第八參數(shù)估計方法課件

人的差異在于業(yè)余時間第八參數(shù)估計方法第八參數(shù)估計方法人的差異在于業(yè)余時間第八參數(shù)估計方法第八章參數(shù)估計方法第一節(jié)農(nóng)業(yè)科學中的主要參數(shù)及其估計量的評選標準第二節(jié)矩法第三節(jié)最小二乘法第四節(jié)極大似然法第一節(jié)農(nóng)業(yè)科學中的主要參數(shù)及其估計量的評選標準一、農(nóng)業(yè)科學中的主要參數(shù)(1)總體數(shù)量特征值參數(shù)，例如，用平均數(shù)來估計品種的產(chǎn)量，用平均數(shù)差數(shù)來估計施肥等處理的效應；(2)在揭示變數(shù)間的相互關系方面，用相關系數(shù)來描述2個變數(shù)間的線性關系；用回歸系數(shù)、偏回歸系數(shù)等來描述原因變數(shù)變化所引起的結果變數(shù)的平均變化的數(shù)量，用通徑系數(shù)來描述成分性狀對目標性狀的貢獻程度等。農(nóng)業(yè)科學研究中需要估計的參數(shù)是多種多樣的，主要包括:用D(y)表示方差，有

D(y)=E[y－E(y)]2

(8·3)這就是隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。同理，離散型隨機變量方差的數(shù)學期望為：(8·4)連續(xù)型隨機變量方差的數(shù)學期望為：(8·5)數(shù)學期望有這樣一些常用的性質：(1)常數(shù)的數(shù)學期望為常數(shù)本身；(2)隨機變量與常數(shù)的乘積的數(shù)學期望是常數(shù)與隨機變量的數(shù)學期望的乘積；(3)多個隨機變量分別與常數(shù)的乘積的求和函數(shù)的數(shù)學期望是常數(shù)與多個隨機變量的數(shù)學期望的乘積的和；(4)多個相互獨立的隨機變量的乘積的數(shù)學期望是多個隨機變量的數(shù)學期望的乘積。(二)參數(shù)估計量的評選標準評價估計量優(yōu)劣的標準主要有無偏性、有效性、相合性等(1)無偏性參數(shù)估計量的期望值與參數(shù)真值是相等的，這種性質稱為無偏性，具有無偏性的估計量稱為無偏估計量。例如，在抽樣分布中已經(jīng)介紹了離均差平方和除以自由度得到的均方的平均數(shù)等于總體方差，即該均方的數(shù)學期望等于相應總體參數(shù)方差，這就是說該均方估計量是無偏的。估計量的數(shù)學期望值在樣本容量趨近于無窮大時與參數(shù)的真值相等的性質稱為漸進無偏性，具有漸進無偏性的估計量稱為漸進無偏估計量。(2)有效性無偏性表示估計值是在真值周圍波動的一個數(shù)值，即無偏性表示估計值與真值間平均差異為0，近似可以用估計值作為真值的一個代表。同一個參數(shù)可以有許多無偏估計量，但不同估計量的期望方差不同，也就是估計量在真值周圍的波動大小不同。估計量的期望方差越大說明用其估計值代表相應真值的有效性越差；否則越好，越有效。不同的估計量具有不同的方差，方差最小說明最有效。如果一個無偏估計量相對與其它所有可能無偏估計量，其期望方差最小，那么稱這種估計量為一致最小方差無偏估計量。(3)相合性用估計量估計參數(shù)涉及一個樣本容量大小問題，如果樣本容量越大估計值越接近真值，那么這種估計量是相合估計量。除以上三方面標準外，還有充分性與完備性也是?？紤]的。

充分性指估計量應充分利用樣本中每一變量的信息；

完備性指該估計量是充分的唯一的無偏估計量。第二節(jié)矩法一、矩的概念

矩(moment)分為原點矩和中心矩兩種。對于樣本y1,y2,…yn，各觀測值的k次方的平均值，稱為樣本的k階原點矩，記為，有,用觀測值減去平均數(shù)得到的離均差的k次方的平均數(shù)稱為樣本的k階中心矩,記為或，有。

對于總體y1,y2,…yN，各觀測值的k次方的平均值，稱為總體的k階原點矩，記為，有；用觀測值減去平均數(shù)得到的離均差的k次方的平均數(shù)稱為總體的k階中心矩，記為或，有二、矩法及矩估計量所謂矩法就是利用樣本各階原點矩來估計總體相應各階原點矩的方法，即(8·6)也可以用樣本各階原點矩的函數(shù)來估計總體各階原點矩同一函數(shù)，即若Q=f(E(y),E(y2),…,E(yk)),則由此得到的估計量稱為矩估計量。[例8.1]現(xiàn)獲得正態(tài)分布的隨機樣本y1,y2,…yn，要求正態(tài)分布參數(shù)和的矩估計量。首先，求正態(tài)分布總體的1階原點矩和2階中心矩：然后求樣本的1階原點矩和2階中心矩，為最后，利用矩法，獲得總體平均數(shù)和方差的矩估計故總體平均數(shù)和方差的矩估計值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差，方差的分母為n。單峰分布曲線還有二個特征數(shù)，即偏度(skewness)與峰度(kurtosis)，可分別用偏度系數(shù)和峰度系數(shù)作測度。

偏度系數(shù)(coefficientofskewness)是指3階中心矩與標準差的3次方之比；峰度系數(shù)(coefficientofkurtosis)是指4階中心矩與標準差的4次方之比。當偏度為正值時，分布向大于平均數(shù)方向偏斜；偏度為負值時則向小于平均數(shù)方向偏斜；當偏度的絕對值大于2時，分布的偏斜程度嚴重。當峰度大于3時，分布比較陡峭，峰態(tài)明顯，即總體變數(shù)的分布比較集中。由樣本計算的偏度系數(shù)(8·7)峰度系數(shù)(8·8)[例8.2]計算表3.4數(shù)據(jù)資料(140行水稻產(chǎn)量)所屬分布曲線的偏度和峰度。表3.4140行水稻產(chǎn)量(單位：克)17721519797123159245119119131149152167104161214125175219118192176175951361991161652149515883137801381511871261961342061379897129143179174159165136108101141148168163176102194145173751301491501611551111581311899114214015415216312320514915513120918397119181149187131215111186118150155197116254239160172179151198124179135184168169173181188211197175122151171166175143190213192231163159158159177147194227141169124159首先，計算樣本的2、3、4階中心矩，以及標準差估計值：然后，根據(jù)矩法原理，該分布的偏度與峰度估計值分別為：因此，說明資料比較集中在平均數(shù)左右，分布曲線并不是特別陡峭。[例8.3]例6.9為研究秈粳稻雜交F5代系間單株干草重的遺傳變異，隨機抽取76個系進行試驗，每系隨機取2個樣品測定干草重(g/株)。按單向分組方差分析進行分析，結果見表6.9。此處用來說明由矩法估計誤差、遺傳方差和干草的遺傳力h2。因為76個系是隨機抽取的，因而為隨機模型。方差結果說明系間差異顯著，因而系間效應存在。根據(jù)矩法，首先應求出系間和誤差變異來源的樣本均方和總體期望均方(表6.9)。然后，利用矩估計原理，令樣本的均方與總體相應變異的期望均方相等，從而求出和的矩估計值。此處E(MS系統(tǒng)間)=E[Tt-E(Tt)]2，(Tt

為各個系統(tǒng)的總和數(shù))=

E(MS誤差)=E(e2)=，(e為誤差)因而第三節(jié)最小二乘法從總體中抽出的樣本觀察值與總體平均數(shù)是有差異的，這種差異屬于抽樣誤差。因而，在總體平均數(shù)估計時要盡可能地降低這種誤差，使總體平均數(shù)估計值盡可能好。參數(shù)估計的最小二乘法就是基于這種考慮提出的。

基本思想是使誤差平方和最小，達到在誤差之間建立一種平衡，以防止某一極端誤差對決定參數(shù)的估計值起支配地位。這有助于揭示更接近真實的狀況。

具體方法是為使誤差平方和Q為最小，可通過求Q對待估參數(shù)的偏導數(shù)，并令其等于0，以求得參數(shù)估計量。[例8.4]用最小二乘法求總體平均數(shù)的估計量。若從平均數(shù)為的總體中抽得樣本為y1、y2、y3、…、yn，則觀察值可剖分為總體平均數(shù)與誤差ei之和，總體平均數(shù)的最小二乘估計量就是使yi與間的誤差平方和為最小，即為最小。為獲得其最小值，求Q對的導數(shù)，并令導數(shù)等于0，可得：即總體平均數(shù)的估計量為：因此，算術平均數(shù)為總體平均數(shù)的最小二乘估計。這與矩法估計是一致的。估計離均差平方和的數(shù)學期望：因而，估計為：與矩法所得不同，而與常規(guī)以自由度為除數(shù)法一致。[例8.5]求例6.13的兩向分組方差分析資料缺1個小區(qū)(表8.1)的最小二乘估計量和估計值。表8.1生長素處理豌豆的試驗結果處理(A)組(B)總和Ti平均ⅠⅡⅢⅣ對照(CK)6062616024360.8赤霉素656568ye198+ye動力精6361616024561.3吲哚乙酸6467636125563.8硫酸腺嘌吟6265626425363.3馬來酸6162626525062.5總和Tj375382377310+yeT=1444+ye從第6章可知，這種資料模式的線性模型為：按照最小二乘法的估計原理，使

該模型的約束條件為：，和誤差項服從正態(tài)分布。為最小時可以求出效應和缺失小區(qū)ye的估計量，即從而，最小二乘估計量分別為：因而表8.1中，缺失小區(qū)的估計值可由下式求出：解上述方程，最小二乘估計值為：ye=65.6。缺區(qū)估計是根據(jù)線性模型，以及最小二乘法的原理得到的。不過，試驗中盡可能不要缺區(qū)，因為缺區(qū)估計盡管可以估計缺區(qū)的值，但是誤差的自由度將減少，本試驗的誤差自由度將減少1。一般地，若m個自變數(shù)x1、x2、x3、…、xm與依變數(shù)y存在統(tǒng)計模型關系(8·9)其中，為待估參數(shù)。

通過n次觀測(n＞k)得到n組含有x1i,x2i,…xmi,yi(i=1,2,…,n)的數(shù)據(jù)以估計。其最小二乘估計值為使(8·10)為最小的。這種估計方法稱為參數(shù)估計的最小二乘法(leastsquares)，或最小平方法。第四節(jié)極大似然法所謂極大似然法(maximumlikelihoodmethod)是值選擇使事件發(fā)生概率最大的可能情況的參數(shù)估計方法。極大似然法包括二個步驟：(1)建立包括有該參數(shù)估計量的似然函數(shù)(likelihoodfunction)(2)根據(jù)實驗數(shù)據(jù)求出似然函數(shù)達極值時的參數(shù)估計量或估計值。一、似然函數(shù)對于離散型隨機變量，似然函數(shù)是多個獨立事件的概率函數(shù)的乘積，該乘積是概率函數(shù)值，它是關于總體參數(shù)的函數(shù)。例如，一只大口袋里有紅、白、黑3種球，采用復置抽樣50次，得到紅、白、黑3種球的個數(shù)分別為12，24，14，那么根據(jù)多項式的理論，可以建立似然函數(shù)為：其中p1，p2，p3分別為口袋中紅、白、黑3種球的概率(p3=1－p1－p2)，它們是需要估計的。對于連續(xù)型隨機變量，似然函數(shù)是每個獨立隨機觀測值的概率密度函數(shù)的乘積，則似然函數(shù)為：(8·11)若yi服從正態(tài)分布，則，上式可變?yōu)椋?8·12)二、極大似然估計所謂極大似然估計就是指使似然函數(shù)為最大以獲得總體參數(shù)估計的方法。其中，所獲得的估計總體參數(shù)的表達式稱為極大似然估計量，由該估計量獲得的總體參數(shù)的估計值稱為總體參數(shù)的極大似然估計值。為了計算上的方便，一般將似然函數(shù)取對數(shù)，稱為對數(shù)似然函數(shù)，因為取對數(shù)后似然函數(shù)由乘積變?yōu)榧邮?，其表達式為：(8·13)求極大似然估計量可以通過令對數(shù)似然函數(shù)對總體參數(shù)的偏導數(shù)等于0來獲得，即當，有（k=1，2，…，l）(8·14)由此獲得總體參數(shù)的極大似然估計量。[例8.6]設y1,y2,…,yn是正態(tài)總體的隨機樣本，求正態(tài)分布參數(shù)的極大似然估計量。似然函數(shù)為：取對數(shù)，得：那么似然方程組為：解得：因此，正態(tài)分布總體平均數(shù)的極大似然估計量為：當總體平均值為未知時，方差估計量為:當總體平均值為已知時，方差估計量為:[例8.7]求紅、白、黑球事例中p1，p2，p3的極大似然估計值。由可獲得對數(shù)似然函數(shù)

其中，C為常數(shù)。分別求對p1，p2的偏導數(shù)，并令為0，得似然方程組：聯(lián)立求解，得：顯然，極大似然估計值等于其觀測頻率。[例8.8]兩個親本的基因型分別為AABB和aabb，這兩個親本雜交后F2出現(xiàn)了4種基因型，分別為A_B_、A_bb、aaB_和aabb，得到四種基因型的個數(shù)分別為c、d、e、f，已知AA和BB兩對基因間存在連鎖關系，現(xiàn)欲估計重組率？設重組率為r，根據(jù)遺傳學推導，可以得到4種基因型的概率見表8.2。表8.2F2群體基因型的分離情況基因型A_B_A_bbaaB_aabb總數(shù)觀察得到基因型個數(shù)c(289)d(26)e(29)f(76)n(420)概率1首先，通過表8.3介紹由兩對連鎖主基因控制的F2群體16種基因型的概率計算出4種表現(xiàn)型的概率(表8.2)。配子及概率AB(1－r)/2Abr/2aBr/2ab(1－r)/2AB(1－r)/2AABB(1－r)2/4AABbr(1－r)/4AaBBr(1－r)/4AaBa(1－r)2/4Abr/2AABbr(1－r)/4AAbbr2/4AaBbr2/4Aabbr(1－r)/4aBr/2AaBBr(1－r)/4AaBbr2/4aaBBr2/4aaBbr(1－r)/4ab(1－r)/2AaBa(1－r)2/4Aabbr(1－r)/4aaBbr(1－r)/4Aabb(1－r)2/4表8.3

F2群體的基因型及其概率按多項式分布，可以根據(jù)概率函數(shù)得到似然函數(shù)為：(8·15)若以