八年級數(shù)學(xué)下冊1812平行四邊形的判定課件

第十八章

平行四邊形18.1平行四邊形第3課時

平行四邊形的判定大冶市城南中學(xué)呂秋芬1課堂講解由兩組對邊分別平行或相等判定平行四邊形由兩組對角分別相等判定平行四邊形由對角線互相平分判定平行四邊形由一組對邊平行且相等判定平行四邊形2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升老板一裝潢店要招聘店員，老板出了這樣一道考題：“一顧客要一張平行四邊形的玻璃，你利用工具度量哪些數(shù)據(jù)可說明這張玻璃符合顧客要求.”應(yīng)聘者如何說明下圖是平行四邊形？1知識點由兩組對邊分別平行或相等判定平行四邊形從邊看：

方法一：兩組對邊分別平行的四邊形是

平行四邊形；(定義法)

數(shù)學(xué)表達式：如圖，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；

方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

數(shù)學(xué)表達式：如圖，∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；知1－講要證四邊形BFDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的定義可證得DF∥BE，因此可采用判定方法一即定義法證明DE∥FB即可．例1如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE

平分∠ADC，交CB的延長線于點E，BF平分∠ABC，交AD的延長線于點F.

求證：四邊形BFDE是平行四

邊形．知1－講導(dǎo)引：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB.∴DF∥BE.∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.∵AD∥BC，∴∠1＝∠E.∴∠E＝∠3.∴DE∥FB.∴四邊形BFDE是平行四邊形．(兩組對邊分別

平行的四邊形是平行四邊形)知1－講證明：總

結(jié)知1－講

平行四邊形的定義是判定平行四邊形的根本方法，也是其他判定方法的基礎(chǔ)．當題目中出現(xiàn)平行的線段時，往往借助判定方法一來幫助我們對四邊形加以判斷．1如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，

且ED＝EB.延長ED到F，使ED＝DF，連接FC.

證明：四邊形AEFC是平行四邊形．知1－練2如圖所示，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，圖

中共有（

）個平行四邊形.A.1B.2C.3D.4知1－練知1－講例2如圖，分別以△ABC的三邊為一邊，在BC的同側(cè)

作等邊三角形ABD，等邊三角形BCE，等邊三角

形ACF，連接DE，EF.

求證：四邊形ADEF是平行四邊形．由等邊三角形的性質(zhì)可以得到線段相等，角相等，進而可以通過全等三角形證明四邊形ADEF的兩組對邊分別相等，最后根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行判定．導(dǎo)引：知1－講∵△ABD、△BCE、△ACF都為等邊三角形，∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，∠DBA＝60°，∠EBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC.又∵AC＝AF，∴AF＝DE.同理可證：△ABC≌△FEC，∴AB＝FE，∴FE＝AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形．證明：總

結(jié)知1－講

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得到線段相等，角相等，進而通過證明三角形全等得到四邊形ADEF的兩組對邊分別相等，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形得證．1

如圖，在Rt△MON中，∠MON＝90°，試說明

四邊形PONM是平行四邊形．知1－練知1－練2四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，b為

一組對邊長，c，d為另一組對邊長且a2＋b2＋c2＋d2

＝2ab＋2cd，則這個四邊形是(

)A．任意四邊形

B．平行四邊形C．對角線相等的四邊形

D．對角線垂直的四邊形2知識點由兩組對角分別相等判定平行四邊形知2－講

幾何語言：∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（如圖所示）

注意：注意這里的兩個定理的前提都是四邊形，條件一個是兩組對邊分別平行;另一個是兩組對角分別相等.知2－講例3如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于

點E，DF平分∠ADC，交BC于點F，那么四邊

形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？利用平行四邊形對角相等的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C，然后再依據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證出四邊形BFDE的兩組對角分別相等，于是可得出結(jié)論．導(dǎo)引：知2－講四邊形BFDE是平行四邊形．理由：在?ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝∠ADC，∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED，∴四邊形BFDE是平行四邊形．解：總

結(jié)知2－講

當已知條件出現(xiàn)所要說明的四邊形的角時，可選擇“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來判定．1

將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖①擺放在一起．(1)四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和

理由；(2)如圖②，將三角尺BCD沿射線BD的方向平移到Rt△B1C1D1的位置，連接BC1，AD1，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由．知2－練2下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD是平行

四邊形的是(

)A．AB∥CD，AD＝BC

B．AB＝AD，CB＝CDC．AB＝CD，AD＝BC

D．∠B＝∠C，∠A＝∠D知2－練3知識點由對角線互相平分判定平行四邊形知3－導(dǎo)

過前面的學(xué)習，我們知道，平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.反過來，對邊相等，或?qū)窍嗟?，或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？也就是說，平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題成立嗎？

下面我們以“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”為例，通過三角形全等進行證明.思考知3－導(dǎo)

如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，且OA=OC，OB=OD.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.∵OA=OC，OD=OB,∠AOD=∠COB，

∴△AOD≌△COB.

∴∠OAD=∠OCB.∴AD//BC.

同理AB//DC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：知3－講從對角線看：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．數(shù)學(xué)表達式：如圖，∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．知3－講∵

四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AO=CO，BO=DO.∵

AE=CF，∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.又BO=DO，∴四邊形BFDE是平行四邊形.例4

如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

E，F(xiàn)是AC上的兩點，并且AE=CF.

求證：四邊形BFDE是平行四邊形.證明：總

結(jié)知3－講

從對角線方面判斷四邊形的形狀要注意是對角線互相平分，即交點既是第一條對角線的中點，又是第二條對角線的中點.1

已知：如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

在AC，BD上分別取點E，G和M，N，使AE＝CG，BM＝DN.

請說明四邊形EMGN是平行四邊形．知3－練2如圖，四邊形ABCD的對角線相交于

點O，AO＝CO，請?zhí)砑右粋€條件______(只添一個

即可)，使四邊形ABCD是平行四邊形．知3－練4知識點由一組對邊平行且相等判定平行四邊形知4－導(dǎo)

我們知道，兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形.如果只考慮四邊形的一組對邊，它們滿足什么條件時這個四邊形能成為平行四邊形呢？

我們知道，如果一個四邊形是平行四邊形，那么它的任意一組對邊平行且相等.反過來，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形嗎？

我們猜想這個結(jié)論正確，下面進行證明.思考知4－導(dǎo)

如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，且AB=CD.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.連接AC，

∵AB//CD,∴∠1=∠2.又AB=CD，AC=CA.

∴△ABC≌△CDA.

∴BC=DA.∴四邊形ABCD兩組對邊分別相等，它是平行四

邊形.

證明：歸納知4－導(dǎo)

于是我們又得到平行四邊形的一個判斷定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.知4－講一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；數(shù)學(xué)表達式：如圖，∵AB

CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∥＝知4－講∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，EB//FD.又EB=AB，F(xiàn)D=CD，∴

EB=FD.∴四邊形EBFD是平行四邊形.例5如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.

求證：四邊形EBFD是平行四邊形.證明：總

結(jié)知4－講

要證四邊形是平行四邊形，已知有一組對邊平行，聯(lián)想的思路有兩種：一是證明另一組對邊平行；二是證明平行的這組對邊相等．而證明邊相等要三角形全等這條思路較常見．1如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜

邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE.已知∠BAC

＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF.(1)試說明AC＝EF；(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形．知4－練2下列說法錯誤的是(

)A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是

平行四邊形知4－練在四邊形ABCD中，AD＝BC，若四邊形ABCD是

平行四邊形，則還應(yīng)滿足(

)A．∠A