直線與圓圓與圓的位置關(guān)系（市一等獎）

考點突破考點一：直線與圓的位置關(guān)系考點二：圓的切線、弦長問題考點三：圓與圓的位置關(guān)系課堂小結(jié)第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系夯基釋疑思想方法易錯防范概要基礎(chǔ)診斷夯基釋疑消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因為Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點．(2)解設(shè)直線與圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，考點一

直線與圓的位置關(guān)系考點突破當(dāng)t≠0時，因為k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，考點一

直線與圓的位置關(guān)系考點突破法二

(1)證明

因為不論k為何實數(shù)，直線l總過點P(0，1)，考點一

直線與圓的位置關(guān)系考點突破所以點P(0，1)在圓C的內(nèi)部，即不論k為何實數(shù)，直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點P.所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點．(2)解由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點P(0，1)的弦，只有和PC(C為圓心)垂直時才最短，

而此時點P(0，1)為弦AB的中點，

判斷直線與圓的位置關(guān)系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法.能用幾何法，盡量不用代數(shù)法.規(guī)律方法考點突破考點一

直線與圓的位置關(guān)系考點突破解析(1)若直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，考點一

直線與圓的位置關(guān)系即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但當(dāng)a＝3時，直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要條件．考點突破(2)當(dāng)直線經(jīng)過點(0，1)時，直線與圓有兩個不同的交點，此時m＝1；考點一

直線與圓的位置關(guān)系所以要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，答案(1)A

(2)D(1)解析易知圓心坐標(biāo)為(2，－1)，r＝2，考點突破考點二圓的切線、弦長問題[微題型1]

有關(guān)弦長問題(2)解①由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，考點突破考點二圓的切線、弦長問題[微題型1]

有關(guān)弦長問題②設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.考點突破考點二圓的切線、弦長問題[微題型1]

有關(guān)弦長問題＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1解得k＝1，所以l的方程為y＝x＋1.故圓心C在l上，所以|MN|＝2.考點突破考點二圓的切線、弦長問題[微題型1]

有關(guān)弦長問題

求直線被圓所截得的弦長時，通常考慮由弦心距垂線段作為直角邊的直角三角形，利用勾股定理來解決問題．規(guī)律方法解析(1)由已知，得點(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(2，－3)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，考點突破考點二圓的切線、弦長問題[微題型2]

有關(guān)切線問題故選D.(2)由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小又圓C與直線2x＋y－4＝0相切，所以由平面幾何知識，當(dāng)OC所在直線與l垂直時，|OD|最小，即圓C的直徑最小，考點突破考點二圓的切線、弦長問題[微題型2]

有關(guān)切線問題

求過某點的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點與圓的位置關(guān)系，再求切線方程．若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應(yīng)注意斜率不存在的切線．規(guī)律方法考點突破考點二圓的切線、弦長問題[微題型2]

有關(guān)切線問題解(1)圓心C(1，2)，半徑r＝2，當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為x＝3.由圓心C(1，2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時，直線與圓相切．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.即3x－4y－5＝0.故過M點的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0.【訓(xùn)練2】

已知點M(3，1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過M點的圓的切線方程；(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值；(3)若直線ax－y＋4＝0與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2，求a的值．考點突破考點二圓的切線、弦長問題考點突破考點二圓的切線、弦長問題【訓(xùn)練2】

已知點M(3，1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過M點的圓的切線方程；(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值；(3)若直線ax－y＋4＝0與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2，求a的值．解析(1)兩圓圓心分別為(－2，0)和(2，1)，考點三圓與圓的位置關(guān)系考點突破∵3－2<d<3＋2，∴兩圓相交．直徑的圓時，面積最小．考點三圓與圓的位置關(guān)系考點突破判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．規(guī)律方法考點突破考點三圓與圓的位置關(guān)系解(1)由題設(shè)，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點，解得點C(3，2)，于是切線的斜率必存在．設(shè)過A(0，3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3，考點突破考點三圓與圓的位置關(guān)系故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.考點突破考點三圓與圓的位置關(guān)系整理得－8≤5a2－12a≤0.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；思想方法課堂小結(jié)易錯防范課堂小結(jié)1．求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來簡化運算．2．過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．（見教輔）由題意知最短的弦過P(3，1)且與PC垂直，考點突破考點二圓的切線、弦長問題[微題型1]

有關(guān)弦長問題考點突破解

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝5，考點二圓的切線、弦長問題由題意可設(shè)切線的方程為y＝kx，聯(lián)立切線方程與圓的方程，此即為P，Q的坐標(biāo)，由兩點間的距離公式得|PQ|＝4.解析(1)圓C1和圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圓心分別為C1(m，－2)，C2(－1，m)，半徑分別為3，2.備選題(1)已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0與圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0