第八參數(shù)估計(jì)方法課件

人的差異在于業(yè)余時(shí)間第八參數(shù)估計(jì)方法第八參數(shù)估計(jì)方法人的差異在于業(yè)余時(shí)間第八參數(shù)估計(jì)方法第八章參數(shù)估計(jì)方法第一節(jié)農(nóng)業(yè)科學(xué)中的主要參數(shù)及其估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)第二節(jié)矩法第三節(jié)最小二乘法第四節(jié)極大似然法第一節(jié)農(nóng)業(yè)科學(xué)中的主要參數(shù)及其估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)一、農(nóng)業(yè)科學(xué)中的主要參數(shù)(1)總體數(shù)量特征值參數(shù)，例如，用平均數(shù)來估計(jì)品種的產(chǎn)量，用平均數(shù)差數(shù)來估計(jì)施肥等處理的效應(yīng)；(2)在揭示變數(shù)間的相互關(guān)系方面，用相關(guān)系數(shù)來描述2個(gè)變數(shù)間的線性關(guān)系；用回歸系數(shù)、偏回歸系數(shù)等來描述原因變數(shù)變化所引起的結(jié)果變數(shù)的平均變化的數(shù)量，用通徑系數(shù)來描述成分性狀對目標(biāo)性狀的貢獻(xiàn)程度等。農(nóng)業(yè)科學(xué)研究中需要估計(jì)的參數(shù)是多種多樣的，主要包括:用D(y)表示方差，有

D(y)=E[y－E(y)]2

(8·3)這就是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。同理，離散型隨機(jī)變量方差的數(shù)學(xué)期望為：(8·4)連續(xù)型隨機(jī)變量方差的數(shù)學(xué)期望為：(8·5)數(shù)學(xué)期望有這樣一些常用的性質(zhì)：(1)常數(shù)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)本身；(2)隨機(jī)變量與常數(shù)的乘積的數(shù)學(xué)期望是常數(shù)與隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的乘積；(3)多個(gè)隨機(jī)變量分別與常數(shù)的乘積的求和函數(shù)的數(shù)學(xué)期望是常數(shù)與多個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的乘積的和；(4)多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的乘積的數(shù)學(xué)期望是多個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的乘積。(二)參數(shù)估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)評價(jià)估計(jì)量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)主要有無偏性、有效性、相合性等(1)無偏性參數(shù)估計(jì)量的期望值與參數(shù)真值是相等的，這種性質(zhì)稱為無偏性，具有無偏性的估計(jì)量稱為無偏估計(jì)量。例如，在抽樣分布中已經(jīng)介紹了離均差平方和除以自由度得到的均方的平均數(shù)等于總體方差，即該均方的數(shù)學(xué)期望等于相應(yīng)總體參數(shù)方差，這就是說該均方估計(jì)量是無偏的。估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望值在樣本容量趨近于無窮大時(shí)與參數(shù)的真值相等的性質(zhì)稱為漸進(jìn)無偏性，具有漸進(jìn)無偏性的估計(jì)量稱為漸進(jìn)無偏估計(jì)量。(2)有效性無偏性表示估計(jì)值是在真值周圍波動(dòng)的一個(gè)數(shù)值，即無偏性表示估計(jì)值與真值間平均差異為0，近似可以用估計(jì)值作為真值的一個(gè)代表。同一個(gè)參數(shù)可以有許多無偏估計(jì)量，但不同估計(jì)量的期望方差不同，也就是估計(jì)量在真值周圍的波動(dòng)大小不同。估計(jì)量的期望方差越大說明用其估計(jì)值代表相應(yīng)真值的有效性越差；否則越好，越有效。不同的估計(jì)量具有不同的方差，方差最小說明最有效。如果一個(gè)無偏估計(jì)量相對與其它所有可能無偏估計(jì)量，其期望方差最小，那么稱這種估計(jì)量為一致最小方差無偏估計(jì)量。(3)相合性用估計(jì)量估計(jì)參數(shù)涉及一個(gè)樣本容量大小問題，如果樣本容量越大估計(jì)值越接近真值，那么這種估計(jì)量是相合估計(jì)量。除以上三方面標(biāo)準(zhǔn)外，還有充分性與完備性也是?？紤]的。

充分性指估計(jì)量應(yīng)充分利用樣本中每一變量的信息；

完備性指該估計(jì)量是充分的唯一的無偏估計(jì)量。第二節(jié)矩法一、矩的概念

矩(moment)分為原點(diǎn)矩和中心矩兩種。對于樣本y1,y2,…yn，各觀測值的k次方的平均值，稱為樣本的k階原點(diǎn)矩，記為，有,用觀測值減去平均數(shù)得到的離均差的k次方的平均數(shù)稱為樣本的k階中心矩,記為或，有。

對于總體y1,y2,…yN，各觀測值的k次方的平均值，稱為總體的k階原點(diǎn)矩，記為，有；用觀測值減去平均數(shù)得到的離均差的k次方的平均數(shù)稱為總體的k階中心矩，記為或，有二、矩法及矩估計(jì)量所謂矩法就是利用樣本各階原點(diǎn)矩來估計(jì)總體相應(yīng)各階原點(diǎn)矩的方法，即(8·6)也可以用樣本各階原點(diǎn)矩的函數(shù)來估計(jì)總體各階原點(diǎn)矩同一函數(shù)，即若Q=f(E(y),E(y2),…,E(yk)),則由此得到的估計(jì)量稱為矩估計(jì)量。[例8.1]現(xiàn)獲得正態(tài)分布的隨機(jī)樣本y1,y2,…yn，要求正態(tài)分布參數(shù)和的矩估計(jì)量。首先，求正態(tài)分布總體的1階原點(diǎn)矩和2階中心矩：然后求樣本的1階原點(diǎn)矩和2階中心矩，為最后，利用矩法，獲得總體平均數(shù)和方差的矩估計(jì)故總體平均數(shù)和方差的矩估計(jì)值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差，方差的分母為n。單峰分布曲線還有二個(gè)特征數(shù)，即偏度(skewness)與峰度(kurtosis)，可分別用偏度系數(shù)和峰度系數(shù)作測度。

偏度系數(shù)(coefficientofskewness)是指3階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差的3次方之比；峰度系數(shù)(coefficientofkurtosis)是指4階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差的4次方之比。當(dāng)偏度為正值時(shí)，分布向大于平均數(shù)方向偏斜；偏度為負(fù)值時(shí)則向小于平均數(shù)方向偏斜；當(dāng)偏度的絕對值大于2時(shí)，分布的偏斜程度嚴(yán)重。當(dāng)峰度大于3時(shí)，分布比較陡峭，峰態(tài)明顯，即總體變數(shù)的分布比較集中。由樣本計(jì)算的偏度系數(shù)(8·7)峰度系數(shù)(8·8)[例8.2]計(jì)算表3.4數(shù)據(jù)資料(140行水稻產(chǎn)量)所屬分布曲線的偏度和峰度。表3.4140行水稻產(chǎn)量(單位：克)17721519797123159245119119131149152167104161214125175219118192176175951361991161652149515883137801381511871261961342061379897129143179174159165136108101141148168163176102194145173751301491501611551111581311899114214015415216312320514915513120918397119181149187131215111186118150155197116254239160172179151198124179135184168169173181188211197175122151171166175143190213192231163159158159177147194227141169124159首先，計(jì)算樣本的2、3、4階中心矩，以及標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值：然后，根據(jù)矩法原理，該分布的偏度與峰度估計(jì)值分別為：因此，說明資料比較集中在平均數(shù)左右，分布曲線并不是特別陡峭。[例8.3]例6.9為研究秈粳稻雜交F5代系間單株干草重的遺傳變異，隨機(jī)抽取76個(gè)系進(jìn)行試驗(yàn)，每系隨機(jī)取2個(gè)樣品測定干草重(g/株)。按單向分組方差分析進(jìn)行分析，結(jié)果見表6.9。此處用來說明由矩法估計(jì)誤差、遺傳方差和干草的遺傳力h2。因?yàn)?6個(gè)系是隨機(jī)抽取的，因而為隨機(jī)模型。方差結(jié)果說明系間差異顯著，因而系間效應(yīng)存在。根據(jù)矩法，首先應(yīng)求出系間和誤差變異來源的樣本均方和總體期望均方(表6.9)。然后，利用矩估計(jì)原理，令樣本的均方與總體相應(yīng)變異的期望均方相等，從而求出和的矩估計(jì)值。此處E(MS系統(tǒng)間)=E[Tt-E(Tt)]2，(Tt

為各個(gè)系統(tǒng)的總和數(shù))=

E(MS誤差)=E(e2)=，(e為誤差)因而第三節(jié)最小二乘法從總體中抽出的樣本觀察值與總體平均數(shù)是有差異的，這種差異屬于抽樣誤差。因而，在總體平均數(shù)估計(jì)時(shí)要盡可能地降低這種誤差，使總體平均數(shù)估計(jì)值盡可能好。參數(shù)估計(jì)的最小二乘法就是基于這種考慮提出的。

基本思想是使誤差平方和最小，達(dá)到在誤差之間建立一種平衡，以防止某一極端誤差對決定參數(shù)的估計(jì)值起支配地位。這有助于揭示更接近真實(shí)的狀況。

具體方法是為使誤差平方和Q為最小，可通過求Q對待估參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，以求得參數(shù)估計(jì)量。[例8.4]用最小二乘法求總體平均數(shù)的估計(jì)量。若從平均數(shù)為的總體中抽得樣本為y1、y2、y3、…、yn，則觀察值可剖分為總體平均數(shù)與誤差ei之和，總體平均數(shù)的最小二乘估計(jì)量就是使yi與間的誤差平方和為最小，即為最小。為獲得其最小值，求Q對的導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于0，可得：即總體平均數(shù)的估計(jì)量為：因此，算術(shù)平均數(shù)為總體平均數(shù)的最小二乘估計(jì)。這與矩法估計(jì)是一致的。估計(jì)離均差平方和的數(shù)學(xué)期望：因而，估計(jì)為：與矩法所得不同，而與常規(guī)以自由度為除數(shù)法一致。[例8.5]求例6.13的兩向分組方差分析資料缺1個(gè)小區(qū)(表8.1)的最小二乘估計(jì)量和估計(jì)值。表8.1生長素處理豌豆的試驗(yàn)結(jié)果處理(A)組(B)總和Ti平均ⅠⅡⅢⅣ對照(CK)6062616024360.8赤霉素656568ye198+ye動(dòng)力精6361616024561.3吲哚乙酸6467636125563.8硫酸腺嘌吟6265626425363.3馬來酸6162626525062.5總和Tj375382377310+yeT=1444+ye從第6章可知，這種資料模式的線性模型為：按照最小二乘法的估計(jì)原理，使

該模型的約束條件為：，和誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布。為最小時(shí)可以求出效應(yīng)和缺失小區(qū)ye的估計(jì)量，即從而，最小二乘估計(jì)量分別為：因而表8.1中，缺失小區(qū)的估計(jì)值可由下式求出：解上述方程，最小二乘估計(jì)值為：ye=65.6。缺區(qū)估計(jì)是根據(jù)線性模型，以及最小二乘法的原理得到的。不過，試驗(yàn)中盡可能不要缺區(qū)，因?yàn)槿眳^(qū)估計(jì)盡管可以估計(jì)缺區(qū)的值，但是誤差的自由度將減少，本試驗(yàn)的誤差自由度將減少1。一般地，若m個(gè)自變數(shù)x1、x2、x3、…、xm與依變數(shù)y存在統(tǒng)計(jì)模型關(guān)系(8·9)其中，為待估參數(shù)。

通過n次觀測(n＞k)得到n組含有x1i,x2i,…xmi,yi(i=1,2,…,n)的數(shù)據(jù)以估計(jì)。其最小二乘估計(jì)值為使(8·10)為最小的。這種估計(jì)方法稱為參數(shù)估計(jì)的最小二乘法(leastsquares)，或最小平方法。第四節(jié)極大似然法所謂極大似然法(maximumlikelihoodmethod)是值選擇使事件發(fā)生概率最大的可能情況的參數(shù)估計(jì)方法。極大似然法包括二個(gè)步驟：(1)建立包括有該參數(shù)估計(jì)量的似然函數(shù)(likelihoodfunction)(2)根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出似然函數(shù)達(dá)極值時(shí)的參數(shù)估計(jì)量或估計(jì)值。一、似然函數(shù)對于離散型隨機(jī)變量，似然函數(shù)是多個(gè)獨(dú)立事件的概率函數(shù)的乘積，該乘積是概率函數(shù)值，它是關(guān)于總體參數(shù)的函數(shù)。例如，一只大口袋里有紅、白、黑3種球，采用復(fù)置抽樣50次，得到紅、白、黑3種球的個(gè)數(shù)分別為12，24，14，那么根據(jù)多項(xiàng)式的理論，可以建立似然函數(shù)為：其中p1，p2，p3分別為口袋中紅、白、黑3種球的概率(p3=1－p1－p2)，它們是需要估計(jì)的。對于連續(xù)型隨機(jī)變量，似然函數(shù)是每個(gè)獨(dú)立隨機(jī)觀測值的概率密度函數(shù)的乘積，則似然函數(shù)為：(8·11)若yi服從正態(tài)分布，則，上式可變?yōu)椋?8·12)二、極大似然估計(jì)所謂極大似然估計(jì)就是指使似然函數(shù)為最大以獲得總體參數(shù)估計(jì)的方法。其中，所獲得的估計(jì)總體參數(shù)的表達(dá)式稱為極大似然估計(jì)量，由該估計(jì)量獲得的總體參數(shù)的估計(jì)值稱為總體參數(shù)的極大似然估計(jì)值。為了計(jì)算上的方便，一般將似然函數(shù)取對數(shù)，稱為對數(shù)似然函數(shù)，因?yàn)槿?shù)后似然函數(shù)由乘積變?yōu)榧邮?，其表達(dá)式為：(8·13)求極大似然估計(jì)量可以通過令對數(shù)似然函數(shù)對總體參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等于0來獲得，即當(dāng)，有（k=1，2，…，l）(8·14)由此獲得總體參數(shù)的極大似然估計(jì)量。[例8.6]設(shè)y1,y2,…,yn是正態(tài)總體的隨機(jī)樣本，求正態(tài)分布參數(shù)的極大似然估計(jì)量。似然函數(shù)為：取對數(shù)，得：那么似然方程組為：解得：因此，正態(tài)分布總體平均數(shù)的極大似然估計(jì)量為：當(dāng)總體平均值為未知時(shí)，方差估計(jì)量為:當(dāng)總體平均值為已知時(shí)，方差估計(jì)量為:[例8.7]求紅、白、黑球事例中p1，p2，p3的極大似然估計(jì)值。由可獲得對數(shù)似然函數(shù)

其中，C為常數(shù)。分別求對p1，p2的偏導(dǎo)數(shù)，并令為0，得似然方程組：聯(lián)立求解，得：顯然，極大似然估計(jì)值等于其觀測頻率。[例8.8]兩個(gè)親本的基因型分別為AABB和aabb，這兩個(gè)親本雜交后F2出現(xiàn)了4種基因型，分別為A_B_、A_bb、aaB_和aabb，得到四種基因型的個(gè)數(shù)分別為c、d、e、f，已知AA和BB兩對基因間存在連鎖關(guān)系，現(xiàn)欲估計(jì)重組率？設(shè)重組率為r，根據(jù)遺傳學(xué)推導(dǎo)，可以得到4種基因型的概率見表8.2。表8.2F2群體基因型的分離情況基因型A_B_A_bbaaB_aabb總數(shù)觀察得到基因型個(gè)數(shù)c(289)d(26)e(29)f(76)n(420)概率1首先，通過表8.3介紹由兩對連鎖主基因控制的F2群體16種基因型的概率計(jì)算出4種表現(xiàn)型的概率(表8.2)。配子及概率AB(1－r)/2Abr/2aBr/2ab(1－r)/2AB(1－r)/2AABB(1－r)2/4AABbr(1－r)/4AaBBr(1－r)/4AaBa(1－r)2/4Abr/2AABbr(1－r)/4AAbbr2/4AaBbr2/4Aabbr(1－r)/4aBr/2AaBBr(1－r)/4AaBbr2/4aaBBr2/4aaBbr(1－r)/4ab(1－r)/2AaBa(1－r)2/4Aabbr(1－r)/4aaBbr(1－r)/4Aabb(1－r)2/4表8.3

F2群體的基因型及其概率按多項(xiàng)式分布，可以根據(jù)概率函數(shù)得到似然函數(shù)為：(8·15)若以