第二章-科學嚴謹的幾何證明課件

02科學嚴謹的幾何證明主要內容§1幾何證明概述§2證度量關系§3證位置關系2023/7/202學習重點：重點是幾何題的各種證明方法及應用．同一法、三角法、向量法等方法的應用是難點．

度量關系：線段或角的相等；和差倍分線段角；比例線段；定值問題的證法；位置關系：平行的證法；垂直的證法；共線點的證法；共點線的證法；共圓點的證法；共點圓的證法；2023/7/203§1幾何證明概述一、幾何證明的一般方法1.按推理的邏輯結構分邏輯推理演繹推理（證明推理）合情推理歸納推理類比推理2023/7/204一、幾何證明的一般方法數學證明方法演繹法歸納法普通歸納法數學歸納法完全歸納法不完全歸納法演繹法：證題時由一般規(guī)律推導特殊事項的推理方法稱為演繹法．換句話說，演繹法是從一般到特殊的推理方法.歸納法：以個別或特殊的知識為前提推導出一般性知識為結論的推理方法稱為歸納法．即歸納法是從特殊到一般的推理方法．§1幾何證明概述2023/7/205一、幾何證明的一般方法2.按推理的序列方向分分析法——由命題的結論出發(fā)，執(zhí)果索因，探尋結論（及中間結論）成立的必要條件，如此逐步往上逆求，直至達到已知的事實。

綜合法——由命題的假設入手，由因導果，通過一系列的正確推理，逐步靠近目標，最終得出結論．證題方法§1幾何證明概述2023/7/206一、幾何證明的一般方法3.按所證明的命題類型分證題方法直接證法間接證法反證法同一法歸謬法窮舉法（１）直接證法：由命題的假設出發(fā)，根據定義，公理，定理進行一系列正面的推理，最后得出命題的結論，此證明方法稱為直接證法．（２）間接證法：對于不能直接證明的命題，我們往往證明它的等效命題（如逆否命題），這種證明方法稱為間接證法．§1幾何證明概述2023/7/207間接證法包括反證法與同一法①反證法：由否定結論的正確性出發(fā)，根據假設，定義，公理，定理進行一系列正確的推理，最后得出一個與命題的假設或某個公理，定理或自相矛盾的結果，表明結論的反面不能成立，從而可以肯定原結論的正確性．利用反證法，當結論的反面只有一款時，否定了這一款便完成了證明，這種反證法叫歸謬法；當結論的反面有多款時，必須駁倒其中每一款，這種反證法稱為窮舉法．②同一法：若欲證某圖形具有某種性質而又不易直接證明時，有時可以作出具有所有性質的圖形，然后證明所作的圖形與所給的某圖形就是同一個，把他們等同起來，這種證明方法稱為同一法．§1幾何證明概述一、幾何證明的一般方法3.按所證明的命題類型分證題方法直接證法間接證法反證法同一法歸謬法窮舉法2023/7/208一、幾何證明的一般方法4.按所選知識工具分證題方法平面幾何證法三角法代數法（如復數法）坐標法（解析法）向量法……§1幾何證明概述2023/7/209§1幾何證明概述例1.在單位正方形的周界上任意兩點之間連一條曲線l，如果它將正方形分為面積相等的兩部分，試證：這曲線的長度不小于1．二、例題選講MNCBAD

分類思想、化歸思想2023/7/2010§1幾何證明概述例2以正方形ＡＢＣＤ的一邊ＣＤ為底向形內做等腰三角形△ＥＣＤ，使其兩底角都是１５°，則△ＡＢＥ是等邊三角形．ＡＢＣＤＥＥ’二、例題選講ＡＢＣＤＥF同一法．2023/7/2011§1幾何證明概述例2.以正方形ＡＢＣＤ的一邊ＣＤ為底向形內做等腰三角形ＥＣＤ，使其兩底角都是１５°，則△ＡＢＥ是等邊三角形．二、例題選講ＡＢＣＤＥFG21三角法．2023/7/2012§1幾何證明概述思考題.1.證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知：直角三角形ＡＢＣ，Ｍ是斜邊ＡＣ的中點，求證：ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭ.ＡＢＣＭDE窮舉法．2023/7/2013§1幾何證明概述例3.設ＡＢＣＤ為任意四邊形，E、F將AB分成三等分，G、H將ＣＤ分成三等分，求證：SEFGH=SABCD．二、例題選講2023/7/2014§1幾何證明概述例3.設ＡＢＣＤ為任意四邊形，E、F將AB分成三等分，G、H將ＣＤ分成三等分，求證：SEFGH=SABCD．二、例題選講特殊化思想x3x5x3yy5y只需證2023/7/2015§1幾何證明概述二、例題選講：

例4.如圖，AD為△ABC的BC邊上的中線，O為AD上一點，直線BO、CO與AC、AB分別交于E、F.求證：EF∥BC．

證法1：延長OD,補平行四邊形

2023/7/2016§1幾何證明概述例5.在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中點，過直角頂點C作CD⊥BM于D，CD延長線交AB于E．求證：∠AME=∠CMB．二、例題選講補形FNαγβ略證：易證△CAN≌△BCM，因此N是AF的中點，由對稱性可知，FM經過點E，立即可知∠AME=∠CMB．2023/7/2017§1幾何證明概述例5.在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中點，過直角頂點C作CD⊥BM于D，CD延長線交AB于E．求證：∠AME=∠CMB．二、例題選講坐標法yx略證：建立坐標系如圖，欲證∠AME=∠CMB．只需證kBM=-

kEM求出各點坐標計算斜率即可得證。2023/7/2018§1幾何證明概述例5.在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中點，過直角頂點C作CD⊥BM于D，CD延長線交AB于E．求證：∠AME=∠CMB．二、例題選講（三角法）三角法2023/7/2019§1幾何證明概述2023/7/2020§1幾何證明概述復數法2023/7/2021§1幾何證明概述二、例題選講（復數法）例6．如圖，以平行四邊形ABCD的邊AB、AD向外作正方形ADMX、ABNY，求證：AC⊥XY且AC=XY．證明：以A為原點建立復平面，設點B、D對應的復數為z1、z2

2023/7/2022§1幾何證明概述向量法2023/7/2023§1幾何證明概述向量法例7：證明：在三角形中，三條高交于一點（垂心）2023/7/2024§1幾何證明概述例8.設AD是△ＡＢＣ的高，P為AD上一點，BP、CP的延長線分別交AC、AB于E、F.證明：AD平分∠EDF．二、例題選講證法一：2023/7/2025§1幾何證明概述例8.設AD是△ＡＢＣ的高，P為AD上一點，BP、CP的延長線分別交AC、AB于E、F.證明：AD平分∠EDF．二、例題選講（解析法）2023/7/2026第三屆(1993年)澳門數學競賽題;第十四屆(2001年)愛爾蘭數學競賽題；第十八屆(1958年)普特南數學競賽題；第二十六屆(1994年)加拿大數學競賽題；首屆(1987年)“友誼杯”國際數學競賽題.”1.圖中，過AB為直徑的半圓上任一點C,作CD垂直AB于D,圓H與CD、弧BC分別相切于E、F，又與AB相切于G，求證：AC=AGO

R

x

rH代數法練習：2023/7/20282.在正方形ＡＢＣD中，作DE∥AC，在DE上取一點F，使AF=AC，又作CE∥AF，交DE于F，求證：∠DAF=∠FAE=∠EAC．試用坐標法證明45°練習：2023/7/20293.已知：AC⊥AB，BD⊥AB，AD與BC交于E，過E作EF⊥AB于F，求證：∠AFC=∠BFD．練習：C’2023/7/2030思考題：試用坐標法證明2023/7/2031思考題：2.在△ＡＢＣ的兩邊ＡＢ和ＡＣ向外作正方形ＡＢＥＦ和ＡＣＧＨ，則：（1）△AＢＣ的高線ＡＤ必平分ＦＨ；（2）反之，△AFH的中線AM必垂直于BC.試用復數法證明（2）PQ2023/7/2032思考題：3.證明：梯形兩條對角線的中點連線平行于底邊且等于兩底之差的一半．試分別用坐標法、向量法證明4.在三角形各邊上取一點，分各邊所成的比相等，證明這三點構成的三角形與原三角形有相同的重心．2023/7/2033§2證度量關系一、方法歸納（一）證線段相等（１）全等三角形的應用（２）等腰三角形的應用（３）平行四邊形的應用（４）媒介線的應用（５）圓內等量的應用（二）證明角相等（１）全等三角形的應用；（２）等腰三角形的應用；（３）平行線的應用；（４）媒介角的應用；（５）三角形中內角與外角的關系；（６）圓心角，圓周角，弦切角的關系；（７）相似形的應用．2023/7/2034§2證度量關系（三）證線段與角的和、差、倍、分關系（１）三角形兩邊中點的連線等于第三邊的一半；（２）梯形兩腰中點的連線等于兩底和的一半；（３）平行四邊形的對角線互相平分，菱形的角被對角線平分；（４）直角三角形中若有一個銳角為30°，則斜邊是30°角對邊的２倍；（５）直角三角形斜邊中點距三頂點等遠；（６）三角形一外角等于不相鄰二內角之和等等（四）證明線段、角的不等關系（１）三角形中，大角對大邊；（２）圓內，直徑是最大弦；（３）點到直線的垂線段最短；（4）三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊……2023/7/2035§2證度量關系（五）、證比例線段關系（１）三角形的角平分線定理；（２）圓冪定理；（３）平行線分線段成比例定理；（４）相似三角形對應線段成比例……2023/7/2036§2證度量關系幾個著名定理2023/7/2037§2證度量關系幾個著名定理2023/7/2038§2證度量關系例1：等邊三角形外接圓周上任一點到三頂點的連線中，最長的等于其余兩線的和.即：證明AP=BP+PC二、例題選講證法1：延長BP至D使PD=PC，連CD.然后證明AP=BD.2023/7/2039§2證度量關系例1：等邊三角形外接圓周上任一點到三頂點的連線中，最長的等于其余兩線的和.即：證明AP=BP+PC二、例題選講證法2：在AP上取一點C’，使PC’=BP，連BC’.然后證明AC’=PC.C’2023/7/2040§2證度量關系例1：等邊三角形外接圓周上任一點到三頂點的連線中，最長的等于其余兩線的和.即：證明AP=BP+PC二、例題選講證法3(托勒密定理)：BC·AP=AC·BP+AB·PC，所以AP=BP+PC2023/7/2041例3．證明等腰三角形底邊上的任一點到兩腰的距離之和為常量．設Ｐ為等腰三角形ＡＢＣ底邊ＢＣ上任一點ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＥ⊥ＡＣ，證明:ＰＤ＋ＰＥ為常量．ＡＢＣＤＨＰＥ§2證度量關系2023/7/2042例4：從圓心Ｏ向已知直線l作垂線OM，通過垂足M任作兩條直線AB和CD，交圓于A，B，C，D．交直線l于P、Q.求證：MP=MQ．蝴蝶定理來由

:蝴蝶定理最先是作為一個征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》上。由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。蝴蝶定理出現過許多優(yōu)美奇特的解法，其中最早的，應首推霍納在1815年所給出的證法。至于初等數學的證法，在國外資料中，一般都認為是由一位中學教師斯特溫首先提出的，它給予出的是面積證法。

2023/7/2043例4：從圓心Ｏ向已知直線l作垂線OM，通過垂足M任作兩條直線AB和CD，交圓于A，B，C，D．交直線l于P、Q.求證：MP=MQ．證法一：綜合法

2023/7/2044例4：如圖，已知AC=CB,求證：MC=CN．§2證度量關系三角法2023/7/2045例4：如圖，已知AC=CB,求證：MC=CN．§2證度量關系NMCAGBDEF證明：連接DA、DB、FA、FB，D（AM，CB）=D（AG，EB）

=F（AG，EB）=F（AC，NB）即（AM，CB）=（AC，NB）MC=CN．射影幾何法圓也是二次曲線2023/7/2046§2證度量關系例5：設ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ是△ＡＢＣ的三條高線（則△ＤＥＦ稱為△ＡＢＣ的垂足三角形）．證明這些高線平分垂足三角形的內角或外角．2023/7/2047§2證度量關系例6：三角形垂心到頂點的距離，等于其外心到對邊中點距離之二倍．2023/7/2048§2證度量關系例：在△ABC中，已知AB>AC，E是BC邊上中線AD上一點，求證：∠ECD>∠EBD.不等關系的證明2023/7/2049§2證度量關系練習：1、圓內三弦AB、CD、EF兩兩相交于P、Q、R，且PC=QE=RA，PB=QD=RF，求證：△PQR是正三角形．aaabbbxzy2023/7/2050§2證度量關系2.在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，以AB為直徑的圓切CD于E，過E作EF∥BC交AB于F，求證：AC平分EF．M連接BD交AC于M，先證明EM∥BC（從而M在EF上），再證明M是EF的中點。2023/7/2051§2證度量關系7.在銳角△ABC中，作BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，取BC的中點F，求證：∠FED=∠EDF=∠A.因為FE=FD=BF=FC，所以∠1=∠2，∠3=∠B,∠4=∠C，2∠1+2∠B+2∠C=360°,所以∠1=180°-（∠B+∠C）=∠A.1324ED2023/7/2052§2證度量關系31.如圖，以△ABC的邊AB、AC向形外作正方形ABEF、ACGH，求證：BH=CF.證△ABH≌△AFC.2023/7/2053§2證度量關系如圖，已知⊙O和⊙O1外切于P點，AB為兩圓的一條外公切線，A、B為切點，AC為⊙O的直徑，CD切⊙O1于D，求證：AC=CD.CD2=CP?CBAC2=CP?CB需證明C、P、B共線思考題POO12023/7/2054§2證度量關系13.在△ABC中，已知AB≤1/2AC，求證：∠ACB<1/2∠ABC..D2023/7/2055平面幾何中的位置關系證明問題：1.兩直線平行、垂直2.點共線3.線共點4.點共圓5.圓共點§3位置關系的證明2023/7/2056一、平行、垂直§3位置關系的證明平行：1.同時和第三條直線平行的兩條直線平行.2.平行線的判定:同位角相等(內錯角相等、同旁內角互補)兩直線平行.3.在同一平面內,和同一直線垂直的兩條直線平行.4.平行四邊形的性質:平行四邊形的對邊平行且相等.5.三角形中位線定理.6.梯形中位線定理.7.平行于三角形一邊的直線的判定:如果一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.8.經過圓的直徑兩端點的切線互相平行.2023/7/2057一、平行、垂直§3位置關系的證明垂直：1.證兩直線構成直角.2.利用等腰三角形的“三線合一”證明垂直

.3.矩形的鄰邊、菱形的對角線互相垂直.4.利用勾股定理的逆定理可證明垂直

.5.直徑所對的圓周角是直角.2023/7/2058一、平行、垂直§3位置關系的證明例1：已知，如圖，點E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、DC上的點，且AE=DF，AF與DE交于點H，BF與EC交于點G，求證：GH∥CD，且。2023/7/2059一、平行、垂直§3位置關系的證明例2.以△ABC的三邊為邊在BC邊的同側作等邊三角形ABD、BCF、ACE，連結DF、EF。求證：DF∥AE2023/7/2060一、平行、垂直§3位置關系的證明如圖，兩圓外切于P，過P任作一直線分別交兩圓于A、B，一條外公切線分別切兩圓于C、D，求證：AC⊥BD.QH2023/7/2061一、平行、垂直§3位置關系的證明圓內接四邊形ABCD的兩組對邊的延長線分別交于E、F，求證：∠E、∠F的平分線互相垂直.4522131只需證∠4=∠5∠4=∠B+∠2∠5=∠3+∠2而∠3=∠B.2023/7/2062§3位置關系的證明24.已知：AB’∥A’B，AC’∥A’C

，求證：BC’∥B’C.2023/7/2063§3位置關系的證明25.在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，∠B的三等分線交BC邊上的高于M、N，CN的延長線交AB于E，求證：EM∥BN.1130°30°分析：只需證這可以通過計算證明設AC=則可求得AE、DM、DN64§3位置關系的證明27.以四邊形ABCD的各邊為直徑作圓，求證：相鄰兩個圓的公共弦與另兩個圓的公共弦平行.2023/7/2065二、共點線的證法證明三線共點的方法：1.轉化為共線點的問題來證明2.利用已知的共點線定理（如外心、內心、重心、垂心等）3.應用Ceva定理4.利用位似形的性質——對應點連線過位似中心5.利用射影幾何有關定理：德薩格（Desargues）定理、布利安雙（Brianchon）定理等6.解析法§3位置關系的證明☆2023/7/2066二、共點線的證法已知?EFGH的各頂點分別在?ABCD的各邊上，求證：AC、BD、EG、FH四線共點.§3位置關系的證明證法一：設AC、BD交于O，再證明EG、FH經過O.證法二：Desargues定理.2023/7/2067§3位置關系的證明幾個著名定理2023/7/2068三、共線點的證法證明三點（Ｘ，Ｙ，Ｚ）共線的方法：1.利用平角：證明∠XYZ=180°（或0°）2.證明ＸＹ與ＸＺ平行于同一條直線；證明Ｘ、Ｙ、Ｚ同在一定直線上；證明ＸＺ和某定直線的交點就是Ｙ3.利用已知的共線點定理（如歐拉線、西姆松線等）4.應用Menelaus定理5.利用位似形的性質——對應點連線過位似中心6.利用射影幾何有關定理：德薩格（Desargues）定理、帕普斯（Pappus）定理、帕斯卡（Pascal）定理等§3位置關系的證明☆2023/7/2069三、共線點的證法兩圓相切于P，AB、CD是這兩個圓的平行弦，求證：若A、P、D共線，則B、P、C共線.§3位置關系的證明122023/7/2070§3位置關系的證明幾個著名定理2023/7/2071§3位置關系的證明幾個著名定理2023/7/2072§3位置關系的證明2023/7/2073§3位置關系的證明例1：證明：在三角形中，（1）三條中線交于一點（重心）；（2）三條角平分線交于一點（內心）；（3）三條邊的中垂線交于一點（外心）；（4）三條高交于一點（垂心）例題選講Ceva定理2023/7/2074§3位置關系的證明例2：在△ABC中，設三邊BC、CA、AB分別與三角形的內切圓相切于X、Y、Z，證明：AX、BY、CZ交于一點（葛爾剛（Gergonne）點).例題選講Ceva定理2023/7/2075§3位置關系的證明例3：萊莫恩（Lemoine）定理如圖，過△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于P、Q、R，求證：P、Q、R三點共線．例題選講Menelaus定理能否用射影幾何中的Brianchon定理證明？2023/7/2076§3位置關系的證明例4：西姆松（Simson

）定理三角形外接圓周上任意一點，在三邊（所在直線）上的射影共線．例題選講12證法一：只需證∠1+∠2=180°證法二：應用Menelaus定理2023/7/2077四、共圓點的證法證明四點共圓，通常用下列方法：（1）證諸點到一定點的距離相等（圓的定義）（2）證明ＡＢＣＤ是圓內接四邊形（或證對角互補，或證某兩點視另兩點連線段的視角相等，當然這兩點要在這線段的同側）（3）相交弦定理之逆：若ＡＢ∩ＣＤ=O，證明ＯＡ·ＯＢ＝ＯＣ·ＯＤ（4）直徑所對圓周角是直角：如果其中某兩點的連線段為直徑，可證明其余的點對這線段的視角均為直角．§3位置關系的證明2023/7/2078四、共圓點的證法例4：三角形三邊中點，三垂足，垂心與三頂點連線段的中點，這九點共圓，稱為這三角形的九點圓．如圖：Ｌ，Ｍ，Ｎ設是△ＡＢＣ三邊中點，Ｄ，Ｅ，Ｆ是垂足，Ｈ是垂心，