高中數(shù)學-數(shù)學建模：探究茶水水溫的變化規(guī)律教學設計學情分析教材分析課后反思

教學設計數(shù)學建模：探究茶水水溫的變化規(guī)律學習目標核心素養(yǎng)1．了解數(shù)學建模的意義；2．了解數(shù)學建模的基本過程．(重點)3．能夠運用已有函數(shù)模型或建立函數(shù)模型解決實際問題．(重點，難點)1.經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程，培養(yǎng)數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學素養(yǎng)．2．通過數(shù)學建模解決實際應用問題，提升數(shù)學運算、邏輯推理和直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)．一、數(shù)學建模簡介1．數(shù)學建模的概念數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力．2．數(shù)學建模一般步驟3.數(shù)學建?；顒拥闹饕^程(1)選題：就是選定研究的問題．(2)開題：就是進一步明確研究的問題和設計解決問題的方案．(3)做題：是研究者(研究小組)建立數(shù)學模型、用數(shù)學解決實際問題的實踐活動．(4)結題：是研究小組向老師和同學們報告研究成果、進行答辯的過程，一般來講，結題會是結題的基本形式．二、具體內(nèi)容如下：1.前期準備：學生提前一周拿到課題，進行分組，收集數(shù)據(jù)，查閱文獻材料，初建模型，用計算機進行模擬。2.教學環(huán)節(jié)：學習環(huán)節(jié)學習評價學習活動一、創(chuàng)設情境，引入主題通過常見的例子引入主題，讓學生對數(shù)學建模有初步的認識萊蕪干烘茶，歷史悠久，源遠流長。自明代由皖入魯，盛行萊蕪，輻射齊魯，福潤萬千黎民，史曾上貢朝廷，故有“齊魯干烘”之美名。喝干烘茶可“解咸、養(yǎng)胃”。那么齊魯干烘茶水溫多少的時候飲用口感最佳？這其實跟許多因素都有關系，而核心內(nèi)容就是數(shù)學中的數(shù)學建模知識.設計意圖從實際生活出發(fā)，引入問題，讓學生感受數(shù)學的應用價值；通過設疑，引入主題，讓學生初步認識數(shù)學建模.二、模型合理假設，實驗操作，收集數(shù)據(jù)（前期已完成）學生能否抓住主要因素，再合理假設的情況下，實現(xiàn)由現(xiàn)實生活向數(shù)學建模的過渡。探究一我以下面兩個問題為載體，讓學生探求新知：問題1：影響水溫的因素有哪些？主要因素是？問題2：在收集數(shù)據(jù)的過程中，開水的溫度是不是100°C？(師生互動)設計意圖通過自主探索、合作學習不僅體現(xiàn)了學生的主體地位，而且可以讓學生在探索過程中體會到現(xiàn)實生活與數(shù)學模型的合理過渡，以實現(xiàn)由生活到數(shù)學建模的升華，體會到數(shù)學來源于生活又高于生活。三、分析數(shù)據(jù)，初建模型，分組展示六人一組，分成九組，根據(jù)所學知識結合數(shù)據(jù)，自由選擇模型，關注學生能否用已學的函數(shù)模型來分析數(shù)據(jù)，處理實際問題，通過前期的準備，進行小組成果展示探究二三個小組分別以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)為模型進行了數(shù)據(jù)分析，并用計算機對擬合效果進行了分析。我分別從以下五個方面進行了師生互動：1.為什么選擇這個模型？2.數(shù)據(jù)如何篩選和利用？3.模擬效果如何？4.預測溫度何時降至60℃，并估計40分鐘之后的水溫。5.模型是否符合實際生活，能否推廣應用？建立設計意圖：開放性的問題，讓學生自己尋找合適的基本的數(shù)學模型，培養(yǎng)學生初步的建模思想.上述數(shù)學模型都是理想的基本初等函數(shù)型的模型，實際生活中的函數(shù)模型都是對基本初等函數(shù)變形之后的結果，為了引導學生用實際生活檢驗并優(yōu)化數(shù)學模型，開始探究三.通過以上五個問題，發(fā)現(xiàn)所建的模型都與實際生活有很大的差別設計意圖讓學生通過探究活動的形式合作交流，一方面實現(xiàn)學生對數(shù)學建模的過程完善并總結出數(shù)學建模的定義，一方面讓學生在開放、民主的教學氛圍中發(fā)現(xiàn)問題、獲取新知.四、教師引導，優(yōu)化模型通過教師引導，讓學生發(fā)現(xiàn)自己模型與實際生活的誤差，以及處理誤差的方法，從而舉一反三，優(yōu)化模型，培養(yǎng)數(shù)學建模的全面性探究三觀察散點圖的分布狀況，并考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，選擇函數(shù)模型為1.引導學生發(fā)現(xiàn)b初始時刻的溫度，即為室溫20°C。2.利用指數(shù)型函數(shù)的意義，后比前為a，所以利用excel計算出a，此時提出問題：a取哪個值呢？（學生思考一會）a取所有值的平均值（減少誤差）。3.k值怎么取呢？（學生思考一會）利用初始時刻的數(shù)據(jù)（原因）。4.求解出結果利用計算機進行檢驗模擬（課上展示）。5.總結出此模型即為牛頓冷卻定律，即如果物體的初始溫度是y1，環(huán)境溫度是y0，則經(jīng)過時間t后物體的溫度y將滿足：y=y0+(y1-y0)e-kt.問題3：你能根據(jù)以上問題，思考完善數(shù)學建模的過程嗎？活動1：學生一起口答實際問題提出問題實際問題提出問題數(shù)學模型數(shù)學結果檢驗可用結果NY問題4：根據(jù)數(shù)學建模的過程，思考總結數(shù)學建模的定義.活動2：學生和同桌進行討論總結，老師提問檢測.數(shù)學建模定義：數(shù)學建模是運用數(shù)學思想、知識和方法建立數(shù)學模型來解決實際問題的過程.設計意圖學生展示，教師引導，讓學生學會結合具體模型的意義來分析數(shù)據(jù)，建立模型，讓每一步都有理有據(jù)，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力，并能完善數(shù)學建模的過程.五、師生交流、深化反思關注學生能否從學習方法上和態(tài)度上進行自我反思和總結在這一環(huán)節(jié)中，我會給學生2分鐘的時間進行小組交流，然后談談這節(jié)課的收獲，最后給學生2分鐘時間進行反思，把反思內(nèi)容寫到學歷案上，引導學生不僅從知識上總結，還要從學習方法和學習態(tài)度上進行自我評價和反思.由此引出總結語“生活并不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛。處處留心皆學問，透過現(xiàn)象才能夠?qū)?shù)據(jù)、建模型、現(xiàn)本質(zhì)、解問題，這才是數(shù)學來源于生活又服務于生活的真實寫照。希望同學們通過本節(jié)課的學習，能夠?qū)W以致用，學好數(shù)學，才能生活不愁、學習無憂.”設計意圖1.學習了數(shù)學建模的過程和定義，檢驗學生掌握情況，通過小組合作的形式，探究出函數(shù)模型，并且結合圖象找出合適的數(shù)學模型.2.通過讓學生舉例說明身邊的數(shù)學建模實例，讓學生更加明白數(shù)學的實際意義，體會數(shù)學來源于生活又服務于生活的魅力.3.培養(yǎng)學生及時總結的習慣，小結的形式符合學生的認知規(guī)律，能優(yōu)化認知結構.學情分析高一下學期的學生學習過一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)各自的函數(shù)特點，并且學生對于圖形計算器已經(jīng)有一定的基礎，知道數(shù)形結合、轉(zhuǎn)化化歸、由特殊到一般的思想方法，但對于如何建立數(shù)學模型尚不明確。從數(shù)學活動經(jīng)驗上來說，學生具備了一定的數(shù)學活動經(jīng)驗，有主動參與數(shù)學活動的意識和小組合作學習的經(jīng)驗，好奇心強，學習比較積極主動。?本節(jié)課是數(shù)學建模的基礎課，對學生來說是一個全新的認識，在認知方式和思維難度上對學生有較高的要求，而學生的抽象概括能力比較薄弱，學生在建立數(shù)學模型及優(yōu)化數(shù)學模型的過程中會比較困難。效果分析通過本節(jié)課學生對數(shù)學建模有了進一步的認識，了解和經(jīng)歷了解決實際問題的全過程，體驗了數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系。每個學生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)并提出問題，對同樣的問題，能發(fā)揮自己的特長和個性，從不同的角度、層次探索解決的方法，從而獲得綜合運用知識和方法解決實際問題的經(jīng)驗，發(fā)展創(chuàng)新意識。學生在發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程中，學會了通過查詢資料等手段獲取信息；學生在數(shù)學建模中采取了各種合作方式解決問題，養(yǎng)成與人交流的好習慣，并獲得了良好的情感體驗。教材分析數(shù)學建模是高中數(shù)學新課程中新增的研究性學習的內(nèi)容，是高中數(shù)學的一條主線。它打破數(shù)學知識內(nèi)部的嚴密的知識體系和技能體系的界限，強調(diào)以學生的經(jīng)驗、學習實際和社會需要的問題為核心，以問題求解的需要為導向，對學生學過的數(shù)學學科內(nèi)部和跨學科的知識、工具、方法、資源進行整合應用，以有效地培養(yǎng)和發(fā)展學生解決問題的能力、探究精神和綜合實踐能力。它是一種獨立的數(shù)學素養(yǎng)，卻又是一種綜合程度最高的素養(yǎng)，因為建模的過程離不開抽象概括、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析。中學數(shù)學建模首先突出表現(xiàn)了數(shù)學學科的特點，主要是數(shù)學應用的廣泛性，理性精神和文化內(nèi)涵。其次強調(diào)了學生的自主性和實踐性，強調(diào)“問題”和“問題意識”，強調(diào)學習、實踐過程的開放性和活動性。它尤其注重學生學習方式的轉(zhuǎn)變，試圖改變那種單一的以知識授受為基本方式、以知識結果的獲得為直接目的的學習活動。提倡多樣化、個性化、有時代特征的學習和實踐，如網(wǎng)絡搜索、問卷調(diào)查、計算機仿真實驗、現(xiàn)場觀察、合作探究等，強調(diào)“做數(shù)學、學數(shù)學、用數(shù)學”。因而，中學數(shù)學建模比其他任何數(shù)學課程都更強調(diào)學生對實際的活動過程的親歷和體驗。在建模實踐中，應特別強調(diào)建模學習的“過程”，強調(diào)“活動”，強調(diào)建模學習的“選題、開題、做題、結題”這四個操作環(huán)節(jié)，就是要通過建模的學習和實踐，給學生提供一個探究發(fā)現(xiàn)、合作學習、個性展示、協(xié)作支持、工具選擇、信息挖掘、交流分享、歸納提升、反思拓展的機會和氛圍，通過建模活動，激發(fā)學生自主思考，促進學生合作交流，提高學生學習興趣，發(fā)展學生創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學生應用意識和實踐能力，提升對數(shù)學學科價值的理解，積累一定的用數(shù)學解決問題的經(jīng)驗，最終使學生提升適應現(xiàn)代社會要求的可持續(xù)發(fā)展的素養(yǎng)。所以本節(jié)課選取一道生活中的建模實例，借助圖形計算器，綜合分析對比一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)在實際生活中應用的優(yōu)缺點，為以后的數(shù)學建模打基礎，但未能使學生全面認識數(shù)學建模的全過程，于是又在本題的基礎上有所改編，從實際問題出發(fā)，通過分析探究、交流合作、小組展示、總結歸納、深化反思等數(shù)學活動引導學生建立完整的數(shù)學模型解決實際問題，從而深化數(shù)學建模思想。因此本節(jié)課是從函數(shù)出發(fā)，綜合運用數(shù)學知識、思想和方法，嘗試數(shù)學建模，讓學生從不同的角度理解數(shù)學的魅力。評測練習知識點一建立數(shù)學模型1.生物學家認為，睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持體溫．研究表明，消耗的能量E與通過心臟的血液量Q成正比；并且根據(jù)生物學常識知道，動物的體重與體積成正比．血流量Q是單位時間流過的血量，脈博率f是單位時間心跳的次數(shù)；還有一些生物學假設，例如，心臟每次收縮擠壓出來的血量q與心臟大小成正比，動物心臟的大小與這個動物體積的大小成正比．下表給出一些動物體重與脈搏率對應的數(shù)據(jù)．動物名體重/g脈搏率/(心跳次數(shù)·min－1)鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070馬45000038建立一個數(shù)學模型將通過心臟的血流量與體重聯(lián)系起來，進一步建立脈搏率與體重的關系，討論你模型中的假設，并用上表中的數(shù)據(jù)檢驗模型．知識點二數(shù)學建模的主要步驟2.超市賣某一品牌的衛(wèi)生紙，這種衛(wèi)生紙分“有芯”和“無芯”兩種紙卷，如圖，兩種紙具有同樣的材質(zhì)和厚度，紙卷的高度和單價也一樣，若預購買這種衛(wèi)生紙，但不知道哪種紙卷更合算，如果沒有帶尺子，用什么辦法可以確定合算的紙卷？為什么？知識點三數(shù)學建模的主要過程3.在意外發(fā)生的時候，建筑物內(nèi)的人員是否能盡快的疏散撤離是人們普遍關心的有關人身安全保障的最大問題．根據(jù)學校情況，選一角度并提出問題，完成開題報告．參考答案1．解析：建模過程如下：(1)因為動物體溫通過身體表面散發(fā)熱量，表面積越大，散發(fā)的熱量越多，保持體溫需要的能量也就越大，所以動物體內(nèi)消耗的能量E與身體的表面積S成正比，可以表示為E＝p1S.又因為動物體內(nèi)消耗的能量E與通過心臟的血流量Q成正比，可以表示為E＝p2Q.因此得到Q＝pS，其中p1，p2和p均為正的比例系數(shù)．另一方面，因為體積V與體重W成正比，可以表示為V＝r1W；又因為表面積S大約與體積V的eq\f(2,3)次方成正比，可以表示為S＝r2Veq\f(2,3)，因此得到S＝rWeq\f(2,3)，其中r1，r2，r為正的比例系數(shù)．所以可以構建血流量與體重關系的數(shù)學模型Q＝k1Weq\f(2,3)，其中k1為正的比例系數(shù)．(2)根據(jù)脈搏率的定義f＝eq\f(Q,q)，再根據(jù)生物學假設q＝cW(c為正的比例系數(shù))，最后得到f＝eq\f(Q,q)＝eq\f(k1W\f(2,3),cW)，也就是f＝kW－eq\f(1,3)，其中k為正的待定系數(shù)．脈搏率與體重關系的數(shù)學模型說明，恒溫動物體重越大，脈搏率越低；脈搏率與體重的eq\f(1,3)次方成反比，表中的數(shù)據(jù)基本上反映了這個反比例的關系．右圖是以lnW和lnf為坐標的散點圖．可以看出，數(shù)據(jù)取對數(shù)之后基本滿足線性關系，因此得到體重和脈搏率的對數(shù)線性模型，可以把這個模型表達為lnf＝lnk－eq\f(lnW,3).2．解析：合算就是紙的量多，因為紙卷的高度和單價一樣，我們只要比較兩種紙卷截面的面積，取較大的就合算，為此可以各取一個紙卷，令無芯紙卷截面的圓心壓在有芯紙卷截面的芯(即小圓)上，如右圖，然后看無芯紙卷截面上與有芯紙卷截面的芯相切的直徑端點，若端點在有芯紙卷截面的大圓上，則兩種紙卷的量相等；若在其內(nèi)則買有芯紙卷合算；若在其外則買無芯紙卷合算．證明：設有芯紙卷截面的內(nèi)、外半徑分別為r，R，大圓內(nèi)與小圓相切的弦長為d，無芯紙卷截面的直徑為D，于是，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＝R2－r2，當D＝d時，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))2＝S無芯，當D＞d時，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＜πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))2＝S無芯．當D＜d時，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＞πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))2＝S無芯．3．解析：要解決的問題在教學樓一樓有一排四間教室，學生可以沿教室外走廊一直走到盡頭的出口，試分析學生撤離所用時間選題的原因及意義建立數(shù)學模型給出最佳撤離方案，同時就教學樓設計給出合理化建議建模問題的可行性分析教師可在教學樓內(nèi)組織學生進行多次演習，只需測量幾個簡單的參數(shù)．基本模型、解決問題的大體思路和步驟做出合理假設，列出有關的參數(shù)．隊列中人與人之間的距離將為常數(shù)，記為d，隊列行進的速度也是常數(shù)v，令第i個教室中的人數(shù)為ni＋1人，第i個教室的門口到前一個教室的門口的距離為Li，教室門的寬度為D.疏散時教室內(nèi)第一個人到達教室門口所用的時間忽略不計．T1,2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(L1＋L2＋D＋n2d/v,n1＋1d≤L2＋D,[L1＋n1＋n2＋1d]/v,n1＋1d＞L2＋D))預期結果和結果呈現(xiàn)方式建立一個來描述建筑物內(nèi)人員疏散的最合適的模型，一份有求解過程的文字報告參考文獻《數(shù)學模型與數(shù)學建?！繁本煼洞髮W數(shù)學科學學院其他說明課后反思數(shù)學建模是高中數(shù)學新課程中研究性學習的內(nèi)容，數(shù)學建模的概念比較陌生和抽象，建立數(shù)學模型的過程是本節(jié)課的難點。本節(jié)課選取一道生活中的建模實例“茶水水溫的變化規(guī)律”，借助圖形計算器，通過分析探究、交流合作、小組展示、師生釋疑等環(huán)節(jié)，設計一系列環(huán)環(huán)相扣的問題，引導學生思考、討論、對比各自函數(shù)的特點，得出符合題意的數(shù)學模型，從而突出本節(jié)課的重點。但在實際生活中，符合題意的數(shù)學模型不一定符合實際情況，于是在題目的基礎上加以修改，用實際問題去檢驗數(shù)學模型，不斷擬合出最優(yōu)的數(shù)學模型，讓學生體會數(shù)學建模的優(yōu)化思想，引導學生建立完整的數(shù)學建模過程，深化數(shù)學建模思想，突破本節(jié)課的難點。這樣的處理符合學生的認知規(guī)律，從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)設計問題，能使他們更快更好地建立數(shù)學模型。本節(jié)課的設計主線為數(shù)學建模的過程，從設置問題情景、到抽象建模過程，到抽象概念、理解概念、課堂檢測、課后小結，貫穿始終。根據(jù)新課標的評價理念，教師在課堂中應尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需求，鼓勵學生探索方式、表達方式和解題方法的多樣化。在教學活動中教師要關注學生的參與程度和表現(xiàn)出來的