高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)規(guī)范練24解三角形（含解析）新人教A版（理）

考點(diǎn)規(guī)范練24解三角形基礎(chǔ)鞏固1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,則c=()A.12 B.1 C.3答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.2.在△ABC中,已知acosA=bcosB,則△ABC的形狀是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案:D解析:∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.故選D.3.在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,a=1,ccosA+acosC=2bcosB,△ABC的面積S=3,則b等于()A.13 B.4 C.3 D答案:A解析:由題意可得,2sinBcosB=sinC·cosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∴cosB=12,∴B=又S=12ac·sinB=12×1×c×32又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×12∴b=134.如圖,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A.30° B.45°C.60° D.75°答案:B解析:依題意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.5.在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosA+acosB=c2,a=b=2,則△ABC的周長為()A.7.5 B.7 C.6 D.5答案:D解析:∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×b2+c2-a22bc+a×解得c=1,則△ABC的周長為a+b+c=2+2+1=5.故選D.6.設(shè)△ABC的三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,則這個三角形的形狀是()A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形答案:D解析:∵△ABC的三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,∴B=π∵sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,∴sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ3∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c.∴△ABC為等邊三角形.7.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,則△ABC的面積為.答案:63解析:∵b2=a2+c2-2accosB,∴(2c)2+c2-2×2c×c×12=6即3c2=36,解得c=23或c=-23(舍去).∴a=2c=43∴S△ABC=12acsinB=12×43×28.(2020全國Ⅰ,理16)如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=.

答案:-1解析:由題意得BD=2AB=6,BC=AC2+∵D,E,F重合于一點(diǎn)P,∴AE=AD=3,BF=BD=6,∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+(3)2-2×1×3cos30°=1,∴CE=CF=1.∴在△BCF中,由余弦定理,得cos∠FCB=BC2+9.如圖,為了測量兩山頂D,C間的距離,飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測量,在A位置時,觀察D點(diǎn)的俯角為75°,觀察C點(diǎn)的俯角為30°;在B位置時,觀察D點(diǎn)的俯角為45°,觀察C點(diǎn)的俯角為60°,且AB=3km,則C,D之間的距離為.

答案:5km解析:在△ABD中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°,由正弦定理可得ABsin即3sin60∴AD=3sin45由題意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,∴BC=AB=3km,∴AC=3km,在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADsin∠DAC=5,即CD=5km.10.已知島A南偏西38°方向,距島A3nmile的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10nmile/h的速度向島北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5h能截住該走私船?參考數(shù)據(jù):解:設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上的一點(diǎn),緝私艇的速度為xnmile/h,則BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依題意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故緝私艇以14nmile/h的速度向正北方向行駛,恰好用0.5h截住該走私船.能力提升11.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若b2+c2-a2=3bc,且b=3a,則下列關(guān)系一定不成立的是()A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2答案:B解析:∵b2+c2-a2=3bc,∴cosA=b2+c2-∵b=3a,∴sinB=3sinA=32∴B=60°或B=120°.當(dāng)B=60°時,C=90°,此時△ABC為直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;當(dāng)B=120°時,C=30°,此時△ABC為等腰三角形,得到a=c;故選B.12.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2a-cb=cosCcosA.43 B.23 C.2 D.答案:A解析:∵在△ABC中,2a∴(2a-c)cosB=bcosC.∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∴cosB=12,即B=由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號,因此,△ABC的面積S=12acsinB=34ac≤4313.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,如果△ABC的面積等于8,a=5,tanB=-43,那么a+b+答案:5解析:在△ABC中,∵tanB=-43∴sinB=45,cosB=-又S△ABC=12acsinB=2c=8,∴c=∴b=a∴14.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinA+C2=bsinA(1)求B;(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.解:(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsinA+C2=sinB因?yàn)閟inA≠0,所以sinA+C2=由A+B+C=180°,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2因?yàn)閏osB2≠0,故sinB2=(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC=34a由正弦定理得a=c由于△ABC為銳角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故12<a<2,從而38<S△ABC因此,△ABC面積的取值范圍是3高考預(yù)測15.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,