誤差分析與數(shù)據(jù)處理

一般情況下，上式（6—1）中的真值及誤差均是未知量，故它只能表示一種理論上的概念。但是測試的根本任務就是要找出被測參數(shù)的量值，而且希望它能精確的表示真值。因此如何根據(jù)測量值獲得近似的真值；如何確定它近似的程度，即測量誤差，就是誤差分析所要解決的問題。誤差的大小，表示每一次測量值相對于真值不符和的程度。誤差有以下含義：1.誤差永遠不等于零。誤差總是要產(chǎn)生的，就其極限理論來說，也決不可能為零，這就是誤差的必然性原理。例如用石英鐘測時間，誤差不可能小于石英振蕩器振蕩周期的一半；用電表測電量，電量誤差不可能小于一個電子所帶的電量。12.誤差具有隨機性。在誤差或測量值之間，一般是不相等的。否則就可能是由于測量儀器的分辨率太差、太低的原因。3.誤差是未知的。通常情況下，由于真值是未知的，研究誤差時一般都從殘差入手。殘差定義為：式中：——任意一個測得值——測得值的算術平均值4.誤差具有不確定性。誤差的不確定性是由于被測數(shù)據(jù)的不確定性引起的，從而可以把誤差看成是隨機變量，以便借助概率論和數(shù)理統(tǒng)計學來研究誤差。（6—2）2

既然誤差存在是必然的，絕對的，那么誤差是如何產(chǎn)生的？誤差的來源主要有測量手段、測量環(huán)境、測量方法和測量人員等四個方面。若進一步細分的話，還可以有以下測量誤差。1、標準器誤差。標準器是提供標準量的器具。如標準量塊、標準刻度尺、標準電阻和標準砝碼等。它們本身體現(xiàn)出來的量值必不可避免的都含有誤差。

2、儀器誤差。凡是用來直接或間接將被測量和測量單位比較的設備，稱為儀器或儀表。如溫度計、千分尺、標準頻率振蕩器、微秒計等。前兩者為指示儀表，后兩者為比較儀。儀器和儀表本身都具有誤差。

3、附件誤差。儀器的附件及附件工具，如計時開關裝置、測量環(huán)境等的誤差，也會引起測量誤差。3

4、機構誤差。如正弦機構或正切機構的非線性、天平的不等臂、機械零件連接的間隙等引起的誤差。

5、調(diào)整誤差。儀器儀表、量具在使用時沒有調(diào)整到理想狀態(tài)，如不垂直、不水平、偏心、零位偏移等引起的誤差。

6、量值誤差。標準量值本身的不準確性，量值隨時間的不穩(wěn)定性和隨空間位置的不均勻性而引起的誤差。如刻度尺長度的變化，標準電阻阻值的變化、硬度塊規(guī)上各處硬度值不等所引起的誤差。

7、變形誤差。儀器儀表、量具在使用中的變形。如因零件材料性能的不穩(wěn)定性或儀器本身因測量部件移動產(chǎn)生的變形，內(nèi)經(jīng)千分尺的彎曲變形和壓縮變形等引起的誤差。4

8、環(huán)境誤差。鑒于測量環(huán)境各種影響因素的變化與要求標準狀態(tài)的不一致，從而引起測量裝置和被測量本身變化所造成的誤差。如氣壓、溫度、振動、輻射、照明、靜電、電磁場、慣性加速度、旋轉與旋轉加速度等所引起的誤差。

9、方法誤差。由于測試時所使用的理論、公式和方法上的不完整或疏忽所造成的誤差。如用鋼卷尺測量大軸的圓周長S，通過計算得出大軸的直徑,由于的取值不同，將會引起誤差。又如測量彈丸的飛行速度，用通靶或斷靶，彈丸通過通靶或斷靶時需消耗能量，另外，求出的速度值也只能是速度的平均值，而不是瞬時速度。5

10、人員誤差。簡稱“人差”，也城人因誤差。由于觀測者或操作者在心理上或生理上主觀因素所引起的誤差。

如測量者受分辨力的限制，或者因工作疲勞引起視覺器官的生理變化，或者由于固有習慣引起的讀數(shù)誤差，以及精神因素產(chǎn)生的一時疏忽等原因所引起的誤差。

除此之外，儀器儀表在規(guī)定的條件下使用時所產(chǎn)生示值誤差，稱為基本誤差；超出此條件使用而引起的誤差，稱為附加誤差；在測量過程中，由于測量條件變動所引起的測量誤差，稱為條件誤差等等。6

二、誤差的分類誤差的分類很多，可按誤差的來源分，還可按誤差的性質，誤差的獨立性和被測量物在測量過程中的狀態(tài)來進行分類。2、按被測量物在測量過程中的狀態(tài)來分。可分為靜態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差與動態(tài)誤差。1、按誤差的原因（來源）分。按誤差的原因（來源）分可分為原理誤差（或者叫方法誤差）與構造誤差（或者叫工具誤差）。由于測量原理的不完善，或近似性或假設了一些常數(shù)，或靜態(tài)特性方程中某些參數(shù)與理論靜態(tài)特性方程中的對應參數(shù)不同等原因而引起的誤差叫原理誤差。由于實際儀器在構造上，制造工藝上或調(diào)整不完善而引起的誤差叫做構造誤差。7被測參量不隨時間變化而改變的，稱為靜態(tài)參量。靜態(tài)參量的觀測誤差，稱為靜態(tài)誤差（靜態(tài)參量誤差）。這種誤差通常視為隨機誤差。被測參量隨時間變化而改變的，稱為動態(tài)參量。動態(tài)參量的觀測誤差，稱為動態(tài)誤差（動態(tài)參量誤差）。例如對人造衛(wèi)星、導彈、火箭的跟蹤觀測，其觀測距離是時間的函數(shù)，其動態(tài)參量觀測誤差，顯然是動態(tài)參量誤差。這種動態(tài)誤差，應當看成是一個隨機過程，通常用隨機過程理論來解決。又如在動、靜態(tài)測試中，對應于某一輸入的輸出響應將產(chǎn)生靜態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差和動態(tài)誤差。83、按誤差出現(xiàn)的規(guī)律性（或按性質）來分?？煞譃橄到y(tǒng)誤差，隨機誤差和過失誤差（或稱為粗大誤差）。

系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差是由于測量系統(tǒng)不良（如刻度不準，砝碼未校正等），周圍環(huán)境變化，個人的習慣與偏向（如讀數(shù)常偏高和偏低）等原因引起的。系統(tǒng)誤差不能用增加測量次數(shù)來減小或消除，但可以用理論計算方法求得，并采用增加修正值的方法減小或消除它對測量結果的影響。

隨機誤差。在測量中，如果已經(jīng)消除系統(tǒng)誤差，也就是將系統(tǒng)誤差視為零，每次的測量結果（同一測量條件）仍會出現(xiàn)無規(guī)律的隨機性變化，這種誤差稱為隨機誤差，也叫做偶然誤差。

過失誤差。一種明顯歪曲測量結果的誤差稱為過失誤差或粗大誤差。這是一種在測量過程中對錯了的標志，讀錯了讀數(shù)，做錯了記錄，算錯了數(shù)字，或者因操作者不慎引起失誤，或測量條件意外地改變（如外界機械沖擊或振動）等所造成的誤差。9過失誤差的數(shù)值遠遠大于系統(tǒng)誤差，已經(jīng)不屬于誤差范圍，必須剔除掉。過失誤差無規(guī)律可循，只要多加警惕，細心操作，一般都可以避免。應當指出，上述誤差可以在一定條件下相互轉化。對于某一具體誤差，在一條件下是系統(tǒng)誤差，在另一條件下可能是隨機誤差，反之亦然。例如：按一定公稱尺寸制造的量塊，存在著制造誤差，其中就某一塊量塊制造的誤差的數(shù)值來說，若用以進行標定或測量，所造成的誤差是系統(tǒng)誤差；但是，就此量塊整批而言，則該量塊的制造誤差變成了隨機誤差。掌握誤差轉化特點，可將系統(tǒng)誤差轉化為隨機誤差，采用數(shù)據(jù)處理方法減小誤差的影響，或者將隨機誤差轉化為系統(tǒng)誤差，采用修正方法來減小誤差的影響。總之，隨機誤差和系統(tǒng)誤差之間的并不存在絕對界限。106．2誤差的表示方法

研究誤差，在一般情況下，總是以測量誤差為研究對象，它具有普遍性和代表性。測量誤差以絕對誤差和相對誤差來表示。測量某一參數(shù)所得的測量值與該參數(shù)的真值之差為絕對誤差。即：

它與被測參數(shù)有相同的單位。測量的真值是一個理想的概念，一般是不知道的。然而在某些特定的情況下，其真值是可知的。例如：三角形的內(nèi)角和為，一個整的圓周角為。為了使用上的方便和要求，在有些情況下，可以采用相應的高一級精度的標準量值來代替真值，

11例如：用二等標準活塞壓力計測量某壓力，測得值為若用更精確的方法測得該壓力的值為，則后者可以視為標準量值用的代替真值。因此，而等標準活塞壓力計測量的絕對誤差為：

12

二、相對誤差絕對誤差與被測量的真值之比稱為相對誤差，相對誤差為無量綱的值，常以百分數(shù)來表示（%）。由于真值一般不可知，而測量值與真值比較接近，因此常將絕對誤差與測量值的比值作為相對誤差，為了區(qū)分。將前者定義為實際相對誤差，后者稱為標稱相對誤差，表達式為：實際相對誤差：標稱相對誤差：之所以要采用相對誤差來評價被測值的精度，是因為對不同的被測值，絕對誤差難以評定測量精度的高低。（6—4）（6—3）13例如，采用兩種方法來測量的尺寸，分別獲得測量誤差為和，很明顯后一種方法測量結果的精確度高。若再以第三種方法測得的尺寸，獲得測量誤差。此時以絕對誤差就難以評定后者相對于前兩種方法的精度高低。此時，只有采用相對誤差進行評定，才能知道哪種方法精度高。第一種方法的相對誤差為：14第二種方法的相對誤差為：第三種方法的相對誤差為：15由結果可知，第三種方法的精度介于第一、第二種方法之間。應當指出，相對誤差在測量學中都以分子為1的分數(shù)表示。如上面的

三、額定相對誤差

（6—5）絕對誤差與被測量的滿量程值（或最大與最小刻度值之差）之比值，稱為額定相對誤差。額定相對誤差在電工儀表中，特別是對于傳感器，通常取最大額定相對誤差作為精度指標，其定義式為：最大額定相對誤差（6-6）式中：——滿量程范圍內(nèi)的最大測量誤差。16例如，某壓力傳感器的測量范圍是2～50N/cm2，在該范圍內(nèi)的最大絕對誤差是0.14N/cm2，則該傳感器的精度為：

四、引用誤差

（6—7）

引用誤差又稱單位相對誤差。以儀表滿刻度值為分母，某一刻度點的示值誤差為分子，其所得的比值稱為引用誤差，即：即傳感器的精度為千分之三。17引用誤差在一些直讀式儀表中常用，如電工儀表。然而，對于多檔和用示值表示被測量大小的儀表，則通常按最大引用誤差劃分儀表的精度等級，其定義為：最大引用誤差：以最大引用誤差作為精度指標來劃分儀表的等級，例如，在電工儀表中，精度等級分為0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5和5.0七級。對S級儀表(S指七級中的任何一級)，表明合格儀表的最大引用誤差不會超過S%。

例如，某測量范圍上限為10A的電流表為2.5級，表示該電流表的最大引用誤差不超過2.5%，最大絕對誤差為：

（6—8）18再如：檢定某個最大刻度值為100V（滿刻度值）的電壓表，發(fā)現(xiàn)在50V刻度點上的示值誤差為2.5V，在100V刻度點上的示值誤差為2.0V，則最大引用誤差為2.5%，故其等級為2.5級。但若某儀表最大引用誤差為0.15%，則其等級應為0.2級。（無0.15級）四、隨機誤差的評定指標任何測試與觀察總是不可避免的存在誤差，這種誤差具有隨機性。

在進行隨機誤差評定時，通常要作一些假設，首先應規(guī)定測得值不得含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，且隨機誤差之間必須相互獨立，是等精度測量；其次要假定測量次數(shù)n趨于無窮大；最后還要認定測量儀器的分辨力可以無限制的提高。評定隨機誤差的指標，常用的有以下幾個：標準差，中間差，極差和算術平均差。19

1、標準差（）過去有很多稱呼，常見的有標準誤差，標準偏差，均方根誤差，均方根偏差以及均方差等。標準差為：——測量次數(shù)（無窮多次）——真值——第次測量值

式中：（6—9）20在實際應用中，真值一般不知，且不能趨于無窮多，故常用標準差估值：（6—10）式中：為有限次，為算式平均值，代替真值，213、極差（）極差是極限誤差的簡稱，又稱最大誤差，它是指在一組等精度的測量值中，最高與最低值之差。（6—11）2、中間差（）在一組測得值中，其隨機誤差的觀測值落在區(qū)間[,]內(nèi)的概率為50%時，則稱為隨機誤差的中間差。中間差的實際意義為：如有個隨機誤差，則有個隨機誤差落在區(qū)間[,]內(nèi)，而另外的個隨機誤差則落在該區(qū)間外。（或）的術語，目前很不統(tǒng)一。在物理學中，以往常用概率偏差或或然誤差來表征隨機誤差的大小；在炮兵工程技術中，則常常用中間誤差來反映炸點散布的大小。224、算術平均差（）或稱算術平均誤差，又稱平均絕對值誤差。（6—12）式中，為殘差。6.3不合理數(shù)據(jù)的舍棄

在一組等精度重復測量中，偶爾會出現(xiàn)過失誤差。過失誤差會顯著歪曲測量結果，在處理數(shù)據(jù)時，應將含有過失誤差的不合理數(shù)據(jù)舍棄。但是對測量值中突出大或突出小的可疑數(shù)據(jù)，不能根據(jù)主觀判斷隨意剔除，而應根據(jù)一定的客觀標準。23我們要想對數(shù)據(jù)進行判斷并剔除其可疑數(shù)據(jù)，就有必要了解過失誤差的特點。一、過失誤差的特點過失誤差的數(shù)值遠大于隨機誤差和系統(tǒng)誤差，實際上已超出誤差范圍，是一種不應發(fā)生，而僅是由于粗心、疏忽、大意所產(chǎn)生的誤差。在一組等精度測量中，大誤差出現(xiàn)的概率是極小的，誤差絕對值超過的概率僅為0.27%(1/370)，因此，遇上殘差的絕對值大于，則這個數(shù)據(jù)就值得懷疑。然而，大誤差出現(xiàn)的概率雖然很小，但畢竟不是0。就是說，既使在測量次數(shù)不大時，也不能絕對排除大誤差出現(xiàn)的可能性。然而，當大誤差出現(xiàn)時，或者更準確地說，當測量值中，有某個值與其余各個值的差異特別大時，它對（數(shù)列）算術平均值和標準差估值將會產(chǎn)生很大影響。因此，彌散特大的個別測量結果的出現(xiàn)，不僅會使數(shù)據(jù)統(tǒng)計與數(shù)據(jù)處理發(fā)生困難，甚至會歪曲總的測量結果，不能不引起應有的關注。24因此，在處理過失誤差時要特別慎重，應進行嚴肅的，一絲不茍的科學分析與判斷。一般來說，應按以下程序進行處理：

1）檢查該次測量是否有差錯。如肯定無差錯，就應從某種瞬變系統(tǒng)誤差方面去探索出現(xiàn)大誤差的原因。比如在測量過程中，電力網(wǎng)上的電壓突然跳動等。

2）在同樣測試條件下增加測量次數(shù)。通過取得更多的數(shù)據(jù)，以削弱特大的個別數(shù)據(jù)對最終統(tǒng)計估值的影響。

3）采用令人信服的統(tǒng)計數(shù)據(jù)來剔除可疑數(shù)據(jù)。但在采取某一判據(jù)剔除個別特殊數(shù)據(jù)這一最終手段時，應特別慎重。要知道，曾經(jīng)有不少重大發(fā)現(xiàn)是在研究測量結果的彌散程度超過了隨機性的原因中發(fā)現(xiàn)的。如1894年，雷萊測氮氣密度時，注意到從大氣中提取試樣與化學制取試樣之間，在數(shù)據(jù)上有很大差異（達23），他沒有歸因于某種原因不明的差錯采取舍棄，相反的，他強調(diào)指出這種粗大誤差的客觀存在，正因為如此，才導致以后發(fā)現(xiàn)氬元素。25下面就介紹幾種粗大誤差的判別方法。二、粗大誤差的判別方法

1、現(xiàn)場判斷做實驗或測量時，要做到心中有數(shù)，以利于在粗大誤差出現(xiàn)時及時判斷并剔除。例如兩人一組實驗，測量某一尺寸，一人測量讀數(shù)，一人記錄，測量讀數(shù)的人可能由于不慎讀錯了數(shù)，記錄的人就應及時發(fā)現(xiàn)，但是前提是對該次測量要心中有數(shù)，比如所用量具的精確度，所要測量結果大概為多少等。再如測速聽聲音判斷其值等?，F(xiàn)場判斷數(shù)據(jù)是否合理，對初次實驗者不知道數(shù)據(jù)的情況，不能進行現(xiàn)場判斷，需進行大量的實驗后判斷，由于實驗數(shù)據(jù)多，有些數(shù)據(jù)（當時的實驗情況）已經(jīng)淡忘，則可用綜合判斷法。262、綜合判斷（理論判斷）利用能量，動量等理論判斷，進行舍棄。如測速，速度應呈衰減趨勢，能量范圍突變等，如破片侵徹目標靶，侵徹前后均測速，侵徹后的速度由于在侵徹目標靶的過程中要消耗能量，速度必然小于侵徹前的速度。

3、統(tǒng)計規(guī)律1）3準則該準則又稱為萊特準則。它是常用的也是判別粗大誤差最簡單的準則。但它是以測量次數(shù)充分多為前提的。在一般情況下，測量次數(shù)都比較少，但不能少于10次（N≤10不能采用3準則），因此，3準則只能是一個近似準則。27（6-13）則認為它含有粗大誤差，該數(shù)據(jù)應予以剔除。對于某一組測量值，若只含有隨機誤差，根據(jù)隨機誤差正態(tài)分布規(guī)律，其殘差落在以外的概率僅為0.27%(1/370)，測量值的殘差絕對值若發(fā)現(xiàn)大于，亦即：使用準則時，允許一次將殘差大于的所有數(shù)據(jù)剔除，然后重新計算值（利用剩余的各個數(shù)據(jù)），再次使用準則判斷并剔除殘差大于的數(shù)據(jù)，直至不再發(fā)現(xiàn)的數(shù)據(jù)為止。準則偏于保守。在測量次數(shù)較小時，粗大誤差出現(xiàn)的次數(shù)極少。由于測量次數(shù)不大，粗大誤差在求過程中將使顯著增大。此時準則并不很可靠。也就是說，在此情況下，有個別粗大誤差也不一定判斷出來。282）肖維納準則

該準則的判別步驟是：①計算算術平均值、殘差、標準差估值以及；②求出，若，則認為數(shù)據(jù)不合理，予以舍棄；③在剔除掉一個數(shù)據(jù)后，再利用該準則繼續(xù)判斷，直至確認不再含有粗大誤差的測量值為止k是一個決定于測量次數(shù)n和最大殘差與的比值的值293）格拉布斯準則（Grubbs）多次重復測量時，取得個測量值，，…，，并假定這些測量值是正態(tài)分布的。計算出:

若測量值中的最大值或最小值的殘差滿足以下關系：（6—14）就認為該測量值含有粗大誤差，應予以剔除。式中是一個決定于測量次數(shù)和顯著水平的數(shù)值。顯著水平表示按（6-14）式剔除粗大誤差時可能錯判的概率，即把不是粗大誤差判為粗大誤差的錯誤概率。顯著水平是事先取定的，通常取為0.05，0.0025和0.01，的值可以查表。30表6—1格拉布斯判據(jù)表（數(shù)值表）31例：對某參數(shù)在同一條件下重復測量10次，其結果為：5.305.736.778.125.224.333.456.095.645.75

①、計算算術平均值③、計算標準差估值②、計算殘差見表經(jīng)檢查，，數(shù)據(jù)合理。分別用：1）3準則；2)肖維納準則；3）格拉布斯準則判別，并剔除含有粗大誤差的數(shù)據(jù)。解：1）用3準則：④、計算3⑤、查表，檢查是否大于32332）用肖維納準則：①計算算術平均值③查表得經(jīng)檢查，數(shù)據(jù)合理。②計算殘差、、及各數(shù)值均見表④檢查是否大于343）用格拉布斯（Grubbs）準則：①設給定顯著水平②查表③計算④檢查是否大于的值（若大于剔除后，重復上述步驟）經(jīng)檢查，數(shù)據(jù)合理。(5%)35二、判別粗大誤差注意事項粗大誤差的判別是一個比較困難需要特別細心和慎重的工作。在判別過程中，要做充分的分析和研究，并注意以下問題：1）合理選用判別準則。在上面介紹的準則中，準則適用于測量次數(shù)較多的情況。一般情況下，測量次數(shù)都比較少，因此用此方法判別，其可靠性不高，但由于它使用簡便，又不需要查表，故在要求不高時，還是經(jīng)常使用的。對測量次數(shù)較少，而又要求較高的情況，應用后兩種準則或其它準則。2）采用逐步剔除方法。按前面介紹的判別準則，若判別出有兩個以上測得值含有粗大誤差時，只能首先剔除含有最大誤差的測得值，然后重新計算測量數(shù)列的算術平均值及其標準差，再對剩余的測量值進行判別，依此程序逐步剔除，直至所有測得值都不含有粗大誤差為止。（準則可一次剔除，但防