03曲面及其方程、二次曲面

高等數(shù)學(xué)北京工商大學(xué)楊益民7/19/20231第三節(jié)曲面及其方程一、曲面方程的概念一般地，若曲面S與三元方程F(x,y,z)=0滿足：（1）曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=0；（2）不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)=0；則稱：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的圖像。兩個(gè)基本問題：（2）已知F(x,y,z)=0，問它表示什么曲面？（1）已知曲面S，求曲面方程F(x,y,z)=0？7/19/20232一些特殊平面例3

方程表示什么圖形？用截痕法討論幾種特殊曲面（特別二次曲面）例1

求球心在點(diǎn)半徑為R的球面方程。例2

已知空間兩點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求線段AB的垂直平分面的方程。一般地，三元二次方程（不含交叉項(xiàng)且平方項(xiàng)系數(shù)相同）表示空間的一張球面。7/19/20233例4

方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底。解7/19/20234二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。播放7/19/20235例5

證明以oz軸為旋轉(zhuǎn)軸，yoz坐標(biāo)面上的已知曲線為母線所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：證明：旋轉(zhuǎn)曲面如圖設(shè)M(x,y,z)為旋轉(zhuǎn)曲面S上任意一點(diǎn)，顯然，M一定是由母線C上某點(diǎn)M1(0,y1,z1)旋轉(zhuǎn)得到，(0,0,z)代入母線方程即得證明。即7/19/20236注意：1.yoz平面上的母線繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面2.yoz平面上的母線繞oy軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面3.xoy平面上的母線繞ox軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面7/19/20237例6求xoz坐標(biāo)面的上雙曲線C：分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)雙曲面解：一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面，兩直線的交點(diǎn)叫圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線的夾角叫圓錐面的半頂角。7/19/20238解:

圓錐面方程例7

試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為α的圓錐面方程。圓錐面的母線方程為7/19/20239播放定義三、柱面觀察柱面的形成過程:沿定曲線C移動(dòng)的動(dòng)直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。7/19/202310柱面舉例拋物柱面平面7/19/202311一般地，已知準(zhǔn)線方程母線平行于z軸的柱面方程為：注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程表示母線平行于z軸的柱面。一般地，在空間直角坐標(biāo)下（缺z），表示母線∥？，準(zhǔn)線為？的柱面。（缺y），表示母線∥？，準(zhǔn)線為？的柱面。（缺x），表示母線∥？，準(zhǔn)線為？的柱面。7/19/202312問：（1）表示什么曲面？（2）表示什么曲面？回顧1.三元方程F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面S。2.表示一張球面。3.表示空間的一張平面。4.yoz平面上的母線繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面7/19/202313四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。目的：利用截痕法討論二次曲面的形狀。即：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。5.xoy平面上的準(zhǔn)線方程母線平行于z軸的柱面方程為：7/19/202314（一）橢球面橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：橢球面與平面的交線為橢圓同理與平面x=x1和y=y1

的交線也是橢圓7/19/202315橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓或繞z軸旋轉(zhuǎn)而成。球面方程可寫為7/19/202316（二）拋物面（p與q同號）（1）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標(biāo)面xoy

(z=0)去截；設(shè)p與q都大于零。（2）用平面去截；（3）用坐標(biāo)面xoz

或yoz

去截；（4）用平面去截；yoxz7/19/202317zxyo橢圓拋物面的圖形如下：xyzo特殊地：當(dāng)p=q時(shí)，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面7/19/202318（2）雙曲拋物面（馬鞍面）(p與q同號)用截痕法討論：設(shè)xzyo7/19/202319（三）雙曲面單葉雙曲面xyoz（1）zoxy.7/19/202320雙葉雙曲面xyo（2）xoyz7/19/202321習(xí)題8－34，5，7，8，9，10，117/19/202322二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。7/19/202323二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。7/19/202324二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。7/19/202325二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。7/19/202326二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。7/19/202327二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。7/19/202328二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。7/19/202329二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。7/19/202330二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。7/19/202331二、旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲