第21講多邊形與平行四邊形

第21講多邊形與平行四邊形1．多邊形和正多邊形的概念及性質(zhì)多邊形

(n≥3)概念在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形內(nèi)角和外角和360°對(duì)角線

(n－2)·180°

條n（n－3）2正多邊形(n≥3)概念各條邊都相等，且各內(nèi)角都相等的多邊形叫做正多邊形性質(zhì)正多邊形的各邊相等，各角相等；（n－2）·180°正

n

邊形的每一內(nèi)角為

n正n

邊形有n

條對(duì)稱(chēng)軸；正n

邊形有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，它們是同心圓；對(duì)于正n

邊形，當(dāng)n

為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；當(dāng)n

為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形2.平行四邊形的性質(zhì)以及判定(1)性質(zhì)：文字描述字母表示(1)兩組對(duì)邊分別

平行AB∥CD，

AD∥BC(2)兩組對(duì)邊分別

AB＝CD，

AD＝BC相等(3)兩組對(duì)角分別

∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC(4)對(duì)角線互相

相等AO＝CO，

DO＝BO(5)平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的平分對(duì)稱(chēng)中心文字描述字母表示(1)有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形∵AB∥CD,

AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形(2)有兩組對(duì)邊分別

的四邊形是平行四相邊等形∵AB＝CD,

AD＝BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形(3)有一組對(duì)邊

的四邊形是平行四邊形∵AB∥CD，AB＝CD∴四邊形ABCD是平行四邊形平行且相等(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形∵∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC∴四邊形ABCD是平行四邊形(5)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵AO＝CO,

BO＝DO∴四邊形ABCD是平行四邊形1．利用平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算的一般思路為：運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角度或線段之間的等量關(guān)系：①對(duì)邊平行可得相等的角，進(jìn)而可得相似三角形；②對(duì)邊相等、對(duì)角線互相平分可得相等的線段；③當(dāng)有角平分線的條件時(shí)，可利用“平行＋角平分線可得等腰三角形”的結(jié)論得到等角、等邊．找到所求線段或角所在的三角形，若三角形為特殊三角形，則注意運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)求解；若三角形為任意三角形，可以利用某兩個(gè)三角形全等或相似的性質(zhì)進(jìn)行求解，有時(shí)還可利用三角形的中位線等知識(shí)求解．2．在判定四邊形為平行四邊形時(shí)，關(guān)鍵是選擇判定的方法．可以從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面加以分析：(1)若已知一組對(duì)邊相等，則需證這組對(duì)邊平行或者另外一組對(duì)邊相等；若已知一組對(duì)邊平行，則需證明這組對(duì)邊相等或者另外一組對(duì)邊平行；

(2)若已知一組對(duì)角相等，則需證另一組對(duì)角相等；(3)若已知一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線，則需證對(duì)角線互相平分．3．四種常用的輔助線(1)常用連對(duì)角線的方法把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題；

(2)有平行線時(shí)，常作平行線構(gòu)造平行四邊形；(3)有中線時(shí)，常作加倍中線構(gòu)造平行四邊形；(4)圖形具有等鄰邊特征時(shí)(如：等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等)，可以通過(guò)引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置．命題點(diǎn)1：多邊形內(nèi)角與外角1．(2017·臨沂)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是(

)A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形C命題點(diǎn)2：平行四邊形的性質(zhì)2．(2017·麗水)如圖，在?ABCD

中，連接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，則

BC

的長(zhǎng)是(

C

)A.

2

B．2

C．2

2

D．4A．6

B．12

C．18

D．243．(2017·貴陽(yáng))如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，若△CED的周長(zhǎng)為6，則?ABCD的周長(zhǎng)為(

B

)4．(2017·武漢)如圖，在?ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分線AE

交DC

于點(diǎn)E

，連接BE.

若AE

＝

AB

，則∠EBC

的度數(shù)為 30°

．命題點(diǎn)3：平行四邊形的判定5．(2017·孝感)如圖，六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，∠DAB＝60°，AB＝DE，則下列結(jié)論成立的個(gè)數(shù)是(①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF＝CD；④四邊形ACDF是平行四邊形；⑤六邊形ABCDEF既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形．A．2

B．3

C．4

D．5D

)多邊形及其性質(zhì)【例1】

(1)(2017·烏魯木齊)如果n邊形每一個(gè)內(nèi)角等于與它相鄰?fù)饨堑?倍，則n的值是(

)A．4

B．5

C．6

D．7(2)(2017·萊蕪)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180°，則該多邊形對(duì)角線的條數(shù)是(

)A．12

B．13

C．14

D．15CC(3)(2017·宜昌)如圖，將一張四邊形紙片沿直線剪開(kāi)，如果剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形的內(nèi)角和相等，下列四種剪法中，符合要求的是(

B

)A．①②

B．①③

C．②④

D．③④【點(diǎn)評(píng)】(1)任何多邊形的外角和都等于360°，多邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°；(2)設(shè)出題中所求的兩個(gè)未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解，再進(jìn)一步代入多邊形的對(duì)角線計(jì)算公式

n（n－3）2即可解答．(3)①剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形是四邊形，它們的內(nèi)角和都是360°，③剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形是三角形，它們的內(nèi)角和都是180°；①③剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形的內(nèi)角和相等．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]1．(1)(2017·廣東)一個(gè)n邊形的內(nèi)角和是720°，則n＝

．(2)(2016·河北)已知n邊形的內(nèi)角和θ＝(n－2)×180°.①甲同學(xué)說(shuō)，θ能取360°；而乙同學(xué)說(shuō)，θ也能取630°.甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n；若不對(duì)，說(shuō)明理由；②若n邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x.解：①∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3…90°，∴甲的說(shuō)法對(duì)，乙的說(shuō)法不對(duì)，360°÷180°＋2＝2＋2＝4，故甲同學(xué)說(shuō)的邊數(shù)n是4；②依題意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2，故x的值是2.6平行四邊形的性質(zhì)【例2】

(2017·無(wú)錫)如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連DE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AB＝BF.證明：∵E

是BC

的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∵四邊形ABCD

是平行四邊形∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCB＝∠FBE，在△CED

和△BEF

中，∠DCB＝∠FBE，CE＝BE，∠CED＝∠BEF，∴△CED≌△BEF(ASA)，∴CD＝BF，∴AB＝BF【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)邊平行，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，對(duì)角線互相平分，利用這些性質(zhì)可以解決與平行四邊形相關(guān)的問(wèn)題，也可將四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]2．(1)(2017·常州)如圖，已知?ABCD

的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，連接

AC，若

EF＝2，F(xiàn)G＝GC＝5，則

AC

的長(zhǎng)是(

B

)A．12

B．13

C．6

5

D．8

3(2)(2017·菏澤)如圖，E是?ABCD的邊AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于F，若CD＝6，求BF的長(zhǎng)．解：∵E

是?ABCD

的邊AD

的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AB＝CD＝6，AB∥CD，∴∠F＝∠DCE，在△AEF

和∠F＝∠DCE，△DEC

中，∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD＝AE＝DE，6，∴BF＝AB＋AF＝12【例3】

(2017·咸寧)如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.求證：△ABC≌△DFE；連接AF，BD，求證：四邊形ABDF是平行四邊形．平行四邊形的判定AB＝DF，解：(1)∵BE＝FC，∴BC＝EF，在△ABC

和△DFE

中，AC＝DE，∴BC＝EF，△ABC

≌△DFE(SSS)

(2)連接AF

，BD

，如圖所示：由(1)知△ABC≌△DFE，∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∵AB＝DF，∴四邊形ABDF

是平行四邊形【點(diǎn)評(píng)】探索平行四邊形成立的條件，有多種方法判定平行四邊形：①若條件中涉及角，考慮用“兩組對(duì)角分別相等”或“兩組對(duì)邊分別平行”來(lái)證明；②若條件中涉及對(duì)角線，考慮用“對(duì)角線互相平分”來(lái)證明；③若條件中涉及邊，考慮用“兩組對(duì)邊分別平行”或“一組對(duì)邊平行且相等”來(lái)證明，也可以巧添輔助線，構(gòu)建平行四邊形．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)：65244025)(2016·鄂州)如圖，?ABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，過(guò)A、C兩點(diǎn)作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AE，CF分別交CD，AB于點(diǎn)M，N.(1)求證：四邊形CMAN是平行四邊形；

(2)已知DE＝4，F(xiàn)N＝3，求BN的長(zhǎng)．解：(1)∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四邊形AMCN

是平行四邊形(2)∵四邊形AMCN

是平行四邊形，∴CM＝AN，∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴DM＝BN，∠MDE＝∠MDE＝∠NBF，∠NBF，在△MDE

和△NBF

中，∠DEM＝∠NFB＝90°，∴△MDEDM＝BN，≌△NBF(AAS)，∴ME＝NF＝3，在Rt△DME

中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，∴DM＝

DE2＋ME2＝

32＋42＝5，∴BN＝DM＝521.不可將未加證明的條件作為已知條件或推理依據(jù)試題 如圖，已知六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角均為120°，CD＝10

cm，BC＝8

cm，AB＝8

cm，AF＝5

cm，求此六邊形的周長(zhǎng)．錯(cuò)解解：如圖，連接EB，DA，F(xiàn)C，分別交于點(diǎn)M，N，P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°，∴△DEM是等邊三角形．同理，△MAB，△NFA也是等邊三角形．∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN.∴四邊形EDNF是平行四邊形．同理，四邊形EMAF也是平行四邊形，∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8.∴六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm)．剖析上述解法最根本的錯(cuò)誤在于多邊形的對(duì)角線不是角平分線，從證明的一開(kāi)始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的這個(gè)結(jié)論就是錯(cuò)誤