高等數(shù)學(xué)微積分多元函數(shù)的極值

高等數(shù)學(xué)微積分課件多元函數(shù)的極值第1頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ReviewWhatisthegradient(gradientvector)ofafunctionz=f(x,y)atapoint(a,b)?Whatisthegeometricsignificanceofthegradientofafunctionatpoint?Howtofindthedirectionalderivativeofafunctionatapoint(a,b)?第2頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Ifz=f(x,y),FindtangentplaneatthepointIfz=f(x,y),Findtotaldifferentialatthepoint第3頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月RecallFunctionsofone-variableLocalMaxLocalMin.StationarypointNeither非駐點(diǎn)Inflectionpoint第4頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月FunctionsoftwovariablesDomain（M0

interiorpointin

D)第5頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Localminimum,alsoglobalminimum第6頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月localmaximum/alsoglobalmaximum第7頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月LocalmaxLocalmin第8頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月LocalmaxLocalminLocalmaxLocalmin第9頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第10頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第11頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月GlobalmaxGlobalminimumAlsolocalmaximumNotlocalmini第12頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月HowtoFind?NecessaryconditionRecall第13頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Anecessaryconditionisalocalextremum，Theordoesnotexist第14頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ForFunctionoftwovariables?第15頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第16頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ForFunctionoftwovariablesIf

attainsitslocalextremumatThenThegradientthereis0ordoesnotexist第18頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Geometricinterpretation第19頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Example:FindcandidatepointsofextremepointsSolutionStationarypoint第20頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在點(diǎn)(1,0)處取得極小值－1看上去這是一個(gè)橢圓拋物面極小值點(diǎn)

with(plots):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):qumian:=implicitplot3d({z=x^2-x*y+y^2-2*x+y},x=-2..3,y=-2..2,z=-2..2,scaling=constrained,style=patchcontour,numpoints=10000,contours=20):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[40,70]);contourplot(x^2-x*y+y^2-2*x+y,x=-1..3,y=-2..2,contours=30,thickness=2);第21頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月SolutionStationarypointsExample:Findcandidatepointsofextremepoints第22頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月with(plots):contourplot(x^4+y^4-4*x*y,x=-1..1,y=-1..1,thickness=2,contours=50,coloring=[red,green]);Saddlepoint第23頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月SolutionStationarypointEample:Findcandidatepointsofextremepoints第24頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月CriticalpointThepartialderivativedoesnotexist,sothegradientdoesnotexistat(0,0),but…第25頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月qumian:=plot3d([abs(y)*cos(t),abs(y)*sin(t),y],y=0..1,t=0..2*Pi,grid=[30,30]):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-1..1,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-1..1,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..2,v=0..0.01,thickness=2):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis);第26頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Wenowknowhowtofindcandidatesforpossiblelocalextrema,buthowtodeterminethenatureofacandidate:whetherornotitisalocalmaximum,localminimumorneither.第27頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Asufficientcondition:secondderivativetestIfisastationarypoint：AndisalocalextremumthenLocalminimumLocalmaximumSaddlepoint,notlocalextremuminconclusive第28頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Example:FindlocalExtremaSolution：FindcriticalpointsfirstStationarypointSothereisalocalextremumandsoLocalminimum第29頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Attainsalocalminimumat(1,0)with(plots):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):qumian:=implicitplot3d({z=x^2-x*y+y^2-2*x+y},x=-2..3,y=-2..2,z=-2..2,scaling=constrained,style=patchcontour,numpoints=10000,contours=20):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[40,70]);contourplot(x^2-x*y+y^2-2*x+y,x=-1..3,y=-2..2,contours=30,thickness=2);第30頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月StationarypointsExample:FindlocalExtremaSolution：Findcriticalpointsfirst第31頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月StationarypointsnoandsoLocalminimumyesAlsolocalminimumso第32頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月with(plots):qumian:=implicitplot3d(z=x^4+y^4-4*x*y,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..3,numpoints=5000,style=patchcontour):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-1..3,v=0..0.01,thickness=3):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-1..1.5,v=0..0.01,thickness=3):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=-1..3,v=0..0.01,thickness=3):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[-28,45]);第33頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月with(plots):contourplot(x^4+y^4-4*x*y,x=-1..1,y=-1..1,thickness=2,contours=50,coloring=[red,green]);Saddlepoint第34頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Findallthelocalmaxima,localminima,andsaddlepointsofthefunction第35頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月END第36頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例解：先求駐點(diǎn)駐點(diǎn)無(wú)極值所以不是極值z(mì)=xy無(wú)極值

(0,0)是鞍點(diǎn)雙曲拋物面第37頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月鞍點(diǎn)

with(plots):qumian:=implicitplot3d(x*y=z,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,grid=[15,15,15],style=patchcontour,contours=20):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-2..3,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..3,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[-17,66],scaling=constrained);第38頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證設(shè)在點(diǎn)處取得極大值，則一元函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值同理可得由一元函數(shù)極值的必要條件第39頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所以曲面z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0,z0)有切平面：極值的必要條件的幾何解釋則設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值水平的切平面第40頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Geometricinterpretation第41頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月多么驚人的類似！極值的必要條件的梯度形式可記為：即比較：一元函數(shù)極值的必要條件：這種說(shuō)法適用于n元函數(shù)多元函數(shù)取得極值得必要條件是：梯度為零矢第42頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月駐點(diǎn)(stationarypoint)駐點(diǎn)(x0,y0):推論：有偏導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)駐點(diǎn)就是梯度為零矢的點(diǎn)第43頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注1駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)例如雙曲拋物面得駐點(diǎn)：(0,0)但z=f(0,0)=0不是極值：但在(0,0)的任何鄰域內(nèi)，函數(shù)值有正有負(fù)。第44頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非極值點(diǎn)的駐點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)（saddlepoint）第45頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月qumian:=implicitplot3d(x*y=z,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,color=yellow,grid=[15,15,15]):pingmian:=implicitplot3d(x=0.6,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,color=green):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-2..3,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..3,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[-17,66],scaling=constrained);鞍點(diǎn)Saddlepoint第46頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ThesaddlepointThesaddle第47頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在鞍點(diǎn)處，切平面將穿過(guò)曲面第48頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注2極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn)例如圓錐面在原點(diǎn)(0,0)取得極小值因?yàn)闃O值點(diǎn)不一定有偏導(dǎo)數(shù)但在原點(diǎn)(0,0)，函數(shù)沒(méi)有偏導(dǎo)數(shù)第49頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月qumian:=plot3d([abs(y)*cos(t),abs(y)*sin(t),y],y=0..1,t=0..2*Pi,grid=[30,30]):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-1..1,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-1..1,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..2,v=0..0.01,thickness=2):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis);第50頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以前曾經(jīng)講過(guò)設(shè)證明：偏導(dǎo)數(shù)fx(0,0)和fy(0,0)不存在證不存在同理，fy(0,0)也不存在第51頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上半圓錐面無(wú)偏導(dǎo)數(shù)無(wú)導(dǎo)數(shù)圓錐面在頂點(diǎn)無(wú)切平面原點(diǎn)是函數(shù)的奇點(diǎn)第52頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以上二元函數(shù)的極值的概念、極值的必要條件：梯度＝零矢均可推廣到三元、四元乃至n元函數(shù)第53頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月極值的充分條件？回憶：一元函數(shù)極值的充分條件第54頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月極值的充分條件（二階）：是極小值是極大值第55頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二元函數(shù)極值的充分條件定理讀書是駐點(diǎn)：二階偏導(dǎo)數(shù)第56頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注：此時(shí)(x0,y0)是鞍點(diǎn)是極值是極小值是極大值不是極值注：此時(shí)，A與C同號(hào)第57頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可能是極值也可能不是極值即，此法不能確定f(x0,y0)是否為極值須利用更高階的偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判定極值充分條件的證明涉及二元函數(shù)的泰勒公式從略第58頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例解：先求駐點(diǎn)駐點(diǎn)有極值又所以是極小值第59頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在點(diǎn)(1,0)處取得極小值－1看上去這是一個(gè)橢圓拋物面極小值點(diǎn)

with(plots):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):qumian:=implicitplot3d({z=x^2-x*y+y^2-2*x+y},x=-2..3,y=-2..2,z=-2..2,scaling=constrained,style=patchcontour,numpoints=10000,contours=20):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[40,70]);contourplot(x^2-x*y+y^2-2*x+y,x=-1..3,y=-2..2,contours=30,thickness=2);第60頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例解：先求駐點(diǎn)駐點(diǎn)第61頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月駐點(diǎn)無(wú)極值又所以是極小值有極值也是極小值同理第62頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月with(plots):qumian:=implicitplot3d(z=x^4+y^4-4*x*y,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..3,numpoints=5000,style=patchcontour):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-1..3,v=0..0.01,thickness=3):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-1..1.5,v=0..0.01,thickness=3):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=-1..3,v=0..0.01,thickness=3):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[-28,45]);褲子？第63頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月with(plots):contourplot(x^4+y^4-4*x*y,x=-1..1,y=-1..1,thickness=2,contours=50,coloring=[red,green]);鞍點(diǎn)第64頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例解：先求駐點(diǎn)駐點(diǎn)無(wú)極值所以不是極值z(mì)=xy無(wú)極值

(0,0)是鞍點(diǎn)雙曲拋物面第65頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月鞍點(diǎn)

with(plots):qumian:=implicitplot3d(x*y=z,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,grid=[15,15,15],style=patchcontour,contours=20):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-2..3,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..3,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[-17,66],scaling=constrai