高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何單元綜合測試卷新人教A版選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何單元綜合測試卷一、單選題1．兩個不同平面，的法向量分別為非零向量，，兩條不同直線，的方向向量分別為非零向量，，則下列敘述不正確的是（

）A．的充要條件為B．的充要條件為C．的充要條件為存在實數(shù)使得D．的充要條件為【答案】D【解析】【分析】依據(jù)面面垂直的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項A；依據(jù)線線垂直的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項B；依據(jù)面面平行的定義及數(shù)乘向量的幾何意義判斷選項C；依據(jù)線面平行的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項D.【詳解】選項A：.判斷正確；選項B：.判斷正確；選項C：存在實數(shù)使得.判斷正確；選項D：若，則有；若，則有或，則是的充分不必要條件.判斷錯誤.故選：D2．以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】B【解析】【分析】利用共面向量的基本定理逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，設(shè)，所以，，無解；對于B選項，因為，故B選項中的三個向量共面；對于C選項，設(shè)，所以，，無解；對于D選項，設(shè)，所以，，矛盾.故選：B.3．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共面定理即可求解．【詳解】解：對A：，故A選項中向量共面；對B：，故B選項中向量共面；對D：，故D選項中向量共面；假設(shè)，，共面，則存在實數(shù)使得，則共面，與已知矛盾，故C選項中向量不共面；故選：C.4．在四面體中，，，，點在上，且，是的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算可得出關(guān)于、的表達式，再利用可求得結(jié)果.【詳解】由已知，所以，，故選：D.5．已知，，三點不共線，為平面外一點，下列條件中能確定，，，四點共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點與點共面，可得，驗證選項，即可得到答案.【詳解】設(shè)，若點與點共面，則，對于選項A：，不滿足題意；對于選項B：，不滿足題意；對于選項C：，不滿足題意；對于選項D：，滿足題意.故選：D.6．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由向量線性運算得，利用數(shù)量積的定義和運算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.7．如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（

）A．異面直線與所成的角為B．二面角的正切值為C．直線與平面所成的角為D．四面體的外接球體積為【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角，二面角及線面角，判斷ABC選項，D選項，四面體的外接球即為正方體的外接球，從而求出外接球半徑和體積.【詳解】以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，A選項，設(shè)異面直線與所成的角為，則，故異面直線與所成的角為，A正確；B選項，設(shè)平面的法向量為，則有，令得：，則，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，顯然為銳角，則，所以，，故二面角的正切值為，B正確；C選項，設(shè)平面的法向量為，則令，則，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，則，C錯誤；D選項，四面體的外接球即為正方體的外接球，設(shè)外接球半徑為R，則，則外接球體積為，D正確.故選：C8．已知四面體的所有棱長均為，分別為棱的中點，為棱上異于的動點．有下列結(jié)論：①線段的長度為；

②點到面的距離范圍為；③周長的最小值為；

④的余弦值的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作平面，垂足為，取中點，利用長度關(guān)系可求得，利用勾股定理可知①正確；在上取點，使得，以為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，可表示出，利用點到平面距離的向量求法可表示出，令，可得，由此確定②正確；將等邊三角形與沿展開，可知，由此可知③正確；設(shè)為中點，若點在線段上，設(shè)，利用余弦定理表示出，可知當(dāng)時，；當(dāng)時，，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可求得的范圍，知④正確.【詳解】四面體所有棱長均為，四面體為正四面體；對于①，作平面，垂足為，四面體為正四面體，為的中心，且；取中點，連接，則，且平面；，，；平面，平面，，，①正確；對于②，在上取點，使得，則，，則以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，點到平面的距離，令，則，，，，即點到平面的距離的取值范圍為，②正確；對于③，將等邊三角形與沿展開，可得展開圖如下圖所示，則（當(dāng)且僅當(dāng)為中點時取等號），四邊形為菱形，分別為中點，，，則在四面體中，周長的最小值為，③正確；對于④，設(shè)為中點，若點在線段上，設(shè)，則，其中，在中，；在中，同理可得：，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，；的取值范圍為；同理可得：當(dāng)在線段上時，的取值范圍為；綜上所述：的余弦值的取值范圍為，④正確.故選：D.二、多選題9．給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，分別是平面，的法向量，則B．若，分別是平面，的法向量，則C．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則D．若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平面的法向量與平面的關(guān)系依次判斷即可得出答案.【詳解】對A，若，分別是平面，的法向量，則，故A正確B錯誤；對C，若是平面的法向量，則與平面的任意直線的方向向量均垂直，所以，故C正確；對D，若兩個平面垂直時，它們的法向量垂直是真命題，所以它的逆否命題“若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直”也是真命題，故D正確.故選：ACD.10．如圖，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為MC的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面BCE⊥平面ABN B．MC⊥ANC．平面CMN⊥平面AMN D．平面BDE∥平面AMN【答案】ABD【解析】【分析】在A中，推導(dǎo)出，，從而平面，進而平面平面；在B中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出；在C中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法推導(dǎo)出平面與平面不垂直；在D中，求出平面的法向量，利用向量法能推導(dǎo)出平面平面．【詳解】解：在A中，四邊形是邊長為1的正方形，，平面，平面，，,平面，，平面，平面，平面平面，故A正確；在B中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，1，，，1，，，0，，，0，，，0，，，0，，，，故B正確；在C中，，1，，，0，，，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，，平面與平面不垂直，故C錯誤；在D中，，1，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，平面的法向量，，，所以，平面平面，故D正確．故選：ABD．11．下列四個命題中，正確命題的有（

）A．若一向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為；B．若向量，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為；C．已知直線的方向向量為，點在上，則點到的距離為；D．若兩個不同平面，的法向量分別是，，且，，則.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意，逐項分析，結(jié)合相關(guān)公式和概念即可求解.【詳解】對于A，因為向量在基底下的坐標(biāo)為（，，），則，設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為（，，，），則，所以，解得，，，所以向量在基底，下的坐標(biāo)為.故選項A不正確；對于B，∵向量，，且與的夾角為鈍角，∴，且，解得，且，，故選項B不正確；對于C，直線的方向向量為，點在上，則點到的距離為：，故選項C正確；對于D，兩個不同平面，的法向量分別是，，且，，因為，所以，則，故選項D正確.故選：CD.12．如圖，在平行六面體中，，點分別是棱的中點，則下列說法中正確的有（

）A．B．向量共面C．D．若，則該平行六面體的高為【答案】ACD【解析】【分析】選定空間的一個基底，表示出相關(guān)向量，計算數(shù)量積判斷A；利用共面向量定理判斷B；求出正四面體的高判斷D作答.【詳解】在平行六面體中，令，不妨令，依題意，，，因點M，N分別是棱的中點，則，，則有，A正確；，若向量共面，則存在唯一實數(shù)對使得，即，而不共面，則有，顯然不成立，B不正確；由,則，故C正確.連接，依題意，，即四面體是正四面體，因此，平行六面體的高等于點到平面的距離，即正四面體的高h(yuǎn)，由知，由選項A知，，則平面，是平面的一個法向量，，，則，所以平行六面體的高為，D正確.故選：ACD三、填空題13．已知向量，滿足，，且.則在上的投影向量的坐標(biāo)為_________.【答案】【解析】【分析】對兩邊平方后得到，代入投影向量的公式進行求解即可.【詳解】兩邊平方化簡得：，①因為，所以，又，代入①得：，解得：，所以在上的投影向量坐標(biāo)為.故答案為：14．已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于1，點，分別是，的中點，則的值為_________.【答案】##【解析】【分析】如圖，在正三棱錐中，以為基底，，，利用向量數(shù)量積性質(zhì)進行計算即可得解.【詳解】根據(jù)題意為正四面體，兩兩成角，所以，，所以.故答案為：15．已知向量，若共面，則________．【答案】±1【解析】【分析】利用共面向量定理直接求解【詳解】因為向量共面,所以存在實數(shù)m、n，使得,m≠0,n≠0,即,所以，解得,所以x=±1.故答案為：±1.16．在棱長為1的正方體中，點P是對角線的動點（點P與不重合），則下列結(jié)論正確的有___________.①存在點P，使得平面平面；②存在點P，使得平面；③分別是在平面，平面上的正投影圖形的面積，對任意的點P都有；④對任意的點P，的面積都不等于.【答案】①②④【解析】【分析】當(dāng)為直線與平面的交點時，根據(jù)面面平行的判定定理即可判斷①正確；當(dāng)為直線與平面的交點時，根據(jù)線面垂直的判定定理即可判斷②；計算出的條件即可判斷③；求出△的面積的最小值即可判斷④.【詳解】對于①，如圖，因為，所以平面平面，當(dāng)直線交平面于點時，有平面平面，故①正確；對于②，如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則，，則，有，，所以，，又平面，所以平面，當(dāng)直線交平面于點時，有平面，故②正確；對于③，因為設(shè)（其中），則△在平面的正投影面積為，又△在平面上的正投影圖形的面積與在平面的正投影圖形面積相等，所以，若，則，解得或，因為，所以，故存在點，使得；故③錯誤；對于④，由于固定不變，只要找上的點到的距離最短即可，取中點，連接，由②的分析可證得平面，由平面得；又平面，平面，所以，所以為直線與的公垂線，此時△的面積最??；因為在正方體中，易知，又，所以，因此，；所以對任意點，△的面積都不等于,故④正確.故答案為：①②④四、解答題17．如圖，四棱錐中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．(1)若，，F(xiàn)為AB的中點，N為BC的中點，證明四邊形MENF為梯形；(2)若點E為PC的中點，試判斷在線段AB上是否存在一點F？使得二面角平面角為．若存在，求出的值．若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【解析】【分析】（1）首先連接，，，，，根據(jù)題意得到且，即可證明四邊形為梯形．（2）首先在平面中，過點作，交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面.以為原點，所在直線為軸，所在直線為y軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.(1)連接，，，，，如圖所示：因為，，所以，又因為，即中所以且，∵中，為的中點，為的中點所以且，所以且，即證：四邊形為梯形．(2)在線段存在一點F滿足，使得二面角平面角為．因為平面平面，平面平面，在平面中，過點作，交于.所以平面.如圖所示，以為原點，所在直線為軸，所在直線為y軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因為，設(shè)，四邊形為正方形，，所以，，，，，，平面PCD的一個法向量，所以，，設(shè)平面的一個法向量，，令，則，，，因為二面角平面角為，所以，解得，所以．18．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為上一點，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，可得空間向量，進而可根據(jù)向量垂直證明線線垂直，進而可得線面垂直.（2）求解兩個平面的法向量，根據(jù)法向量的夾角與二面角的關(guān)系即可求解.(1)證明：∵底面，，故以為原點，分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則?????，所以，，，則，，即，，又，所以平面(2)由(1)知，，，設(shè)平面AEB的一個法向量為，則，，即，令，可得，設(shè)平面的一個法向量為，則，，即，令，可得，，所以平面與平面銳二面角的大小為19．如圖，在直三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形，，．(1)求直線與直線所成角的余弦值．(2)若在線段上存在一點D，且=t，當(dāng)時，求t的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）首先由勾股定理逆定理得到，再根據(jù)直棱柱的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值；（2）依題意可得，，求出、的坐標(biāo)，依題意可得，則，即可得到方程，解得即可；(1)解：在直三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形，，．所以，所以，又平面，以點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，所以，，設(shè)直線與直線所成角為，所以，即直線與直線所成角的余弦值為；(2)解：依題意，，因為，，所以因為，則，解得，所以．20．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點，且.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求點E到平面的距離.【答案】(1)證明過程見解析；(2)；(3).【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進行計算證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可；（3）利用空間向量夾角公式，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可.(1)因為平面，平面，所以，而，因此可以建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，因為，所以，而平面，所以平面；(2)設(shè)平面的法向量為，，則有，由（1）可知平面的法向量為，所以有，由圖知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為；(3)由（2）可知：平面的法向量為，，所以可得：，所以點E到平面的距離為.21．如圖1，在直角梯形ABCD中，，，且.現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF折起，使，M為線段DE上的動點，如圖2.(1)求二面角的大?。?2)設(shè)，若AM所在直線與平面BCE相交，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】