為．

【解析】直接利用待定系數(shù)法得出反比例函數(shù)解析式即可；

利用中所求進(jìn)而得出的值，得出其實(shí)際意義．

此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確得出理解與代表的意義是解題關(guān)鍵．

20.【答案】證明：四邊形為正方形，

，．

，，

，．

又，

四邊形是矩形；

正方形的周長(zhǎng)是，

．

四邊形為正方形，

為等腰直角三角形，

，

四邊形的周長(zhǎng)．

，，

，

四邊形是正方形．

【解析】由正方形的性質(zhì)可得出、，根據(jù)、可得出，，再結(jié)合，即可證出四邊形是矩形；

由正方形的周長(zhǎng)可求出正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出為等腰直角三角形，進(jìn)而可得出，再根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式即可求出周長(zhǎng)；然后求得，即可證得四邊形是正方形．

本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)以及矩形的周長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理．

21.【答案】解：小宇的說(shuō)法不正確，

理由是：解方程，

解得，

元，

元元，

虧本，

小宇的說(shuō)法不正確．

甲、乙兩人的說(shuō)法都正確，

對(duì)于銷售經(jīng)理甲，當(dāng)售價(jià)降低元時(shí)，

銷售量為本，

銷售利潤(rùn)為元；

對(duì)于銷售經(jīng)理乙，當(dāng)售價(jià)降低元時(shí)，

銷售量為本，

銷售利潤(rùn)為元，

兩人的說(shuō)法都正確，

由于增加銷售量可以減少庫(kù)存，

應(yīng)采取銷售經(jīng)理甲的意見．

【解析】根據(jù)已知的方程可求出具體降價(jià)金額，從而可求出售價(jià)，將售價(jià)與進(jìn)價(jià)比較即可求解；

分別對(duì)兩種降價(jià)求出售價(jià)，從而可求出每件所獲得利潤(rùn)，求出這兩種總利潤(rùn)進(jìn)行比較即可．

本題考查了一元一次方程中的銷售問(wèn)題，掌握利潤(rùn)、售價(jià)、進(jìn)價(jià)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

22.【答案】解：過(guò)作于，過(guò)作于，

，，

，米，

，米，

米，

，

米，

米，

答：橋的長(zhǎng)度約為米．

【解析】過(guò)作于，過(guò)作于，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，解直角三角形即可得到結(jié)論．

此題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．

23.【答案】

【解析】解：連接，

，

，

是的中點(diǎn)，

，

，

，

，

，

，

．

故答案為：；

與相切．理由如下：

由知，

，

，

是的半徑，

是的切線；

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，，

由得：，

平分，

，，

，

四邊形內(nèi)接于，

，

，

，

，

≌，

，

，，

≌，

，

設(shè)，則，

，

，

，

，

，

，

是的直徑，

，

，

∽，

，

，

，

即點(diǎn)到的距離為．

根據(jù)圓周角和弧的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)證明，即可解答；

要證明是的切線，求出即可，根據(jù)已知，即可證得結(jié)論；

由可得平分，所以想到過(guò)點(diǎn)作，垂足為，進(jìn)而證明≌，可得，易證≌，可得，進(jìn)而求出，，證得∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得答案．

本題考查了切線的判定，圓周角定理，圓周角和弧的關(guān)系，