人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修離散型隨機(jī)變量的均值

第一課時離散型隨機(jī)變量的均值課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解離散型隨機(jī)變量的均值的概念.2.會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出離散型隨機(jī)變量的均值.3.掌握離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)及兩點分布、二項分布和超幾何分布的均值公式.4.能運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些簡單的實際問題.激趣誘思知識點撥某城市隨機(jī)抽樣調(diào)查了1000戶居民的住房情況,發(fā)現(xiàn)戶型主要集中于160m2,100m2,60m2三種,對應(yīng)住房的比例為1∶5∶4,能否說該市的人均住房面積為此種計算顯然不合理,忽略了不同住房面積的居民所占的比例,造成了“被平均”現(xiàn)象.那么如何計算人均住房面積更為合理呢?通過本節(jié)的學(xué)習(xí),我們就會得到答案.激趣誘思知識點撥一、均值一般地,如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.激趣誘思知識點撥名師點析

(1)均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”,這是隨機(jī)變量X的一個重要特征,它反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平.由定義可知離散型隨機(jī)變量的均值與它的本身有相同的單位.(2)隨機(jī)變量的均值與樣本平均值的關(guān)系:隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本的平均值是一個隨機(jī)變量,它隨樣本的抽取的不同而變化.對于簡單隨機(jī)抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來越接近于總體的均值.隨機(jī)變量X的均值反映了離散型隨機(jī)變量的平均水平.激趣誘思知識點撥微拓展離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)若X,Y是兩個隨機(jī)變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機(jī)變量X的線性函數(shù)的均值等于這個隨機(jī)變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地:(1)當(dāng)a=0時,E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身.(2)當(dāng)a=1時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個常數(shù)的和.(3)當(dāng)b=0時,E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值等于這個常數(shù)與隨機(jī)變量的均值的乘積.激趣誘思知識點撥微練習(xí)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子n次,用X表示出現(xiàn)的點數(shù).求離散型隨機(jī)變量X的分布列和均值.激趣誘思知識點撥二、常見的均值1.若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點分布,則E(X)=p.2.若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項分布,即X~B(n,p),則E(X)=np.3.若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,n,M的超幾何分布,即X~H(N,n,M),則E(X)=.激趣誘思知識點撥微練習(xí)籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中得1分,罰球不中得0分.已知某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7,求他罰球1次的得分X的均值.解:X的可能值為0,1.P(X=0)=1-0.7=0.3,P(X=1)=0.7.故X的分布列為所以E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7.X10P0.70.3探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求離散型隨機(jī)變量的均值例1某種有獎銷售的飲料,瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣.購買一瓶,若其瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎,中獎概率為

.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購買了一瓶該飲料.(1)求甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率;(2)求中獎人數(shù)ξ的分布列及均值E(ξ).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟(1)確定取值:根據(jù)隨機(jī)變量X的意義,寫出X可能取得的全部值;(2)求概率:求X取每個值的概率;(3)寫分布列:寫出X的分布列;(4)求均值:由均值的定義求出E(X).其中準(zhǔn)確寫出隨機(jī)變量的分布列是求解此類問題的關(guān)鍵.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)求X的分布列;(2)求X和Y的均值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)例2已知隨機(jī)變量X的分布列為若Y=-2X,則E(Y)=

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探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

與離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路若給出的隨機(jī)變量ξ與X的關(guān)系為ξ=aX+b,a,b為常數(shù).一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,由X的取值計算ξ的取值,對應(yīng)的概率相等,再由定義法求得E(ξ).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

本例條件不變,若Y=2X-3,求E(Y).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測均值的實際應(yīng)用例3某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元.η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.(1)求事件A“購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2)求η的分布列及均值E(η).ξ12345P0.40.20.20.10.1探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)由A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知,表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”.(2)η的可能取值為200元,250元,300元.P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2,因此η的分布列為E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).η200250300P0.40.40.2探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.實際問題中的均值問題均值在實際中有著廣泛的應(yīng)用,如在體育比賽的安排和成績預(yù)測、消費(fèi)預(yù)測、工程方案的預(yù)測、產(chǎn)品合格率的預(yù)測、投資收益等,都可以通過隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行估計.2.概率模型的解答步驟(1)審題,確定實際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些.(2)確定隨機(jī)變量的分布列,計算隨機(jī)變量的均值.(3)對照實際意義,回答概率、均值等所表示的結(jié)論.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測特殊分布的數(shù)學(xué)期望(1)兩種大樹各成活1棵的概率;(2)成活的棵數(shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.分析本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗和分布列的應(yīng)用,求解時可由二項分布求數(shù)學(xué)期望.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛

解決此類問題,首先應(yīng)依據(jù)二項分布、兩點分布及超幾何分布的特點,判斷隨機(jī)變量屬于哪一種分布,再寫出隨機(jī)變量的分布列,然后利用數(shù)學(xué)期望公式求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1,則x的值為(

)A.0.3 B.0.24 C.0.4 D.0.2X012P0.4xy答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.某射手對靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為(

)A.2.44 B.3.376C.2.376 D.2.4解析:X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;P(X=1)=0.42×0.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.已知ξ的分布列如下表,若η=3ξ+2,則E(η)=

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探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測