5 1全稱量詞與存在

1.5

全稱量詞與存在量詞1.5.1

全稱量詞與存在量詞成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群3500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過期核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞、存在量詞和全稱量詞命題、存在量詞命題的意義.2.掌握判斷全稱量詞命題和存在量詞命題真假的基本原則和方法.1.通過對(duì)全稱量詞與存在量詞、全稱量詞命題和存在量詞命題等概念的學(xué)習(xí),發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.通過判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假,增強(qiáng)邏輯推理的核心素養(yǎng).知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪情境導(dǎo)入在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師,他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發(fā)技藝十分高超,譽(yù)滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉.我對(duì)各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕,自然都是那些不給自己刮臉的人.可是,有一天,這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長(zhǎng)了,他本能地抓起了剃刀,你們說他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”,他就要給自己刮臉,而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉.這就是著名的

“羅素理發(fā)師悖論”問題.探究1:文中理發(fā)師說:“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉”.對(duì)“所有”這一詞語,你還能用其他詞語代替嗎?提示:“任意一個(gè)”“一切”“每一個(gè)”“任給”“凡是”等.探究2:上述詞語都有什么含義?提示:表示某個(gè)范圍內(nèi)的整體或全部.知識(shí)探究1.全稱量詞與全稱量詞命題[問題1]觀察下面的兩個(gè)語句,思考并回答下列問題:下面的兩個(gè)語句都是命題嗎?兩者之間有什么關(guān)系?P:x≤3;

Q:對(duì)所有的x∈R,x≤3.提示:語句P無法判斷真假,不是命題;語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“所有的”,可以判斷真假,是命題.語句P是命題Q中的一部分.梳理1 全稱量詞與全稱量詞命題定義短語“所有的

”“

任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞符號(hào)表示?

.定義含有

全稱

量詞的命題,叫做全稱量詞命題一般形式對(duì)M中

任意一個(gè)

x,p(x)成立符號(hào)表示

?x∈M

,p(x)2.存在量詞與存在量詞命題[問題2-1]觀察語句①②:①存在一個(gè)x∈R,使3x+1=5;②至少有一個(gè)x∈Z,x能被2和3整除.①②是命題嗎?若是命題,判斷其真假.提示:是,都為真命題.[問題2-2]你能寫出一些與[問題2-1]中具有相同意義的詞語嗎?提示:某些,有的,有些.梳理2 存在量詞與存在量詞命題存在量詞定義短語“

存在一個(gè)

至少有一個(gè)

”“

”在邏輯中通常叫做存在量詞符號(hào)表示?

.存在量詞命題定義含有

存在

量詞的命題,叫做存在量詞命題一般形式存在

M中的元素x,p(x)成立符號(hào)表示?x∈M

,p(x)B)小試身手

1.下列命題是存在量詞命題的是(

(A)任意給定實(shí)數(shù)x,x2≥0

(B)存在有理數(shù)x,使得3x-2=0(C)每一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式

(D)所有的自然數(shù)都大于或等于零)2.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(

(A)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開口向上

(B)存在一條直線與已知直線不平行

(C)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若a-b≤0,則a≤b

(D)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使等式x2-2x+1=0成立解析:選項(xiàng)B,D是存在量詞命題,故應(yīng)排除;對(duì)于A,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象開口向下,也應(yīng)排除,故應(yīng)選C.C3.(教材

P28

練習(xí)

T1、T2

改編)下列命題中是假命題的是

.(1)?x∈R,2x2-3x>0;?x∈{1,3,0},2x+1>0;?x∈N,使√??≤x;?x∈N*,使x為29的約數(shù).解析:因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),2x2-3x=0,故(1)是假命題,易知(2),(3),(4)均為真命題.答案:(1)答案:{a|-8≤a≤0}當(dāng)a≠0時(shí),依題意知???

<

??,??

=

????

+

????

≤

??,解得-8≤a<0.綜上可知-8≤a≤0.4.若命題“任意x∈R,ax2

-ax-2≤0”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.解析:當(dāng)a=0時(shí),不等式顯然成立.課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一 全稱量詞命題與存在量詞命題的判定[例1]判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題:

(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)a不能有平方根;

(2)所有不等式的解集A,都滿足A?R;

(3)不相交的兩條直線是平行直線;解:(1)中因?yàn)楹写嬖诹吭~“有一個(gè)”,所以命題(1)為存在量詞命題.(2)含有全稱量詞,所以(2)為全稱量詞命題.

(3)可以改寫為“所有不相交的兩條直線是平行直線”,因此是全稱量詞命題.(4)銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角;

(5)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù).解:(4)省略了“所有”,因此“銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角”是全稱量詞命題.

(5)省略了全稱量詞“所有”或“都”,是全稱量詞命題.即時(shí)訓(xùn)練1-1:判斷下列語句是全稱量詞命題,還是存在量詞命題.①凸多邊形的外角和等于360°;②矩形的對(duì)角線不相等;③若一個(gè)四邊形是菱形,則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直;解:①可以改為“所有的凸多邊形的外角和等于360°”,故為全稱量詞命題.②可以改為“所有矩形的對(duì)角線不相等”,故為全稱量詞命題.③若一個(gè)四邊形是菱形,也就是所有的菱形,故為全稱量詞命題.④有些實(shí)數(shù)a,b能使|a-b|=|a|+|b|;⑤方程3x-2y=10有整數(shù)解.解:④含存在量詞“有些”,故為存在量詞命題.⑤可改寫為“存在一對(duì)整數(shù)x,y,使3x-2y=10成立”.故為存在量詞命題.方法總結(jié)(1)判斷一個(gè)命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題,關(guān)鍵看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞.

(2)要注意有些全稱量詞命題并不含全稱量詞,這時(shí)要根據(jù)命題涉及的意義去添補(bǔ)量詞再判斷,對(duì)于同一個(gè)全稱量詞命題或存在量詞命題的表述方法可能不同.易錯(cuò)警示全稱量詞命題可能省略全稱量詞,存在量詞命題的存在量詞一般不能省略.探究點(diǎn)二 全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷[例

2]

判斷下列命題的真假:(1)?x∈R,x2+1>0;(2)?x∈N,√??≥1;解:(1)由于?x∈R,都有x2≥0,因而有x2+1≥1>0.因此命題“?x∈R,x2+1>0”是真命題.(2)由于0∈N,而且當(dāng)x=0時(shí),√??≥1不成立.因此命題“?x∈N,√??≥1”是假命題.(3)?x∈Z,x3<1;(4)?x∈Q,x2=3.解:(3)由于-1∈Z,而且當(dāng)x=-1時(shí),有(-1)3<1.因此命題“?x∈Z,x3<1”是真命題.(4)由于使x2=3成立的數(shù)只有√??和-√??,而它們都不是有理數(shù),因而沒有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3.因此命題“?x∈Q,x2=3”是假命題.解析:對(duì)A,由于?x∈R,都有|x|≥0,所以命題“?x∈R,|x|>0”是假命題.對(duì)B,由于0∈N,所以命題“?x∈N,x≥1”是假命題.對(duì)C,由于-1∈Z,且當(dāng)x=-1時(shí),x3<1成立,所以命題“?x∈Z,x3<1”是真命題.對(duì)D,由于0∈Q,且√??=0,所以命題“?x∈Q,√??≤0”是真命題.故選CD.即時(shí)訓(xùn)練2-1:(多選題)下面的命題中是真命題的是()(A)?x∈R,|x|>0(C)?x∈Z,x3<1(B)?x∈N,x≥1(D)?x∈Q,√??≤0方法總結(jié)全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判定的技巧

(1)全稱量詞命題的真假判定要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證

p(x)成立;但要判定全稱量詞命題是假命題,只需舉出集合M中的一個(gè)x,使得p(x)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”).

(2)存在量詞命題的真假判定要判定一個(gè)存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個(gè)x,使p(x)成立即可;否則,這一存在量詞命題就是假命題.探究點(diǎn)三 由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)[例3]已知命題p:?x∈R,x2+x+2-a<0,且p為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:因?yàn)槊}p為真命題,且二次函數(shù)y=x2+x+2-a的圖象是開口向上的拋物線,所以該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn),所以二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)根,??所以Δ=1-4(2-a)>0,解得a>??,??即實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a>??}.[變式訓(xùn)練3-1]將本例中的條件改為“?x∈R,x2+x+2-a=0”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:因?yàn)閜為真命題,所以方程x2+x+2-a=0有實(shí)根,則Δ=1-4(2-a)≥0,??解得a≥??,??即實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥??}.[變式訓(xùn)練3-2]將本例中的條件改為“?x∈R,x2+x+2-a>0”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:法一

因?yàn)?/p>

p

為真命題,則函數(shù)

y=x2+x+2-a

的圖象恒在

x

軸上方,又x2+x+2-a=(x+??)2+??-a,則??-a>0,故

a<??,??

??

??

??即實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a<??}??法二

由于?x∈R,x2+x+2-a>0

恒成立,??則Δ=1-4(2-a)<0,解得a<??,??即實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a<??}.即時(shí)訓(xùn)練3-1:若對(duì)任意x>3,有x>a恒成立,則a的取值范圍是

.解析:由于對(duì)任意x>3,有x>a恒成立,即大于3的數(shù)恒大于a,所以a≤3.答案:{a|a≤3}即時(shí)訓(xùn)練3-2:“存在x∈{x|x≤a},x2

=1”是假命題,則a的取值范圍是

.解析:依題意x2=1在集合{x|x≤a}內(nèi)無解,因此結(jié)合x2=1的解為-1和1知,這兩個(gè)元素不在集合{x|x≤a}內(nèi),故a<-1.答案:{a|a<-1}方法總結(jié)利用含量詞的命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧

(1)含參數(shù)的全稱量詞命題為真時(shí),常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來處理,最終通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.(2)含參數(shù)的存在量詞命題為真時(shí),常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解的問題來處理,最終借助根的判別式或函數(shù)等相關(guān)知識(shí)獲得解決.備用例題[例1]用量詞符號(hào)“?”“?”表述下列命題.(1)所有實(shí)數(shù)x都能使x2+x+1>0成立;

(2)對(duì)所有實(shí)數(shù)a,b,方程ax+b=0恰有一個(gè)解;(3)有些整數(shù)既能被2整除,又能被3整除;(4)某個(gè)四邊形不是平行四邊形.解:(1)?x∈R,x2+x+1>0.(2)?a,b∈R,ax+b=0恰有一個(gè)解.

(3)?x∈Z,x既能被2整除,又能被3整除.

(4)?x∈{四邊形},x不是平行四邊形.[例2]判斷下列命題的真假.

(1)?x,y為正實(shí)數(shù),使x2+y2=0;

(2)存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形;(3)在平面直角坐標(biāo)系中,任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P;(4)存在兩個(gè)無理數(shù),它們的乘積是有理數(shù).解:(1)由于x2+y2=0時(shí),x=y=0,因此不存在正實(shí)數(shù)x,y使x2+y2=0,故為假命題.(2)真命題,如梯形.

(3)由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知,它是真命題.(4)由于x=√??+1,y=√??-1時(shí),xy=(√??+1)(√??-1)=2,因此是真命題.[例3]若“?x∈{x|x≥a},x2≥1”是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:因?yàn)閤2≥1,所以x≥1或x≤-1.又x∈{x|x≥a},則{x|x≥a}?{x|x≥1}.故a≥1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥1}.??[例4]已知命題“?x∈R,2x2+(a-1)x+??≤0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.??解析:由題意可得“對(duì)?x∈R,2x2+(a-1)x+??>0恒成