三面角余弦定理

三面角余弦定理數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)01證明第二形式目錄02基本信息在三面角O-ABC中，設(shè)二面角B-OA-C為∠OA，則有：cosBOC=cosAOBcosAOC+sinAOBsinAOCcosOA或cosOA=(cosBOC-cosAOBcosAOC)/sinAOBsinAOC文字?jǐn)⑹鰹椋喝娼侵腥我欢娼堑挠嘞抑?，等于其所?duì)面角的余弦減去另兩個(gè)面角的余弦之積，再除以這兩個(gè)面角的正弦之積。根據(jù)這個(gè)定理，結(jié)合三正弦定理就可以求直線和平面所成角或二面角。證明方法二方法一證明方法一三面角余弦定理在OA上取一點(diǎn)D，過(guò)D作OD的垂線DE、DF分別交OB、OC于E與F。接著使用向量證明。考慮有向線段OD、OE、OF、DE、DF。易知：cos∠OA=DE·DF/(DEDF)sin∠AOB=DE/OEsin∠AOC=DF/OFcos∠AOB=OD/OEcos∠AOC=OD/OFcos∠BOC=OE·OF/(OEOF)；則實(shí)際是要證明：DE·DF/(DEDF)DE/OEDF/OF+OD/OEOD/OF=OE·OF/(OEOF)整理得(DE·DF+OD2)/(OEOF)=OE·OF/(OEOF)方法二三面角余弦定理將三面角O-ABC放入單位球中，并設(shè)三面角與球面的交點(diǎn)分別為A、B、C。過(guò)A作球面的切平面，射線OB、OC與切平面交點(diǎn)為B'、C‘。則：∠OA=∠B'AC'=A，AB'=tan∠AOB=tanc，AC'=tan∠AOC=tanb，OB'=1/cos∠AOB=1/cosc，OC'=1/cos∠AOC=1/cosb在△AB'C'中，由余弦定理得B'C'2=tan2c+tan2b-2tanctanbcosA在△OB'C'中，由余弦定理得B'C'2=1/cos2c+1/cosb-2cos∠BOC/(cosccosb)∴sin2c/cos2c+sin2b/cos2b-2sincsinbcosA/(cosccosb)=1/cos2c+1/cos2b-2cos∠BOC/(cosccosb)兩邊乘以cos2ccos2b得sin2ccos2b+sin2bcos2c-2sinccoscsinbcosbcosA第二形式證明第二形式第二形式第二形式在三面角O-ABC中，設(shè)二面角B-OA-C為∠OA，則有：證明將三面角O-ABC的頂點(diǎn)與單位球的球心重合，并設(shè)三邊與球面分別交于A、B、C。根據(jù)球面三角形的定義，在球面△ABC中，∠AOB=c，∠BOC=a，∠AOC=b；∠OA=A，∠OB=B，∠OC=C。則余弦定理的第一形式可化為：余弦定理的第二形式可化為：由于球面三角形與其極對(duì)稱三角形之間存在定量的邊角關(guān)系，因此不妨設(shè)球面△ABC的極對(duì)稱三角形為△A'B'C'，則在△A'B'C'中，由余弦定理的第一形式得