矩陣位移法-課件(講課)

第九章矩陣位移法1

§9.1概述§9.2桿件單元的離散化§9.3單元剛度矩陣（局部坐標系）

§9.4單元剛度矩陣（整體坐標系）

§9.5連續(xù)梁的剛度矩陣

§9.6剛架的剛度矩陣

§9.7等效結點荷載

§9.8忽略軸向變形時矩形剛架的整體分析第9章矩陣位移法2

矩陣位移法是以矩陣形式表達的位移法。它與位移法的基本原理總體上是相同的。即它們都是以結點位移為基本未知量，通過先“拆散”、后“組裝”，利用平衡方程求解，然后再計算結構內力的方法。按照矩陣位移法的術語，主要有以下三個基本環(huán)節(jié)：結構的離散化單元分析整體分析9.1概述

簡單概括為：“先分再合，拆了再搭”3

將結構整體拆開，分解為有限個較小的單元各單元只在有限個結點處相連，這個過程稱作離散化。對于桿件結構，一般以一根等截面直桿為一個單元。因此，整個結構可看作是有限個單元的集合體，這一環(huán)節(jié)，相當于建立位移法的基本結構。1.結構的離散化矩陣位移法的三個基本環(huán)節(jié)42.單元分析矩陣位移法的三個基本環(huán)節(jié)

單元分析的任務在于，分析桿單元的桿端內力與桿端位移之間的關系，以矩陣形式表示，建立單元剛度方程。這一環(huán)節(jié)，與位移法中建立轉角位移方程相對應。5整體分析——把各桿單元集合成原來的結構。

整體分析的任務——將單元集合成整體，由單元剛度矩陣按照剛度集成規(guī)則形成整體剛度矩陣，建立整個結構的剛度方程，以求解原結構的結點位移。這一環(huán)節(jié)，與建立和求解位移法的基本方程相對應。據此，可進一步算出各單元的桿端內力。3.整體分析矩陣位移法的三個基本環(huán)節(jié)

直接由單元剛度矩陣導出整體剛度矩陣的集成規(guī)則，是矩陣位移法的核心內容。6

9.2.1單元與結點的劃分和編號結點：將結構離散成單元的分割點。構造結點:桿件轉折點、匯交點、支承點、截面突變點、自由端、材料交界點等。非構造結點：集中荷載作用點。單元：結點間的桿件1.單元與結點的劃分9.2桿件結構的離散化123485761234567PP7整體(結構)坐標系，用x-y表示，其坐標原點可任意選取，從x軸正方向順時針旋轉90度為y軸正方向桿件結構的離散化2.單元與結點的編號①②③、、、單元編號：結點編號：1、2、3、、、編號順序：原則上隨意，考慮對計算機內存和計算時間的影響，通常應使每個單元兩端結點號差值盡可能最小。

9.2.2兩種直角坐標系局部(單元)坐標系，用表示，其坐標原點在單元的始端點，從始端指向末端的為的正方向；從軸的正方向順時針旋轉90度為軸的正方向。每個單元一套坐標系。xyyxoxx8剛架單元的每個端點有三個桿端力分量和相應的三個桿端位移分量（如圖所示），則單元的桿端位移向量和桿端力向量分別為：

9.2.3單元桿端力和桿端位移的表示方法yx1.表示方法排列順序：先始端后末端2.符號規(guī)定1、桿端轉角位移和桿端彎矩順時針為正；2、其他桿端位移和桿端內力與坐標軸正向一致為正。局部碼結點位移在單元中的編碼99.3.1一般單元的單元剛度方程和單元剛度矩陣§9.3單元剛度矩陣（局部坐標系）一般桿單元——兩端剛結的桿單元（考慮材料的軸向變形）。

單元剛度方程——指單元桿端內力和桿端位移之間的轉換關系。它表示單元在任意給定位移時所產生的桿端力。單元坐標系中，單元剛度方程表示為單元剛度矩陣——109.3單元剛度矩陣（局部坐標系）2'1'12E,A,I,lY2X2M2Y1X1M1xy119.3單元剛度矩陣（局部坐標系）

在線彈性小變形時，忽略軸向變形與彎曲變形之間的相互影響，根據桿件的拉壓胡克定律和無荷載作用時的轉角位移方程，按照本章的正負號規(guī)則，寫出剛度方程。2'1'12E,A,I,lY2X2M2Y1X1M1xy引導學生自己推導12寫成矩陣的形式進一步:9.3單元剛度矩陣（局部坐標系）13其中，單元剛度矩陣為9.3單元剛度矩陣（局部坐標系）149.3.2、單元剛度矩陣的性質1、單元剛度系數(shù)的意義——剛度矩陣中的每個元素的意義e—代表單元桿端第j個位移分量等于1（同時其他位移分量為0）時所引起的第i個桿端力分量。e(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)159.3.2、單元剛度矩陣的性質1、單元剛度系數(shù)的意義——剛度矩陣中的每個元素的意義例如代表單元桿端第2個位移分量時所引起的第5個桿端力分量的數(shù)值。eee(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)169.3.2、單元剛度矩陣的性質2、單元剛度矩陣是對稱矩陣，e即。e(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)根據反力互等定理可以從理論上進行證明（略）179.3.2、單元剛度矩陣的性質3、一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣；e從數(shù)學上可以證明一般單元的剛度矩陣e的行列式e=0故為奇異矩陣，其逆矩陣不存在！e(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)實際上可以很明顯看出該矩陣中某兩行（列）之間存在線性關系，必為奇異矩陣189.3.2、單元剛度矩陣的性質3、一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣；e從數(shù)學上可以證明一般單元的剛度矩陣e的行列式e=0故為奇異矩陣，其逆矩陣不存在！eee由單元桿端位移，可以推求單元桿端力，且為唯一解。

這一性質說明：但是由單元桿端力反推單元桿端位移，卻不一定有唯一解！199.3.3、特殊單元e以連續(xù)梁為例：12e126個桿端位移分量“一般”單元是指以上6個桿端位移分量均可指定為任意值，而不是預先確定。若單元6個桿端位移中有某一個或幾個已知為零，則該單元稱為特殊單元，其剛度方程是一般單元剛度方程的特例。取每跨梁作為一個單元，則只有兩個桿端轉角可以指定為任意值，其余四個分量均已知為零！209.3.3、特殊單元實際上，特殊單元的剛度矩陣可以由一般單元剛度矩陣作特殊處理得到。

12eeee已知第1，2，4，5位移分量為零，則刪去第1，2，4，5行和列的相關元素即可。2112eeeeeeeee為了程序的標準化和通用性，不采用特殊單元，只用一般單元，如果結構有特殊單元，可以通過程序由一般單元來形成。22軸力（桁架）單元寫成矩陣的形式：exX1X223§9-4單元剛度矩陣(整體坐標系)Pxy123采用局部坐標系對每根桿件進行討論，可以建立具有簡單形式的單元剛度矩陣。但最終形成整體剛度矩陣，進行整體分析時，必須采用統(tǒng)一的公共坐標系。因此需要通過坐標轉換的方法將局部坐標系中的單元剛度矩陣轉換為整體坐標系中的剛度矩陣。24§9-4單元剛度矩陣(整體坐標系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeee單元桿端力的轉換式？一、單元坐標轉換矩陣從整體坐標系x

軸到局部坐標系x

軸的夾角a

以順時針轉向為正25§9-4單元剛度矩陣(整體坐標系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee坐標轉換矩陣一、單元坐標轉換矩陣26正交矩陣[T]-1=[T]T或

[T][T]T=[T]T[T]=[I]于是根據同理有eeee??正交矩陣的性質！ee自行推導，與桿端力轉換式推導過程完全相同27需要找出與[k]的關系ee局部坐標系中：eee整體坐標系中(b)eee{F}=[k]{}(a)二、整體坐標系中的單元剛度矩陣[k]稱為在整體坐標系中的單元剛度矩陣e28e{F}=[T]T[T]{}ee(d)k[T]{F}=e[T]{}(c)eke[k]=[T]T

ke[T]e(e)二、整體坐標系中的單元剛度矩陣（b）式可轉換為：方程(c)兩邊前乘[T]T顯然整體坐標系中的單元剛度矩陣為eee局部坐標系中：eeee分別代入(b)e[T]T[T]

{F}=[T]T[T]{}eek利用正交矩陣的性質29[k]=[T]T

ke[T]e[k]e的性質與ek一樣。二、整體坐標系中的單元剛度矩陣元素kij的意義對稱矩陣對于一般單元，是奇異矩陣至此，可以得到整體坐標系中的單元桿端力和桿端位移的關系eee{F}=[k]{}其中整體坐標系中的單元剛度矩陣可以這樣計算：30例1.試求圖示剛架中各單元在整體座標系中的剛度矩陣。設1和2桿的桿長和截面尺寸相同。1l=5ml=5m2xyl=5m，bh=0.5m1m,A=0.5m2,I=m4,124解:(1)先求局部坐標系中的單元剛度矩陣(2)整體坐標系中的單元剛度矩陣e[k]ke單元1：=0，故坐標轉換矩陣[T]=[I]k1=1[k]k=k31單元2：=90，單元坐標轉換矩陣為[k]=[T]T

k[T]1l=5ml=5m2xy故單元2在整體坐標系中的單元剛度矩陣為：32eeeeee{F}=[k]{}小結

局部坐標系單元剛度方程、矩陣整體坐標系單元剛度方程、矩陣單元分析坐標轉換矩陣整體分析將各單元集合成結構整體，形成整體剛度矩陣，建立整體剛度方程33§9-5連續(xù)梁的整體剛度矩陣按傳統(tǒng)的位移法先以簡單的連續(xù)梁為例，討論整體剛度矩陣、方程的建立方法i1i212123F1F2F3F3{F}=[F1F2]TD3{D}=[D1D2]T整體結構的結點位移向量整體結構的結點力向量{D}{F}如何建立單元集成法（剛度集成法、直接剛度法）——本章的核心內容34若按傳統(tǒng)的位移法建立整體剛度方程分別考慮每個結點轉角獨自引起的結點力偶。i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每個結點位移對{F}的單獨貢獻F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2123={F}=[K]{}根據每個結點位移對附加約束上的約束力{F}的單獨貢獻進行疊加而計算所得。傳統(tǒng)位移法35一、單元集成法的力學模型和基本概念分別考慮每個單元對{F}的單獨貢獻，然后進行疊加§9-5連續(xù)梁的整體剛度矩陣（剛度集成法、直接剛度法）“由單元直接集成”整體剛度矩陣i1i212123F1F2F336i1i212123F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31可令i2=0，則F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000單元1的貢獻矩陣表示單元1對結點力{F}的單獨貢獻要略去其它單元的貢獻。首先考慮單元1對結點力{F}的單獨貢獻單元1的剛度矩陣37i1i212123F12F22F32[k]=4i22i24i22i22F12F22F32=4i22i24i22i2000001232[K]{}{F}=2設i1=0，則F12=0[K]=24i22i24i22i200000單元的貢獻矩陣F3{F}2=[F12F222]T表示單元對結點力{F}的單獨貢獻要略去單元的貢獻。再來考慮單元2對結點力{F}的單獨貢獻381[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i22i24i22i200000i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}故整體剛度矩陣為：根據單元和單元分別對結點力{F}的貢獻，可得整體剛度方程：[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i2與傳統(tǒng)位移法的結果完全一致391[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i22i24i22i200000i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}故整體剛度矩陣為：單元集成法求整體剛度矩陣步驟：根據單元和單元分別對結點力{F}的貢獻，可得整體剛度方程：[k]e40[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000004i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2[k][K][K]ee[k]e在單元分析中已經解決核心步驟！各單元貢獻矩陣簡單疊加可通過引入“單元定位向量”來協(xié)助完成這一步41二、按照單元定位向量由[k]求

e[K]e(1)在整體分析中按結構的結點位移統(tǒng)一編碼，稱為總碼。(2)在單元分析中按單元兩端結點位移單獨編碼，稱為局部碼。以連續(xù)梁為例121231(1)(2)2(1)(2)在整體中位移統(tǒng)一編碼，總碼在單元中位移單獨編碼，局部碼[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i200000上例中：建立如下兩種編碼：實質是確定中的元素在中的位置。[k]e[K]e可見由[k]求

e[K]e42二、按照單元定位向量由[k]求

e[K]e以連續(xù)梁為例121231(1)(2)2(1)(2)在整體中位移統(tǒng)一編碼，總碼單元12對應關系局部碼總碼“單元定位向量”e(1)1(2)21=(1)2(2)32=在單元中位移單獨編碼，局部碼由單元對應的結點位移總碼組成的向量單元定位向量描述了單元兩種編碼（總碼、局部碼）之間的對應關系，也稱為“單元換碼向量”43考察單元剛度矩陣[k]e[K]e和單元貢獻矩陣中元素的對應關系單元[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=123123元素按局部碼排列元素按總碼排列單元定位向量123121(1)(2)單元貢獻矩陣可以由單元剛度矩陣利用“單元定位向量”進行“換碼重排座”得到。[K]=14i12i14i12i10000044考察單元剛度矩陣[k]e[K]e和單元貢獻矩陣中元素的對應關系單元[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=123123元素按局部碼排列元素按總碼排列單元定位向量121232(1)(2)[K]=24i22i24i22i200000單元貢獻矩陣可以由單元剛度矩陣利用“單元定位向量”進行“換碼重排座”得到。單元剛度矩陣中的元素在單元貢獻矩陣中的新位置根據單元定位向量中的號碼來確定！45三、單元集成法的實際操作方案[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）將[K]置零，得[K]=[0]；（2）將[k]的元素在[K]中按{}定位，得[K]=[K]；（3）將[k]的元素在[K]中按{}定位并進行累加，得[K]=[K]+[K]；按此作法對所有單元循環(huán)一遍，最后即得整體剛度矩陣[K]?；凇皳Q碼重排座”的原則，集成整體剛度矩陣可以如下進行：邊“定位”、邊“累加”兩步合并為一步進行！4612i1i2i3312301230=0（1）結點位移分量總碼（2）單元定位向量1=2=3=例.求連續(xù)梁的整體剛度矩陣。規(guī)定：凡給定為零值的結點位移分量，其總碼均編為0（邊界條件的先處理方法）4712i1i2i3312301230=0（1）結點位移分量總碼（2）單元定位向量1=2=3=（3）單元集成過程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例.求連續(xù)梁的整體剛度矩陣。單元剛度矩陣處根據單元定位向量標注整體碼，可方便后續(xù)“定位”、“累加”操作此處將來如何處理“定位”操作？4812i1i2i3312341234=0（1）結點位移分量總碼（2）單元定位向量1=2=3=（3）單元集成過程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i334334[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例.求連續(xù)梁的整體剛度矩陣。先處理方法：零編碼對應的行（列）元素在整體剛度矩陣中舍棄！49四、整體剛度矩陣[K]的性質（1）整體剛度系數(shù)的意義————整體剛度矩陣中每個元素的意義（2）[K]是對稱矩陣（3）對幾何不變體系，[K]是可逆矩陣，如連續(xù)梁。i1i2123F1F2F3{F}=[K]{}{}=[K]-1{F}

Kij代表j=1(其余結點位移均為0)時產生的第i個結點力Fi502i3四、整體剛度矩陣[K]的性質（4）[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續(xù)梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+14i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in2in…...稀疏矩陣:矩陣中存在大量的零元素帶狀矩陣：非零元素集中在主對角線附近0051§9-6剛架的整體剛度矩陣（1）整體剛度矩陣由各單元剛度矩陣集成；e[k]（2）集成是通過將中的元素在[K]中進行定位、累加(1)一般要考慮各單元的軸向變形；（忽略桿件軸向變形作為特例處理）(2)每個剛結點有三個位移分量；(3)對于存在多個不同方向的桿件時，需要采用整體坐標進行分析；(4)要處理結構中非剛結點的特殊情況。討論對象：一般平面剛架與連續(xù)梁相比，基本思路相同：但要處理更復雜的情況：e{}（3）“定位”是依據單元定位向量進行的。52§9-6剛架的整體剛度矩陣一、結點位移分量的統(tǒng)一編碼——總碼ABCxy123004000結點位移總碼{}=[1

234]T規(guī)定：對于已知為零的結點位移分量，其總碼均編為零。（以后均采用先處理方法）=[uA

vA

A

C]T整體結構的結點位移向量為：相應地結點力向量為：=[XA

YA

MA

MC]T{F}=[F1

F2

F3

F4]T①②53x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)單元結點位移分量局部碼二、單元定位向量單元單元局部碼總碼局部碼總碼（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0三、單元集成過程①②ABCxy12300400結點位移總碼②①0(4)(1)(4)541ABC2xy123004000121234[K]=123400000000000000001[k]=000000000000000000000000000000000000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566123004123004111213212223313233616263661626361112132122233132332[k]123000123000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566=55四、鉸結點的處理[K]求單元常數(shù){}[T]整體坐標系下

單元剛度矩陣[k]程序設計框圖（局部：集成整體剛度矩陣）1122剛結點：完全變形連續(xù)，截面1和截面2具有相同的結點位移。鉸結點：部分變形連續(xù)，截面1和截面2具有相同的結點線位移；而其角位移不相等。鉸接點處對于不同桿件的“角位移”分量，采用不同的編碼56123ABDxy000123456C1C2457000123結點位移分量總碼結點C1[456]結點C2[457]單元定位向量1[k]=1234562[k]=1230001230001234565700000000000000000000000000000000000000000000000001231[k]=1234561234562[k]=1230001230003[k]=457000457000[K]=1234567123456758§9-7

等效結點荷載{F}=[K]{}………………(1)結構體系剛度方程：一、位移法基本方程k11

1+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222

+··········+k2nn+F2P=0

··································kn1

1+kn22+

··········+knnn+FnP=0

[K]{}+{FP}={0}…………...………(2){F}+{FP}={0}…………..………(3)將(1)式代入(2)式：表示結點位移{}和結點力{F}之間的關系，反映了結構的剛度性質，而不涉及原結構上作用的實際荷載，并不是原結構的位移法基本方程?；倔w系在荷載單獨作用下產生的結點約束力?；倔w系在結點位移單獨作用下產生的結點約束力。59二、等效結點荷載的概念結點約束力——{FP}結點約束力——{FP}等效結點荷載{P}原荷載??顯然{P}=–{FP}………解決了計算等效結點荷載的問題等效原則是兩種荷載在基本體系中產生相同的結點約束力[K]{}={F}{FP}+=+=060三、按單元集成法求整體結構的等效結點荷載{P}(1)局部座標單元的等效結點荷載{P}exee{P}ee(2)整體座標單元的等效結點荷載{P}