北京第七十七中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

北京第七十七中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)y=f（x）在（﹣∞．+∞）內(nèi)有定義，對于給定的實數(shù)k，定義函數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=x2+x+e﹣x﹣3，若對任意的x∈（﹣∞．+∞）恒有g(shù)（x）=f（x），則（）A．k的最大值為﹣2 B．k的最小值為﹣2C．k的最大值為2 D．k的最小值為2參考答案：A【考點】3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】由已知條件可得，k≤f（x）在（﹣∞，+∞）恒成立，即k≤f（x）min，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的最小值，則答案可求．【解答】解：∵對于任意的x∈（﹣∞，+∞），恒有g(shù)（x）=f（x），由已知條件可得，k≤f（x）在（﹣∞，+∞）恒成立，∴k≤f（x）min，∵f（x）=x2+x+e﹣x﹣3，∴f′（x）=2x+1﹣，令f′（x）=0，得x=0，當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴當(dāng)x=0時函數(shù)f（x）的值最小，最小值為﹣2，∴k≤﹣2，即k的最大值為﹣2．故選：A．2.定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則當(dāng)時，有A.

B.

C.

D.參考答案：C略3.向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x)，m⊥n，則x等于

()A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：D4.《九章算術(shù)》中將底面為長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.現(xiàn)有一陽馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形.若該陽馬的頂點都在同一個球面上，則該球的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知集合，則

A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.含有3個元素的集合既可表示為，又可表示為，則的值是（

）A．1

B．—1

C．

D．

參考答案：B7.在等差數(shù)列中，，，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B8.如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是孤AB的三等分點，M、N是線段AB的三等分點，若OA=6，則的值是A．2 B．5

C．26

D．29參考答案：C9.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，公差，若，則(

) A．

B．

C．

D．參考答案：10.若?x∈（0，），均有9x＜logax（a＞0，且a≠1），則實數(shù)a的取值范圍是(

) A．[2，1） B．（0，2] C．（2，3） D．（1，2）參考答案：A考點：指、對數(shù)不等式的解法．專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：對任意的0＜x＜時，總有9x≤logax恒成立，則在0＜x＜時，y=logax的圖象恒在y=9x的圖象的上方，在同一坐標(biāo)系中，分別畫出指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．解答： 解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），當(dāng)0＜x＜時，函數(shù)y=9x的圖象如右圖所示：∵對任意的0＜x＜，總有9x＜logax恒成立，若不等式9x＜logax恒成立，則y=logax的圖象恒在y=9x的圖象的上方，∵y=logax的圖象與y=9x的圖象交于（，3）點時，a=，故所求的y=logax的圖象對應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足≤a＜1．故選A．點評：本題以指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體考查了函數(shù)恒成立問題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點P，Q是△ABC所在平面上的兩個定點，且滿足，2，若||=，則正實數(shù)λ=．參考答案：【考點】向量的三角形法則．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量的運算可得點P是線段AC的中點，點Q是線段AB的中點，再利用三角形的中位線定理即可得出．【解答】解：∵滿足，∴點P是線段AC的中點．∵2，∴=，∴點Q是線段AB的中點，∵||=，∴．【點評】本題考查了向量的三角形法則、三角形的中位線定理，屬于基礎(chǔ)題．12.已知，則_________參考答案：【知識點】三角函數(shù)的求值、化簡與證明C7【答案解析】

由已知得到=cos2，又因為則，則sin=，cos(2+)=coscos-sinsin=【思路點撥】根據(jù)已知條件確定cos2,再去求cos(2+)。13.下圖是某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是_____。參考答案：略14.

(x+2)10(x2-1)的展開式中x10的系數(shù)是

(用數(shù)字作答)。參考答案：答案：17915.，則的值等于______.參考答案：8略16.直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A，B兩點（其中a，b是實數(shù)），且△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點），則點P（a，b）與點（1，0）之間距離的最小值為．參考答案：考點：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計算題；直線與圓．分析：根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系以及兩點間的距離公式即可得到結(jié)論．解答：解：∵△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點），∴圓心到直線ax+by=1的距離d=，即d==，整理得a2+2b2=2，則點P（a，b）與點Q（1，0）之間距離d==≥，∴點P（a，b）與點（1，0）之間距離的最小值為．故答案為：．點評：本題主要考查直線和圓的位置公式的應(yīng)用以及兩點間的距離公式，考查學(xué)生的計算能力．17.

已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長為2，則最遠(yuǎn)的兩頂點間的距離是________。

參考答案：3解：該六面體的棱只有兩種，設(shè)原正三棱錐的底面邊長為2a，側(cè)棱為b．取CD中點G，則AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，則∠BFD為二面角B—AC—D的平面角．AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2．由cos∠AGE=cos∠BFD，得=．∴=T9b2=16a2，Tb=a，從而b=2，2a=3．AE=2．即最遠(yuǎn)的兩個頂點距離為3．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中,設(shè)內(nèi)角的對邊分別為,向量,向量,若(1)求角的大小

；(2)若,且，求的面積.參考答案：略19.（13分）甲、乙、丙三人在同一辦公室工作。辦公室只有一部電話機，設(shè)經(jīng)過該機打進(jìn)的電話是打給甲、乙、丙的概率依次為、、。若在一段時間內(nèi)打進(jìn)三個電話，且各個電話相互獨立。求：（Ⅰ）這三個電話是打給同一個人的概率；（Ⅱ）這三個電話中恰有兩個是打給甲的概率；參考答案：

解析：（Ⅰ）由互斥事件有一個發(fā)生的概率公式和獨立事件同時發(fā)生的概率公式，

所求概率為：

（Ⅱ）這是n=3，p=的獨立重復(fù)試驗，故所求概率為：

20.某工廠共有員工5000人，現(xiàn)從中隨機抽取100位員工，對他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計表格如下：每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)（單位：百件）(26,28](28,30](30,32](32,34](34,36]頻數(shù)10453564男員工人數(shù)7231811

（1）工廠規(guī)定：每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)超過3200件的員工，會被評為“生產(chǎn)能手”稱號.由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95％的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”稱號與性別有關(guān)？

非“生產(chǎn)能手”“生產(chǎn)能手”合計男員工

女員工

合計

（2）為提高員工勞動的積極性，該工廠實行累進(jìn)計件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的（包括2600件），計件單價為1元；超出(0,200]件的部分，累進(jìn)計件單價為1.2元；超出(200,400]件的部分，累進(jìn)計件單價為1.3元；超出400件以上的部分，累進(jìn)計件單價為1.4元.將這4段的頻率視為相應(yīng)的概率，在該廠男員工中隨機選取1人，女員工中隨機選取2人進(jìn)行工資調(diào)查，設(shè)實得計件工資（實得計件工資=定額計件工資+超定額計件工資）超過3100元的人數(shù)為Z，求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，

0.0500.0100.0013.8416.63510.828參考答案：（1）

非“生產(chǎn)能手”“生產(chǎn)能手”合計男員工48250女員工42850合計9010100

……2分

的觀測值……………3分所以有95％的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”稱號與性別有關(guān).…………4分（2）若員工實得計件工資超過3100元，則每月完成合格品的件數(shù)需超過3000件.

…………5分由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知：男員工實得計件工資超過3100元的概率為；

……6分女員工實得計件工資超過3100元的概率為.

…………7分設(shè)2名女員工中實得計件工資超過3100元的人數(shù)為，則；1名男員工中實得計件工資超過3100元的人數(shù)為，則.的所有可能取值為0,1,2,3，………8分………10分隨機變量的分布列為0123

…………………11分.…………………12分21.長春某高校“紅燭”志愿者協(xié)會計劃募捐救助農(nóng)村貧困學(xué)生，采用如下方式：在不透明的箱子中放入大小形狀均相同的白球七個，紅球三個，每位參與者投幣10元有一次摸獎機會，一次性從箱中摸球三個，若有一個紅球，獎金5元，兩個紅球獎金10元，三個全為紅球獎金100元．（1）求參與者中獎的概率；（2）若有200個愛心人士參加此項活動，求此次募捐所得善款的期望值．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)公式計算概率；（2）根據(jù)概率計算數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）中獎的概率P===．（2）設(shè)此次募捐所得善款的期望值為E，則E=200××（10﹣5）+200×（1﹣）×10﹣200××≈958．22.已知拋物線與直線交于A，B不同兩點，分別過點A、點B作拋物線C的切線，所得的兩