高等數(shù)學(同濟版)第六版上冊知識點總結(jié)教學課件

第一章知識點總結(jié)非空實數(shù)集的確界存在性1.實數(shù)集A有上界丑∈R,Vx∈A,都有x≤L實數(shù)集A有下界丑L∈R,∈A,都有x≥L實數(shù)集A有界<丑M∈R,x∈A,都有x|M.2.實數(shù)集A有上確界β=supA<∫w∈A,有xsPVG>0,3v∈A,有xn>B-Evx∈4有x≥c實數(shù)集A有下確界a=inf4白1>0,3∈A,有q<a+注:1.上確界是集合的上界中最小的,下確界是集合的下界中最大的2,數(shù)集的確界和它的最值是區(qū)別的,最值屬于集合,而確界不一定屬于集合,3.實數(shù)集的確界存在定理:有上界(或下界)的非空實數(shù)集必有上確界(或下確界)數(shù)列的極限數(shù)列收斂:imxn=a<VG>0,丑NeN,使得Ⅶ>N時,總有|xn-a|<6注:1.數(shù)列的極限可以是數(shù)列中的元素,也可以不是,但一般情況下都不是2.改變數(shù)列中的有限項的值,不能改變其收斂性及其極限值.2.收斂數(shù)列的性質(zhì)(1).收斂數(shù)列極限唯一:→a=b(2).收斂數(shù)列有界:limx=a→M∈Rt,m>N,都有|xnM注:1°數(shù)列無界必發(fā)散.(逆否命題)2.數(shù)列有界未必收斂,例如xn=(-1)(n=1,2,…)有界,即Ⅶmn≥1,|xnk1但該數(shù)列卻發(fā)散(3).收斂數(shù)列保號:limr=a>0(<0)→彐N∈N+,Ⅶm>N,都有xn>0(<0)注:1°.若limx=a>0,則{xn}中大于零的項有無窮多個,或小于零的項至多可數(shù)2.若收斂數(shù)列{xn}從某項起大于零(或小于零),則極限值大于零(或小于零)(4).收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極眼imxn=a對數(shù)列{xn}的任何子列{x2},都有imxn=a注:1°.若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極根,則原數(shù)列一定發(fā)散例如:數(shù)列xn=(-1)"(n=1,2,…)發(fā)散,而imx31=1,imx2=-12,發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子列3.數(shù)列極限存在準則N,n>mn有yn≤xn≤(1)夾過準則:limx=alim1.=lima=a2).單調(diào)有界準則:單調(diào)有界數(shù)列必收斂注:1.單調(diào)增加有上界的數(shù)列的極限就是其上確界2.單調(diào)減少有下界的數(shù)列的極限就是其下確界.3°.lim1+(3).柯西收斂準則:數(shù)列{n}收斂V8>0,彐N∈N",vm,H>NVE>0,NeN,wm>N,vp∈N,|xn-x<公函數(shù)的極限1.x→>xa時函數(shù)∫(x)的極限(1).limf(x)=A<VB>0,彐8>0,當x∈D(O∩U(x,5)時,有f(x)-4<思考題:若極眼Ⅷimf(x)存在,是否一定有imf(x)=f(x)?(2).單側(cè)極限∫(x)=lim∫(x)=AVE>0,8>0,w∈(x-8,n),|f(x)-4f(古)=1imf(x)=AV6>0,38>0,vx∈(xa,x+8),|f(x)-4(3)定理:im∫(x)=Holimy(x)=limf(x)=4練習題:設函數(shù)∫(x)且lmf(x)存在,則a=32x+1,2.x→時函數(shù)f(x)的極限(1).im(x)=4VE>0,丑>0,Wx:|x1>x,有f(x)-4|<5(2).單側(cè)極限imf(x)=A→E>0,>0,x>X,有f(x)-4|<E.imf(x)=A臺VE>0,3>0,x<-X,有|f(x)-4|<E(3).定理:Iimf(x)=A<limf(x)=limf(x)=A3.函數(shù)極限的性質(zhì)(以limf(x)=A為代表)limf(r)=A(1),.函數(shù)極眼的唯一性:limf(r)=B(2),函數(shù)極限的局部有界性:imf(x)=A→1>0,38>0,w∈U(x0,b),有(x)≤M(3).函數(shù)極限的局部保號性:limf(x)=A>0(<0)→彐8>0,v∈U(xa,6),有f(x)>0(<0注:若lmf(x)=A≠0→38>0,Mx∈U(x0,6),有f(x)(4).函數(shù)極限的局部保序性imf(x)=4<B=limg(x)→38>0,M∈U(x0,),有∫(x)<g(x)limf(r)=4,limg(r)=B汪→A≤B彐8>0,V∈U(x0,δ),f(x)≤g(x)(5)、函數(shù)極限的歸并性(函數(shù)極限與數(shù)列極眼之間的關(guān)系—一海涅定理limf(x)=A對任何數(shù)列{xn}(xn≠x0),只要lmxn=x,就有l(wèi)m∫(xn)=A4.函數(shù)極限的運算m{f(x)+g(x)=limf(x)±img(x)=4±Blim[(rbg()]=lim/(x)-limg()(1).四則運算4limf(r)=Balim()lim(r)4Bimf(x)”=Iimf(x)”(n∈M)limg(r)(2)復合函數(shù)的極限:{imf(