人教A版第8章8.68.6.3平面與平面垂直(2)課件（35張）

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直(2)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進一步理解兩個平面垂直的定義．2.掌握兩個平面垂直的判定與性質(zhì)定理及其應(yīng)用．活動方案1.二面角的概念．(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面．(2)畫法：

直立式

平臥式(3)記法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－

l－Q

或P－AB－Q.活動一鞏固二面角的概念及兩個平面垂直的定義2.二面角的平面角．(1)定義：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫作二面角的平面角．(2)畫法：(3)表示方法：若O∈l，OA?α，OB?β，OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.3.平面與平面垂直．(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)畫法：(3)記作：α⊥β.思考1???如圖，建筑工人在砌墻時，常用鉛錘來檢測所砌的墻面與地面是否垂直．如果系有鉛錘的細線緊貼墻面，工人師傅就認(rèn)為墻面垂直于地面，否則他就認(rèn)為墻面不垂直于地面．這種方法說明了什么道理？活動二探究兩個平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理【解析】

這種方法告訴我們，如果墻面經(jīng)過地面的垂線，那么墻面與地面垂直．4.平面與平面垂直的判定定理：【解析】

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符號語言

圖形語言

思考2???如圖，設(shè)α⊥β，α∩β＝a，則β內(nèi)任意一條直線b與a有什么位置關(guān)系？相應(yīng)地，b與α有什么位置關(guān)系？【解析】

b與a平行或相交．當(dāng)b∥a時，b∥α；當(dāng)b與a相交時，b與α也相交，特別地當(dāng)b⊥a時，b⊥α.5.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：【解析】

填表略文字語言

符號語言

圖形語言

例1如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，

求證：平面A′BD⊥平面ACC′A′.活動三兩個平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用【解析】

因為ABCD－A′B′C′D′是正方體，所以AA′⊥平面ABCD.因為BD?平面ABCD，所以AA′⊥BD.又BD⊥AC，A′A∩AC＝A，A′A?平面ACC′A′，AC?平面ACC′A′，所以BD⊥平面ACC′A′.又BD?平面A′BD，所以平面A′BD⊥平面ACC′A′.證明面面垂直的方法：(1)利用兩平面垂直的定義，作出兩相交平面所成二面角的平面角，并證明其大小為90°；(2)利用判定定理，在一個平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面．【解析】

連接OC.因為OA＝OC，D是AC的中點，所以AC⊥OD.又PO⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AC⊥PO.因為OD∩PO＝O，PO?平面POD，OD?平面POD，所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.例2如圖，已知平面α⊥平面β，直線a⊥β，a?α，判斷a與α的位置關(guān)系．【解析】

在平面α內(nèi)作垂直于α與β交線的直線b.因為α⊥β，所以b⊥β.又a⊥β，所以a∥b，又a?α，b?α，所以a∥α，即直線a與平面α平行．在線線垂直、線面垂直、面面垂直的位置關(guān)系中，只要添加一些其他條件，都可以得到線線、線面等平行關(guān)系．求證：如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點且垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內(nèi)．【解析】

已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求證：a?α.證明：設(shè)α∩β＝l.過點P在平面α內(nèi)作直線b⊥l，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，有b⊥β.因為經(jīng)過一點有且只有一條直線與平面β垂直，所以直線a應(yīng)與直線b重合，即a?α.例3在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥平面PAB.【解析】

如圖，在平面PAB內(nèi)作AD⊥PB于點D.因為平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，所以AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AD⊥BC.因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.因為PA∩AD＝A，PA?平面PAB，AD?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直的問題時的三要素：(1)兩個平面垂直；(2)所求證的直線必須在其中一個平面內(nèi)；(3)該直線必須垂直于它們的交線．如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點．求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.【解析】

(1)因為四邊形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形．因為G為AD的中點，所以BG⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)因為△PAD是正三角形，G是AD的中點，所以PG⊥AD.因為BG⊥AD，BG∩PG＝G，BG?平面PBG，PG?平面PBG，所以AD⊥平面PBG.又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.檢測反饋245131.(2022·臨湘期末)已知兩條不同直線l，m，兩個不同平面α，β，則下列命題中正確的是(

)A.若α∥β，l?α，m?β，則l∥m

B.若α∥β，m∥α，l⊥β，則l⊥mC.若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l∥m

D.若α⊥β，l∥α，m∥β，則l⊥m24513【答案】

B【解析】

對于A，若α∥β，l?α，m?β，則l∥m或l，m異面，故A錯誤；對于B，若α∥β，l⊥β，則l⊥α.因為m∥α，所以l⊥m，故B正確；對于C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l⊥m，故C錯誤；對于D，若α⊥β，l∥α，m∥β，則l∥m或l，m相交或l，m異面，故D錯誤．245132.如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線24513【答案】

B24533.(多選)如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列說法中正確的有(

)A.平面PAD⊥平面PAB B.平面PAD⊥平面PCDC.平面PBC⊥平面PAB D.平面PBC⊥平面PCD124531【解析】

因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥BC.又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD，同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故選ABC.【答案】

ABC24534.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________.12453【答案】

13124535.(2022·岳陽平江縣期末)如圖，在三棱錐P－ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC.(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AC＝PA＝2，BC＝3，求AB與平面PBC所成

角的正弦值．1【解析】

(1)因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因為∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因為PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥