安徽省銅陵市第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

安徽省銅陵市第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合則

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C2.“是真命題”是“為假命題”的(

)A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A略3.函數(shù)的反函數(shù)是A． B．C．

D．參考答案：A略4.已知集合,則等于

（）A． B． C． D．參考答案：B5.P是雙曲線上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，且，若△F1PF2的面積是9，a+b=7，則雙曲線的離心率為（）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于(▲)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

參考答案：A略7.已知函數(shù)f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然對(duì)數(shù)的底）與g（x）=3lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[0，e3﹣4] B．[0，+2] C．[+2，e3﹣4] D．[e3﹣4，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】根據(jù)題意，可以將原問題轉(zhuǎn)化為方程a+1=x3﹣31nx在區(qū)間[，e]上有解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x3﹣31nx，利用導(dǎo)數(shù)分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，進(jìn)而分析可得方程a+1=x3﹣31nx在區(qū)間[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然對(duì)數(shù)的底）與g（x）=3lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在區(qū)間[，e]上有解，﹣x3+1+a=﹣3lnx?a+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在區(qū)間[，e]上有解，設(shè)函數(shù)g（x）=x3﹣31nx，其導(dǎo)數(shù)g′（x）=3x2﹣=，又由x∈[，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的極值點(diǎn)，分析可得：當(dāng)≤x≤1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，當(dāng)1≤x≤e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，故函數(shù)g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，又由g（）=+3，g（e）=e3﹣3；比較可得：g（）＜g（e），故函數(shù)g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，故函數(shù)g（x）=x3﹣31nx在區(qū)間[，e]上的值域?yàn)閇1，e3﹣3]；若方程a+1=x3﹣31nx在區(qū)間[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，則有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范圍是[0，e3﹣4]；故選：A．8.下列命題中正確的是（

）A.若為真命題，則為真命題.B.“”是“”的充要條件.C.命題“，則或”的逆否命題為“若或，則”.D.命題p：，使得，則：，使得.

參考答案：B對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)真時(shí)，可能一真一假，故可能是假命題，故A選項(xiàng)為假命題.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式和充要條件的知識(shí)可知，B選項(xiàng)為真命題.對(duì)于C選項(xiàng)，原命題的逆否命題為“若且，則”，故C選項(xiàng)為假命題.對(duì)于D選項(xiàng)，原命題為特稱命題，其否定是全稱命題，要注意否定結(jié)論，即：，使得.綜上所述，本小題選B.

9.已知點(diǎn)A（2，0），B（3，2），向量，若，則為（）A． B． C． D．4參考答案：A【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積求出λ的值，再求其模即可．【解答】解：，，故選A．10.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和，若，則的值為_____________.參考答案：3略12.設(shè)向量=（﹣1，﹣3），=（2sinθ，2），若A、B、C三點(diǎn)共線，則cos2θ=．參考答案：【考點(diǎn)】二倍角的正弦；平行向量與共線向量．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；三角函數(shù)的求值；平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量共線定理，列出方程，求解即可．【解答】解：向量=（﹣1，﹣3），=（2sinθ，2），若A、B、C三點(diǎn)共線，∴﹣6sinθ=﹣2，∴sin，cos2θ=1﹣2sin2θ=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查為二倍角公式的應(yīng)用，向量共線的充要條件，考查計(jì)算能力．13.設(shè)定義在上的奇函數(shù)滿足,若,則

.參考答案：14.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則它的解析式為_

_。參考答案：略15.設(shè)函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，則x1x2+x2x3+x1x3=．參考答案：3﹣a4【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】設(shè)f（x）=t，根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象得出方程f（x）=t的根的個(gè)數(shù)，從而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三個(gè)解，得出答案．【解答】解：不妨設(shè)a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：設(shè)f（x）=t，由圖象可知：當(dāng)t=1時(shí)，方程f（x）=t有3解，當(dāng)t≠1時(shí)，方程f（x）=t有2解，∵函數(shù)g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個(gè)零點(diǎn)，∴關(guān)于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三個(gè)解，不妨設(shè)x1＜x2＜x3，則x2=1，令loga|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案為：3﹣a4．16.若命題“?x∈R，|x﹣2|＞kx+1”為真，則k的取值范圍是．參考答案：[﹣1，﹣）【考點(diǎn)】全稱命題．【專題】綜合題；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】作出y=|x﹣2|，y=kx+1的圖象，結(jié)合圖象可知k的取值范圍．【解答】解：作出y=|x﹣2|，y=kx+1的圖象，如圖所示，直線y=kx+1恒過定點(diǎn)（0，1），結(jié)合圖象可知k∈[﹣1，﹣）．故答案為：[﹣1，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全稱命題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，比較基礎(chǔ)．17.設(shè)為正整數(shù)，，計(jì)算得，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)一般結(jié)論為：

；參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過傾斜角為的直線與該橢圓相交于，兩點(diǎn)，且.（Ⅰ）求該橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)滿足，求該橢圓的方程.參考答案：19.在如圖的幾何體中，平面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（1）求證：AC⊥平面FBC；（2）求直線BF與平面ADE所成角的正弦值．參考答案：考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用．分析：（1）證明1：由余弦定理得，所以AC⊥BC，由此能夠證明AC⊥平面FBC．證明2：設(shè)∠BAC=α，∠ACB=120°﹣α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面FBC．（2）解法1：由（1）結(jié)合已知條件推導(dǎo)出AC⊥FC．由平面CDEF為正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．解法2：由題設(shè)條件推導(dǎo)出CA，CB，CF兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．解答：（1）證明1：因?yàn)锳B=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2BC）2+BC2﹣2×2BC?BC?cos60°，即．…（2分）所以AC2+BC2=AB2．所以AC⊥BC．…（3分）因?yàn)锳C⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）證明2：因?yàn)椤螦BC=60°，設(shè)∠BAC=α（0°＜α＜120°），則∠ACB=120°﹣α．在△ABC中，由正弦定理，得．…（1分）因?yàn)锳B=2BC，所以sin（120°﹣α）=2sinα．整理得，所以α=30°．…（2分）所以AC⊥BC．…（3分）因?yàn)锳C⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC，所以AC⊥FC．因?yàn)槠矫鍯DEF為正方形，所以CD⊥FC．因?yàn)锳C∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MD，ME，因?yàn)锳BCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，所以MD=MA=AD．所以△MAD是等邊三角形，且ME∥BF．…（7分）取AD的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，NE，則MN⊥AD．…（8分）因?yàn)镸N?平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．因?yàn)锳D∩ED=D，所以MN⊥平面ADE．…（9分）所以∠MEN為直線BF與平面ADE所成角．…（10分）因?yàn)镹E?平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）因?yàn)?，，…?2分）在Rt△MNE中，．…（13分）所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為．…（14分）解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC，所以AC⊥FC．因?yàn)槠矫鍯DEF為正方形，所以CD⊥FC．因?yàn)锳C∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）所以CA，CB，CF兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．…（7分）因?yàn)锳BCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°所以CB=CD=CF．不妨設(shè)BC=1，則B（0，1，0），F(xiàn)（0，0，1），，，，所以，，．…（9分）設(shè)平面ADE的法向量為=（x，y，z），則有即取x=1，得=是平面ADE的一個(gè)法向量．…（11分）設(shè)直線BF與平面ADE所成的角為θ，則．…（13分）所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為．…（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．20.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，垂直于底面，分別為的中點(diǎn)．

（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離．參考答案：解：（1）因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，PA=AB，

所以AN⊥PB,因?yàn)锳D⊥面PAB，所以AD⊥PB,又因?yàn)锳D∩AN=A

從而PB⊥平面ADMN,因?yàn)槠矫鍭DMN，

所以PB⊥DM.(2)連接AC，過B作BH⊥AC，因?yàn)椤偷酌妫?/p>

所以平面PAB⊥底面，所以BH是點(diǎn)B到平面PAC的距離.在直角三角形ABC中，BH＝

略21.2010年世博會(huì)在上海召開，某商場(chǎng)預(yù)計(jì)2010年從1月起前x個(gè)月顧客對(duì)某種世博商品的需求總量P(x)件與月份x的近似關(guān)系是：≤12且(Ⅰ）寫出第x月的需求量的表達(dá)式；(Ⅱ）若第x月的銷售量（單位：件），每件利潤(rùn)元與月份x的近似關(guān)系為：，求該商場(chǎng)銷售該商品，預(yù)計(jì)第幾月的月利潤(rùn)達(dá)到最大值？月利潤(rùn)最大值是多少？參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

；

∴

(2），

；∵當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)且時(shí)，；∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)且時(shí)，；綜上，預(yù)計(jì)第6個(gè)月的月利潤(rùn)達(dá)到最大，最大月利潤(rùn)為3000元22.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC＝60°，為正三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD，E為線段AB的中點(diǎn)，M在線段PD上.（I）當(dāng)M是線段PD的中點(diǎn)時(shí)，求證：PB//平面ACM；（II）是否存在點(diǎn)M，使二面角的大小為60°，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：（I）證明：連接BD交AC于H點(diǎn)，連接MH，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以點(diǎn)H為BD的中點(diǎn).

又因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MH//BP.又