材料力學(xué)第8章應(yīng)力狀態(tài)分析

第8章應(yīng)力狀態(tài)分析8.1應(yīng)力狀態(tài)概述

在研究桿件彎曲或扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，桿件內(nèi)位置不同的點(diǎn)具有不同的應(yīng)力情況。因此，構(gòu)件中某一點(diǎn)的應(yīng)力隨幾何坐標(biāo)變化，是幾何坐標(biāo)的函數(shù)。然而，即使對(duì)空間位置確定的某一個(gè)點(diǎn)而言，通過(guò)該點(diǎn)的截面方位不同，其應(yīng)力值也不相同。現(xiàn)在以直桿拉伸為例〔見(jiàn)圖8.1〕，A點(diǎn)是桿件中位置確定的一個(gè)點(diǎn)。設(shè)想以A點(diǎn)為中心，用相互垂直的6個(gè)截面截取一個(gè)邊長(zhǎng)無(wú)限小的立方體，我們將這樣的立方體稱(chēng)為單元體。取決于截取平面的傾角變化，圍繞同一個(gè)點(diǎn)，可以截取出無(wú)數(shù)個(gè)不同的單元體，圖8.1〔b〕為依附著桿件橫截面所截取單元體(圖8.1〔c〕為其平面圖形式)，而圖8.1〔d〕為依附著45°斜截面所截取的單元體。由于桿件軸向拉伸時(shí)，橫截面上只有正應(yīng)力，且與桿件軸向平行的截面沒(méi)有應(yīng)力，因此，圖8.1〔b〕中的單元體只在左右兩個(gè)面上有正應(yīng)力作用。對(duì)于圖8.1〔d〕中的單元體，根據(jù)拉壓桿斜截面應(yīng)力分析〔2.3節(jié)〕可知，其4個(gè)面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。

圖8.1

由以上分析可見(jiàn)，桿內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)力的大小和方向不僅與該點(diǎn)所處位置有關(guān)，而且還與過(guò)該點(diǎn)的截面方位有關(guān)。過(guò)一點(diǎn)所有截面上應(yīng)力的集合，稱(chēng)為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。為了解決構(gòu)件在復(fù)雜受力情況下的強(qiáng)度問(wèn)題，必須了解構(gòu)件中的危險(xiǎn)點(diǎn)哪一截面的正應(yīng)力最大，哪一截面的切應(yīng)力最大，為此有必要研究一點(diǎn)處各截面應(yīng)力的變化規(guī)律，這就是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通常用單元體來(lái)描述。

在分析構(gòu)件中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，通常先用應(yīng)力的截面來(lái)截取一個(gè)單元體。例如，如圖8.2〔a〕所示的懸臂梁，在橫截面m—m上A，B，C這3點(diǎn)的應(yīng)力〔見(jiàn)圖8.1〔b〕〕可由彎曲應(yīng)力公式確定。由應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律〔見(jiàn)圖8.2〔c〕〕可知，A點(diǎn)只有正應(yīng)力，B點(diǎn)只有切應(yīng)力，C點(diǎn)既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。圍繞A，B，C三點(diǎn)截取單元體如圖8.2(d)所示，單元體的前后兩面為平行于軸線(xiàn)的縱向截面，在這些面上沒(méi)有應(yīng)力，左右兩面為橫截面的一局部，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，單元體B和C的上下兩面有與橫截面數(shù)值相等的切應(yīng)力。至此，單元體各面上的應(yīng)力均已確定。注意到圖8.2〔d〕各單元體前后面上均無(wú)應(yīng)力，因此也可用其平面視圖表示(見(jiàn)圖8.2〔e〕)。

圖8.2

從受力構(gòu)件中截取各面應(yīng)力的單元體后，運(yùn)用截面法和靜力平衡條件，可求出單元體任一斜截面上的應(yīng)力，從而可以確定出極值應(yīng)力。

圍繞構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)假設(shè)從不同方向取單元體，那么各個(gè)截面的應(yīng)力也各不相同。其中切應(yīng)力為零的截面具有特殊的意義，稱(chēng)為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。一般情況下，過(guò)構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)總能找到3個(gè)互相垂直的主平面，因而存在3個(gè)主應(yīng)力，這3個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)值排列分別表示為σ1，σ2，σ3，按代數(shù)值大小排序，它們的關(guān)系為σ1≥σ2≥σ3。3個(gè)相互垂直的主平面可圍成一個(gè)單元體，自然，該單元體各個(gè)面均為主平面，且該單元體上只有主應(yīng)力的作用，這樣的單元體稱(chēng)為主單元體。對(duì)于構(gòu)件中的某一點(diǎn)，當(dāng)3個(gè)主應(yīng)力全都不為零時(shí)，該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)稱(chēng)為三向〔或空間〕應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)有一個(gè)主應(yīng)力為零時(shí)，稱(chēng)為二向〔或平面〕應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)有兩個(gè)主應(yīng)力為零時(shí)，稱(chēng)為單向應(yīng)力狀態(tài)。三向和二向應(yīng)力狀態(tài)又稱(chēng)為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，單向應(yīng)力狀態(tài)那么稱(chēng)為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)。

工程中經(jīng)常遇到二向應(yīng)力狀態(tài)的問(wèn)題，下面主要對(duì)二向應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析研究。

8.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法

8．2．1二向應(yīng)力狀態(tài)的斜截面應(yīng)力

如圖8.3〔a〕所示單元體為二向應(yīng)力狀態(tài)的一般情況，在單元體上，與x軸垂直的平面稱(chēng)為x截面，其上作用有正應(yīng)力σx和切應(yīng)力x；與y軸垂直的平面稱(chēng)為y截面，其上作用有正應(yīng)力σy和切應(yīng)力y；與z軸垂直的z截面上應(yīng)力為零，該平面是主平面。切應(yīng)力x或y的角標(biāo)x(或y)表示切應(yīng)力作用面的法線(xiàn)方向。二向應(yīng)力狀態(tài)也可用如圖8.3〔b〕所示的平面單元體來(lái)表示。應(yīng)力的符號(hào)規(guī)那么如前〔參見(jiàn)2.3節(jié)〕，圖中的σx，σy和x為正值，而y為負(fù)值。

圖8.3

運(yùn)用截面法可以求出與z截面垂直的任意斜截面ac上的應(yīng)力〔見(jiàn)圖8.3

〔a〕〕。設(shè)斜截面ac的外法線(xiàn)n與x軸的夾角為α〔斜截面ac稱(chēng)為α截面〕，并規(guī)定從x軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到斜截面外法線(xiàn)n時(shí)α角為正

〔見(jiàn)圖8.3〔b〕〕，反之為負(fù)。沿α截面將單元體截分為兩個(gè)局部，保存左下局部，α截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別用σα和α表示，如圖8.3〔c〕所示。假設(shè)斜截面ac的面積為Aα，那么ab面和bc面的面積分別為Aαcosα和Aαsinα。考慮左下局部的平衡，列法線(xiàn)n和切線(xiàn)t方向的平衡方程如下

注意：x和y數(shù)值上相等，以x代替y利用三角公式，上兩式可簡(jiǎn)化為

利用式〔8.1〕和式〔8.2〕可求得二向應(yīng)力狀態(tài)單元體上任意斜截面上的應(yīng)力σα和

8．2．2主平面與主應(yīng)力的計(jì)算

由公式〔8.1〕可知，斜截面上的正應(yīng)力σα的數(shù)值隨角度α而改變，極值正應(yīng)力的數(shù)值及與之對(duì)應(yīng)的斜截面法線(xiàn)與x軸的夾角，可由公式〔8.1〕通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得。

即

以α0表示極值正應(yīng)力作用平面的法線(xiàn)與x軸的夾角，從而可求得

將式(8.4)與式〔8.2〕比較可見(jiàn)，極值正應(yīng)力作用的截面上切應(yīng)力為零，因此，極值正應(yīng)力作用的平面即為主平面，因此式〔8.4〕即為主平面傾角表達(dá)式。

因?yàn)閠an2α0=tan2(α0+90°)，所以方程〔8.4〕有兩個(gè)解α0和α′0=α0+90°，它們確定了互相垂直的兩個(gè)主平面的方位，在這兩個(gè)主平面上同時(shí)作用有正應(yīng)力的極值，一個(gè)為極大值，另一個(gè)為極小值。由公式(8.4)求出sin2α0，cos2α0，sin2α′0及cos2α′0，代入公式(8.1)中，那么正應(yīng)力極大值和極小值為

由于這兩個(gè)正應(yīng)力極值，作用在主平面上，因此這兩個(gè)正應(yīng)力極值即為兩個(gè)主應(yīng)力，式〔8.5〕即為平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力計(jì)算式。由于平面應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主應(yīng)力為零，因此3個(gè)主應(yīng)力分別為式〔8.5〕計(jì)算得到的σmax，σmin和0，按代數(shù)值大小排序后可確定3個(gè)主應(yīng)力σ1，σ2和σ3。

8．2．3極值切應(yīng)力

由公式〔8.2〕可知，斜截面上的切應(yīng)力α的數(shù)值也隨角度α而改變，因而切應(yīng)力也存在極值。極值切應(yīng)力作用的平面可由導(dǎo)數(shù)求得。以α1表示極值切應(yīng)力作用的平面，那么

式〔8.6〕也有α1和α′1=α1+90°兩個(gè)根，代入式〔8.2〕便可得極大和極小切應(yīng)力為

它們分別作用在相互垂直的兩個(gè)平面上。

比較式〔8.4〕和式〔8.6〕可知

即α1=α0±45°，說(shuō)明極值切應(yīng)力的作用平面與主平面成45°夾角。

另外，對(duì)任意一個(gè)斜截面α和與之垂直的截面α′=α±90°，由式〔8.1〕即可求得

式〔8.9〕說(shuō)明，對(duì)于一個(gè)單元體，兩個(gè)相互垂直的平面上正應(yīng)力之和為一個(gè)常數(shù)。

例8.1單元體受力如圖8.4〔a〕所示〔應(yīng)力單位：MPa〕。試求：

〔1〕α=60°斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；

〔2)主應(yīng)力和主平面的方位；

〔3)極值切應(yīng)力。

圖8.4

解〔1〕計(jì)算斜截面應(yīng)力

將σx=60MPa，σy=-80MPa，x=35MPa，α=60°代入式〔8.1〕和式〔8.2〕可得

〔2)計(jì)算主應(yīng)力和主平面方位

由式〔8.4〕得

解得主平面方位為

由式〔8.5〕得

按主應(yīng)力的排列順序應(yīng)為σ1=68.3MPa,σ3=-88.3MPa(σ2=0)。

〔3〕極值切應(yīng)力

由式〔8.7〕得到

例〔8.1〕中，如要進(jìn)一步確定主平面與主應(yīng)力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么需將α0或α′0代入式〔8.1〕，計(jì)算其中一個(gè)主平面上的主應(yīng)力，從而進(jìn)行判斷。另外，也可用下述結(jié)論進(jìn)行判定：如約定σx為兩個(gè)正應(yīng)力中代數(shù)值較大的一個(gè)，即約定σx≥σy，那么公式〔8.4〕確定的兩個(gè)角度中，絕對(duì)值較小的一個(gè)確定σmax所在平面。依此方法，上例中α0=-13.3°的主平面上的正應(yīng)力為σ1=68.3MPa，那么σ′0=76.7°的主平面上的正應(yīng)力為σ3=-88.3MPa。從而可繪制出主單元如圖8.4〔b〕所示。圖8.4〔c〕為極值切應(yīng)力作用的單元體，與圖8.4〔b〕比較可知，其與主單元的方位角相差45°。

8.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法〔應(yīng)力圓〕

8．3．1應(yīng)力圓

由式〔8.1〕和式〔8.2〕可知，斜截面上的正應(yīng)力αα和切α均為α的函數(shù)，說(shuō)明αα和α之間存在一定函數(shù)關(guān)系，而式〔8.1〕和式〔8.2〕為其參數(shù)方程。為了建立σα和α之間的直接關(guān)系，首先，將式〔8.1〕與式〔8.2〕分別改寫(xiě)成如下形式：

然后，將以上二式各自平方后相加，于是得

上式是以αα和α為變量的方程，在以σ為橫坐標(biāo)軸、為縱坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系中,所表示的曲線(xiàn)是一個(gè)圓，如圖8.5所示，其圓心C的坐標(biāo)為

其半徑為

此圓稱(chēng)為應(yīng)力圓或莫爾圓。也就是說(shuō)，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用應(yīng)力圓來(lái)表示，過(guò)該點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)截面，每一個(gè)截面上的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力α，對(duì)應(yīng)著應(yīng)力圓圓周上的一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。換而言之，應(yīng)力圓的圓周囊括了過(guò)一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力狀態(tài)。

圖8.5

8．3．2應(yīng)力圓的繪制與應(yīng)用

現(xiàn)以圖8.6(a)所示的二向應(yīng)力狀態(tài)為例，說(shuō)明應(yīng)力圓的做法。在坐標(biāo)系內(nèi)，按選定的比例尺，量取橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)確定D點(diǎn)〔見(jiàn)圖8.6〔b〕〕。D點(diǎn)是應(yīng)力圓圓周上的一個(gè)點(diǎn)，它的坐標(biāo)代表x截面上的正應(yīng)力σx應(yīng)力和切應(yīng)力x。同樣的方法，用和確定E點(diǎn)，E點(diǎn)橫縱坐標(biāo)代表y截面上的正應(yīng)力σy應(yīng)力和切應(yīng)力y。由于x和y的數(shù)值相等，

,因此直線(xiàn)DE與坐標(biāo)軸σ的交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為(σx+σy)/2，即C為應(yīng)力圓的圓心。于是，以C為圓心、為半徑畫(huà)圓，即得所求應(yīng)力圓，如圖8.6〔b〕所示。

圖8.6應(yīng)力圓確定后，如欲求某一任意截面α上的應(yīng)力，那么只需將半徑CD沿方位角α的轉(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn)2α至CH處，所得H點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)就分別代表α截面上的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力α。茲證明如下。

將∠DCF用2α0表示，那么將半徑CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α后，得到的H點(diǎn)

在應(yīng)力圓中

故

將上式與式〔8.1〕比較可知

σH=σα

采用同樣的方法可以證明

所以命題得證。

也就是說(shuō)在應(yīng)力圓中，將初始半徑CD按某一方向旋轉(zhuǎn)2α得到半徑CH，D，H兩點(diǎn)分別代表兩個(gè)截面的應(yīng)力情況，這兩個(gè)截面之間夾角方向與應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)方向相同，其值正好為應(yīng)力圓上半徑夾角的一半，即為α。

綜上所述，使用應(yīng)力圓分析應(yīng)力狀態(tài)可歸結(jié)為以下兩點(diǎn)：〔1)應(yīng)力圓圓周上每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于單元體上一個(gè)面，點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)就是該截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力；〔2)應(yīng)力圓上兩點(diǎn)之間的圓心角等于單元體上兩個(gè)相應(yīng)截面所夾角度的兩倍，而且圓心角的轉(zhuǎn)向與截面法線(xiàn)間的轉(zhuǎn)向相同。

8．3．3用應(yīng)力圓分析主應(yīng)力、主平面和極值切應(yīng)力

用應(yīng)力圓可以方便地確定主應(yīng)力、主平面和極值切應(yīng)力。從圖8.7〔a〕可以看出，因?yàn)閼?yīng)力圓的圓心在σ軸上，所以最大正應(yīng)力σmax和最小正應(yīng)力σmin所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為圓周上橫坐標(biāo)最大和最小的兩個(gè)點(diǎn)，即A和B兩點(diǎn)，因此主應(yīng)力的大小分別為

圖8.7

將式〔8.12〕和式〔8.5〕比較可知，用解析法和應(yīng)力圓法得到的結(jié)果相同。D點(diǎn)與A點(diǎn)之間的圓心角為順時(shí)針，與式〔8.4〕比較可知，這就是主平面與x截面之間的夾角計(jì)算公式；A點(diǎn)和B點(diǎn)在應(yīng)力圓上的圓心角為180°，所以?xún)蓚€(gè)主平面在單元體上的夾角為90°，即主平面互相垂直。在應(yīng)力圓圖8.7(a)中，D，E點(diǎn)及A，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的單元體方位及應(yīng)力狀態(tài)如圖8.7(b)所示。

從圖8.7〔a〕還可以看出，K，M兩點(diǎn)為極值切應(yīng)力點(diǎn)，極值切應(yīng)力的大小等于應(yīng)力圓的半徑，但符號(hào)相反；K，M和A，B之間的圓心角都是90°，說(shuō)明極值切應(yīng)力的作用面與主平面之間的夾角是45°。

另外，任意兩個(gè)互相垂直的斜截面，對(duì)應(yīng)于應(yīng)力圓上某一直徑的兩端，其切應(yīng)力必然大小相等、符號(hào)相反，正應(yīng)力之和為圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的兩倍；極值切應(yīng)力作用的兩個(gè)截面上，其正應(yīng)力相等，且都為。

從以上分析可以看，通過(guò)對(duì)應(yīng)力圓進(jìn)行分析可以得到解析法中所有的結(jié)論。應(yīng)力圓對(duì)單元體上各種應(yīng)力特征的形象描述，比解析法更為直觀。以應(yīng)力圓為輔助工具，根據(jù)圖中的幾何關(guān)系進(jìn)行定量計(jì)算的方法稱(chēng)為圖解解析法。

例8.2從構(gòu)件中截取一單元體，各截面的應(yīng)力如圖8.8〔a〕所示，試確定主應(yīng)力、主方向及α=－30°斜截面上的應(yīng)力。

圖8.8解在σ直角坐標(biāo)系內(nèi)，按選定的比例尺，由坐標(biāo)(60,－30)和(－40,30)分別確定D與D′點(diǎn)〔如圖8.8(b)所示〕，以DD′為直徑畫(huà)圓，即得相應(yīng)的應(yīng)力圓。由公式〔8.10〕得應(yīng)力圓半徑為

DD′與σ軸的交點(diǎn)c即為應(yīng)力圓圓心，由可得其坐標(biāo)值為(10,0)。應(yīng)力圓與σ軸相交于點(diǎn)e和點(diǎn)f。兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為

故兩點(diǎn)坐標(biāo)為：e(－48.3,0)與f(68.3,0)。

由于點(diǎn)e和點(diǎn)f分別對(duì)應(yīng)單元體的兩個(gè)主平面，所以

由應(yīng)力圓可知∠fcD=2θ0=30.96°,而且，由于自半徑cD~cf的轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍虼酥鲬?yīng)力σ1的方位角為其一半，即

θ0=15.48°

另一主方向角為

從而可以繪制主單元如圖8.8〔c〕所示。

由于α=-30°，自半徑cD順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)60°至cd，得點(diǎn)d坐標(biāo)為(9.02,－58.3)，那么為α斜截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力，所以

8.4復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力

前面研究斜截面的應(yīng)力及相應(yīng)極值應(yīng)力時(shí)，有兩個(gè)限制條件，其一是單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)；其二是所研究的斜截面均垂直于單元體的不受力側(cè)面。本節(jié)研究應(yīng)力狀態(tài)的一般形式：三向應(yīng)力狀態(tài)，并研究所有截面的應(yīng)力。

8．4．1三向應(yīng)力圓

一般的三向應(yīng)力狀態(tài)如圖8.9〔a〕所示，單元體上的應(yīng)力包括σx，σy，σz，共9個(gè)應(yīng)力分量。需要說(shuō)明的是，命名一般三向應(yīng)力狀態(tài)中的切應(yīng)力時(shí)，需要使用兩個(gè)角標(biāo)，一個(gè)說(shuō)明切應(yīng)力作用面，一個(gè)說(shuō)明切應(yīng)力方向。例如，切應(yīng)力或中的第一個(gè)角標(biāo)x(或y)表示切應(yīng)力作用面的法線(xiàn)方向,第二個(gè)角標(biāo)表示切應(yīng)力指向y軸(x軸)。與平面應(yīng)力狀態(tài)類(lèi)似，仍然可以用與截面法利用空間力系平條件求解任意空間斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，從而確定單元體的主應(yīng)力和主平面或計(jì)算切應(yīng)力的最大值，只是涉及方程數(shù)量更多。本節(jié)主要討論以圖解法分析三向應(yīng)力狀態(tài)中的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。

圖8.9

圖8.9〔a〕中的單元體也可用只有3個(gè)主應(yīng)力σ1，σ2和σ3作用的主單元體表示〔見(jiàn)圖8.9(b)〕。為了分析單元體上的最大應(yīng)力，在主單元體上，取α截面平行于σ3，如圖8.10(a)所示。由于σ3不影響α截面上的應(yīng)力，所以α截面上的應(yīng)力只取決于σ1和σ2，類(lèi)似于二向應(yīng)力狀態(tài)分析，在直角坐標(biāo)系內(nèi)可用σ1和σ2確定一個(gè)應(yīng)力圓，任意α截面上的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力必然對(duì)應(yīng)該應(yīng)力圓上一點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，如圖8.10〔d〕所示。同理，分別平行于σ1和σ2的截面，即圖8.10〔b〕、〔c〕的和截面上，用σ2與σ3和σ3與σ1可確定另外兩個(gè)應(yīng)力圓，任意β和γ截面上的正應(yīng)力σβ，σγ和切應(yīng)力β，γ與這兩個(gè)應(yīng)力圓上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。于是3個(gè)主應(yīng)力就確定了3個(gè)兩兩相切的應(yīng)力圓，如圖8.10〔d〕所示，該圖形稱(chēng)為三向應(yīng)力圓。

圖8.10

至于與3個(gè)主應(yīng)力均不平行的任意斜截面ABC〔見(jiàn)圖8.11〔a〕〕，由四面體OABC的平衡，得該截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力分別為

其中，α，β，γ代表斜截面ABC的外法線(xiàn)n在坐標(biāo)系Oxyz的方位角〔見(jiàn)圖8.10〔b〕〕。可以證明，在平面內(nèi)，與上述截面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，必位于如圖8.10〔d〕所示3個(gè)圓的圓周或所其構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)。

圖8.11

8．4．2三向應(yīng)力狀態(tài)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力

綜上所述，在σ平面內(nèi)，代表任一截面的應(yīng)力的點(diǎn)，或位于應(yīng)力圓周上，或位于如圖8.10〔d〕所示的3個(gè)應(yīng)力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)。由此由三向應(yīng)力圓易見(jiàn)，單元體的最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力分別為

σmax=σ1〔8.15〕

σmin=σ3〔8.16〕

3個(gè)應(yīng)力圓上縱坐標(biāo)的極限值分別為

他們分別對(duì)應(yīng)α，β和γ截面上的切應(yīng)力極限值。圖8.10〔d〕中3個(gè)應(yīng)力圓的圓周及其所圍的陰影面積中縱坐標(biāo)的最大值對(duì)應(yīng)著任意截面上的最大切應(yīng)力，其值為

8.5應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系廣義胡克定律

材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間，相互關(guān)聯(lián)。前面曾經(jīng)討論過(guò)單向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，本節(jié)研究各向同性材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

首先分析平面應(yīng)力狀態(tài)下的單元體。圖8.12〔a〕所示平面應(yīng)力狀態(tài)，可看成是二向應(yīng)力狀態(tài)與純剪切應(yīng)力狀態(tài)的組合〔見(jiàn)圖8.12〔b〕、(c)〕。對(duì)于各向同性材料，正應(yīng)力σx與σy不會(huì)引起切應(yīng)變?chǔ)脁y〔見(jiàn)圖8.12(b)〕；同時(shí)在小變形的條件下，切應(yīng)力對(duì)正應(yīng)變?chǔ)舩與εy的影響也可忽略不計(jì)〔見(jiàn)圖8.12(c)〕。因此，處于平面應(yīng)力狀態(tài)的單元體，其正應(yīng)變?chǔ)舩與εy和切應(yīng)變?chǔ)脁y均可利用疊加原理進(jìn)行分析。

圖8.12

當(dāng)只有σx單獨(dú)作用時(shí)，單元體沿x與y方向的正應(yīng)變分別為

當(dāng)只有σy單獨(dú)作用時(shí)，單元體沿x與y方向的正應(yīng)變分別為

因此，當(dāng)σx和σy同時(shí)作用時(shí)，單元體沿x與y方向的正應(yīng)變分別為

根據(jù)剪切胡克定律，單元體的切應(yīng)變那么為

式〔8.19〕、式〔8.20〕稱(chēng)為平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律。

式〔8.19〕、式〔8.20〕還可表達(dá)為

對(duì)于如圖8.9(a)所示的一般三向應(yīng)力狀態(tài)，同樣可以證明正應(yīng)力與正應(yīng)變之間的關(guān)系為

至于切應(yīng)變與切應(yīng)力之間，仍與式〔8.20〕類(lèi)似，這樣在xy,yz,zx這3個(gè)面內(nèi)的切應(yīng)變?yōu)?/p>

式〔8.22〕及式〔8.23〕，統(tǒng)稱(chēng)為三向應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，只有當(dāng)材料為各向同性，且處于線(xiàn)彈性范圍之內(nèi)時(shí)，上述定律才成立。

對(duì)如圖8.13(a)所示的主單元體，平行于主應(yīng)力σ1，σ2，σ3的棱邊分別稱(chēng)為棱邊1，2，3，與之對(duì)應(yīng)的線(xiàn)應(yīng)變用ε1，ε2,ε3表示，這種沿著主應(yīng)力方向的線(xiàn)應(yīng)變稱(chēng)為主應(yīng)變。那么由式〔8.22〕可知

不難看出

ε1≥ε2≥ε3

即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向。式〔8.24〕稱(chēng)為主單元的廣義胡克定律。

圖8.13

例8.3矩形截面外伸梁受力F1,F2作用。彈性模量E=200GPa,泊松比μ=0.3,F1=100kN,F2=100kN。試求A點(diǎn)處的主應(yīng)變?chǔ)?，ε2與ε3。

圖8.14

解在F1,F2作用下，梁將同時(shí)發(fā)生拉伸與彎曲變形。對(duì)于拉伸變形而言，梁橫截面上的A點(diǎn)有拉伸引起的正應(yīng)力；對(duì)于彎曲變形而言，A點(diǎn)處于中層，沒(méi)有彎曲正應(yīng)力為零，而彎曲切應(yīng)力為最大值。因此，橫截面上的A點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖8.15〔b〕所示。σx和x的大小分別為

應(yīng)用公式〔8.5〕計(jì)算該平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力為

可得σ1＝41.4MPa，σ2=0，σ3=－21.4MPa

應(yīng)用公式〔8.23〕計(jì)算主應(yīng)變?yōu)?/p>

負(fù)號(hào)說(shuō)明該方位的正應(yīng)變?yōu)閴簯?yīng)變。

例8.4一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用(見(jiàn)圖8.15〔a〕)。為了測(cè)定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45°方向測(cè)出線(xiàn)應(yīng)變?，F(xiàn)測(cè)得軸向K點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)椋狠S向正應(yīng)變?chǔ)?=500×10－6，45°方向的正應(yīng)變?chǔ)舥=400×10－6。假設(shè)軸的直徑D=100mm，彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。試求F和m的值。

圖8.15

解〔1〕計(jì)算軸向力F

在軸力F和力矩m的作用下，桿件將同時(shí)發(fā)生拉伸與扭轉(zhuǎn)變形。沿圓軸橫截面截取K點(diǎn)處單元體，其應(yīng)力狀態(tài)如圖8