假設檢驗課件

第八章

假設檢驗§1

假設檢驗一、假設檢驗的定義和基本思想1、定義在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式，但不知其參數(shù)的情況下，為了推斷總體的某些未知特性，提出某些關于總體的假設，然后根據(jù)樣本對所提出的假設作出是接收，還是拒絕的決策，稱這一過程為假設檢驗。2、基本思想例如：某車間用一臺包裝機包裝糖果，包得的袋裝糖重是一個隨機變量，它服從正態(tài)分布。當機器正常時，其均值為0.5公斤，標準差為0.015公斤，一次開工后為檢驗包裝機是否正常，隨機地抽取它所包裝的糖9袋，稱得其凈重為（公斤）：0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512問機器是否正常工作？以分別表示這一天袋裝糖重總體的均值和標準差，實踐表明標準差比較穩(wěn)定的，所以在這里我們認為標準差是已知的。為了檢驗機器是否正常工作，我們提出以下兩個相互獨立的假設和接下來，是要討論如何檢驗假設是正確還是錯誤的？我們知道是的無偏估計，的觀察值的大小在一定程度上反映了的大小，因此觀察值與的偏差不應太大；這里是根據(jù)實際推斷原理（即小概率事件在一次試驗中幾乎是不發(fā)生的）。接下來，是要根據(jù)給定的樣本值，去考察是否有一個拒絕的小概率事件發(fā)生。假設成立，則。選擇，使是一個拒絕原假的小概率事件，一單它發(fā)生了，即有，我們就有理由懷疑假設的正確性，所以我們是通過控制概率

來作出是否接受假設的決策。例如在本例中取，則有，又已知，再由給定的樣本觀察值算得，所以，即于是拒絕，認為這天包裝機工作不正常。對于事先給定的一個很小的數(shù)，如果要使得則，所以我們只要驗證是否有。若，即小概率事件發(fā)生了，則拒絕。這里是采用反證法的思想，為了檢驗“假設”是否成立，先假設這個“假設”是成立的，看由此會產(chǎn)生什么后果。如果導致了一個不合理的現(xiàn)象出現(xiàn)（小概率事件發(fā)生），就表明原來的假設是不正確的，也就是說，“假設”是不能成立的。因此應拒絕這個“假設”；如果沒有導致一個小概率事件發(fā)生，則沒有理由拒絕原假設。實際上，假設檢驗的基本思想是一種帶有概率的反證法。3、有關的幾個概念通常我們稱為原假設（或稱零假設），而稱為備擇假設（或稱對立假設），稱數(shù)為顯著水平，稱統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量。當檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域中的值時，就拒絕原假設，則稱區(qū)域為拒絕域，拒絕域的邊界點為臨界點。例如上例的拒絕域為，而為臨界點。二、兩類錯誤由于我們是根據(jù)一次抽樣結果對假設作出判斷的，因此不可避免地會犯以下錯誤：（1）當為真時，我們可能犯拒絕的錯誤，我們將這類錯誤稱之為第I類錯誤；該錯誤的概率可表示為，該類錯誤是“棄真”錯誤；（2）當不真時，我們也可能犯接受的錯誤，我們將這類錯誤稱之為第II類錯誤；該錯誤的概率可表示為，該類錯誤是“取偽”錯誤。設一袋中裝有黑球和白球共5個，可能是2黑3白，也可能是4黑1白，為了檢驗假設：袋中有2個黑球，袋中有4個黑球從該袋中抓取兩個球，檢驗規(guī)則為：當取到的兩個都是黑球時，就拒絕，否則接受，求該檢驗方法犯第一類錯誤的概率和犯第二類錯誤的概率。由此可知，以上所講的假設檢驗就是對犯第一類錯誤的概率加以控制，而沒有考慮犯第II類錯誤的概率，我們將這類假設檢驗稱為顯著性檢驗。即對事先給定的小數(shù)，尋找拒絕域，使得三、單邊檢驗我們將形如的假設檢驗稱為雙邊假設檢驗?；虻袝r需要作的假設檢驗。通常稱形如的假設檢驗為右邊檢驗；稱形如的假設檢驗為左邊檢驗；我們把右邊檢驗和左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗。右邊檢驗拒絕域的形式為（是某一正常數(shù)）這里要注意：當時，有即所以右邊檢驗的拒絕域為類似地可得左邊檢驗的拒絕域為由于，由上式得例2：某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進器的燃燒率服從正態(tài)分布，，現(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進器，從中隨機取25只，測得燃燒率的樣本均值為，設在新方法下總體均方差仍為，問用新方法生產(chǎn)的推進器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進器的燃燒率有顯著的提高？取顯著水平四、如何選定原假設和備擇假設盡管在一對對立假設中，可以挑選其中之一作為原假設，但在進行顯著性檢驗時，我們是通過使犯第I類錯誤的概率很小，而不考慮犯第II類錯誤的概率，這就意味著是受保護的，也表明、的地位不是對等的，因此選擇哪一個假設作為原假設是有區(qū)別的，選擇原假設和備擇假設的原則是：（1）使得兩類錯誤中后果嚴重的錯誤成為第I類錯誤；注：特別是對單邊假設檢驗，如果沒有明確告訴采用怎樣的假設作為原假設，一般都要根據(jù)以上的原則來選擇原假設。（2）持謹重的態(tài)度，取原假設為維持現(xiàn)狀；即取為“無效率”、“無改進”、“無價值”等。五、假設檢驗的基本步驟1、根據(jù)實際問題的要求，提出原假設和備擇假設；2、給定顯著水平和樣本容量；3、確定檢驗統(tǒng)計量及拒絕域的形式；4、按求出拒絕域；5、取樣，根據(jù)樣本觀察值作出是接受還是拒絕的決策。§2

正態(tài)總體均值的假設檢驗一、單個總體均值的檢驗1、已知，關于的檢驗（1）雙邊檢驗雙邊檢驗問題為：拒絕域為通常稱這種檢驗為檢驗法。（2）單邊檢驗右邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為左邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為2、未知，關于的檢驗（1）雙邊檢驗雙邊檢驗問題為：在顯著水平為下的拒絕域為通常稱這種檢驗為檢驗法。（2）單邊檢驗右邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為左邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為二、兩個正態(tài)總體均值差的檢驗1、方差已知的情形(1)雙邊檢驗雙邊檢驗問題為：在顯著水平為下的拒絕域為（2）單邊檢驗右邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為左邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為2、方差未知且相等的情形（1）雙邊假設檢驗雙邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為（2）單邊檢驗右邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為左邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為雙邊檢驗問題：

是雙邊檢驗問題：

當時的一種特殊情形。單邊檢驗問題：

或是單邊檢驗問題：或當時的一種特殊情形。三、舉例例1：為檢驗某種含有特殊潤滑油的容器的容量是否為10公升，隨機抽取10個容器，測得其容量為：10.29.710.110.310.19.89.910.310.410.3設容器的容量服從正態(tài)分布；在顯著水平為下，檢驗這批容器的容量是否符合標準？例2：某種元件的壽命（以小時計）服從正態(tài)分布，未知，現(xiàn)測得16只元件的壽命為：159280101212224379179264222362168250149260485170問是否有理由認為元件的平均壽命大于225（小時）（取顯著水平為）？注意：怎樣選擇原假設的問題！§3正態(tài)總體方差的假設檢驗一、單個總體方差的檢驗雙邊檢驗問題：取作為檢驗統(tǒng)計量，檢驗問題的拒絕域的形式為：或1、雙邊假設檢驗通常取由上分位點的定義知在顯著水平為下的拒絕域為或通常，稱這種檢驗法為檢驗法。2、單邊假設檢驗右邊檢驗問題：拒絕域的形式為：這里要注意：當時，有

必需在顯著水平為下的拒絕域為即所以，要使因為左邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為二、兩個總體的方差檢驗1、雙邊假設檢驗雙邊檢驗問題：拒絕域的形式為：通常，取在顯著水平為下的拒絕域為或所以2、單邊假設檢驗右邊檢驗問題：拒絕域的形式為：所以，得在顯著水平為下的拒絕域為左邊檢驗問題：在顯著水平為下的拒絕域為四、舉例例1：某廠生產(chǎn)的某種型號的電池，其壽命（以小時計）長期以來服從方差為的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，壽命的波動性有所改變?，F(xiàn)隨機取26只電池，測出其壽命的樣本方差。問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往有顯著的變化（取顯著水平）？例2：在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率，試驗是在同一只平爐上進行的。每煉一爐鋼時除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標準方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進行，各煉了10爐，其得率分別為(1)標準方法：78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3(2)

新方法：79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1設這兩個樣本相互獨立,且分別來自正態(tài)總體和，均未知，首先檢驗兩個方差是否相等？如果相同，問建議的的新操作方法能否提高得率？（?。?）要檢驗的問題為：或其拒絕域為所以接受原假設，假設兩個總體方差相等是合理的。由計算得即有(2)檢驗問題為：方差未知，，采用右邊兩個正態(tài)總體均值差檢驗法，它的拒絕域為由給的條件知查表得，，所以拒絕，即新操作方法能提高鋼的得率?！?置信區(qū)間與假設檢驗的關系一、雙邊檢驗與置信區(qū)間的關系雙邊檢驗問題為：若參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間是，且，則在顯著水平為下接受，否則拒絕；反之，若在顯著水平為下的接受域為，則參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間是。二、單邊檢驗與單側置信區(qū)間的關系1、右邊檢驗問題為：若參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間是，且，則在顯著水平為下接受，否則拒絕；反之，若在顯著水平為下的接受域為，則參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間是。2、左邊檢驗問題為：若參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間是，且，則在顯著水平為下接受,否則拒絕；反之，若在顯著水平為下的接受域為，則參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間是。雙邊檢驗問題的顯著水平為的接受域就等于置信水平為的置信區(qū)間；右邊檢驗問題的顯著水平為的接受域就等于置信水平為的單置信區(qū)間;左邊檢驗問題的顯著水平為的接受域就等于置信水平為的單置信區(qū)間。概括起來，就是：§5分布擬合檢驗前面介紹的各種檢驗法都是在總體分布形式為已知的條件下進行參數(shù)的假設檢驗，在本節(jié)中我們將根據(jù)樣本來檢驗關于分布的假設。分布檢驗的方法有：擬合檢驗法，偏度、峰度檢驗和秩和檢驗，在這里我們主要介紹擬合檢驗法。若總體為離散型的隨機變量時，總體的分布律為；若總體為連續(xù)型的隨機變量時，總體的分布律為；擬合檢驗法是在總體的分布為未知時，根據(jù)樣本來檢驗關于總體的原假設總體的分布為的一種方法。一、分布函數(shù)不含未知參數(shù)在下，將可能取值的全體分成個兩兩不相交的子集，以表示樣本觀察值中落在中的個數(shù)，表示在次試驗中事件發(fā)生的頻率。另一方面，當為真時，我們可以根據(jù)的分布函數(shù)（分布律或概率密度）來計算事件的概率，通常頻率與概率會有差異，但一般來說，若為真，且試驗的次數(shù)較大時，不應太大。因此可采用形如統(tǒng)計量來度量樣本與假設的分布的吻合程度。皮爾遜證明了當取時，統(tǒng)計量有以下的結論：定理：若充分大（），則當為真時，統(tǒng)計量近似服從。由以上的討論知，當為真時，不應太大，如過分大就拒絕，因此拒絕域的形式為。對于給定的顯著性水平，確定使得{當為真拒絕}=于是拒絕域為。例1：一農(nóng)場10年前在一魚塘里按比例20：15：40：25投放了四種魚，現(xiàn)在在魚塘里獲得一樣本如下：

種類鮭魚鱸魚竹夾魚鲇魚 數(shù)量132100 200168 試取檢驗各類魚數(shù)量的比例較10年前是否有顯著改變？例2：為檢驗總體是否服從區(qū)間上的均勻分布，對該總體觀察了100次，結果如下：樣本值所在區(qū)間[0,0.25)[0.25,0.5)[0.5,0.75)[0.75,1] 頻數(shù) 20 27 26 27 試在水平下，檢驗假設。二、分布函數(shù)含有未知參數(shù)先利用樣本求出未知參數(shù)的最大似然估計，以估計值作為參數(shù)值，然后根據(jù)中所假設的分布函數(shù)，求出的估計值